Folien zu “Data Mining” von I. H. Witten und E. Frank

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1 Folien zu “Data Mining” von I. H. Witten und E. Frank
übersetzt von N. Fuhr

2 Zuverlässigkeit: Evaluierung des Gelernten
5 Zuverlässigkeit: Evaluierung des Gelernten Aspekte: Training, Testen, Tuning Vorhersage der Qualität: Vertrauensintervalle Holdout, Kreuzvalidierung, Bootstrap Vergleich von Verfahren: der t-Test Schätzung von Wahrscheinlichkeiten: Kostenfunktionen Kosten-basierte Maße Evaluierung nummerischer Vorhersagen Das Prinzip der minimalen Beschreibungslänge

3 Evaluierung: der Schlüssel zum Erfolg
Wie gut sind die Vorhersagen des Gelernten? Fehler in den Trainingsdaten ist kein guter Indikator für die Qualität bei neuen Daten Sonst wäre 1-NN der optimale Klassifikator! Einfache Lösung, wenn ausreichend viele Lerndaten (mit Klassenzugehörigkeit) verfügbar: Aufteilung der Daten in Trainings- und Testmenge Aber: meist nur begrenzte Lerndatenmenge verfügbar Ausgefeiltere Techniken müssen angewendet werden

4 Aspekte der Evaluierung
Statistische Zuverlässigkeit von beobachteten Qualitätsunterschieden ( Signifikanztests) Wahl des Qualitätsmaßes: Anzahl korrekter Klassifikationen Genauigkeit der Wahrscheinlichkeitsschätzungen Fehler in nummerischen Vorhersagen Kosten für verschiedene Arten von Fehlern Für viele praktische Anwendungen sind die Kosten relevant

5 Training und Testen I Naheliegendes Qualitätsmaß für Klassifikationsprobleme: Fehlerrate Erfolg: Die Klasse einer Instanz wird korrekt vorhergesagt Fehler: Die Klasse wird falsch vorhergesagt Fehlerrate: Anteil der Fehler an den Entscheidungen für eine Menge von Instanzen Resubstitutions-Fehler: Fehlerrate auf den Trainingsdaten Resubstitutions-Fehler ist extrem optimistisch!

6 Training und Testen II Testmenge: unabhängige Instanzen, die nicht zum Erlernen des Klassifikators benutzt wurden Annahme: Sowohl Trainings- als auch Test- menge sind repräsentative Stichproben für das zugrundeliegende Problem Test- und Trainingsmenge können sich grundsätzlich unterscheiden Beispiel: Klassifikator, der mit Kundendaten von zwei verschiedenen Städten A und B entwickelt wurde Um die Qualität eines Klassifikators aus A für eine neue Stadt zu schätzen, teste ihn mit Daten aus B

7 Anmerkung zum Parameter-Tuning
Die Testdaten dürfen in keiner Weise zum Lernen des Klassifikators benutzt werden! Einige Lernverfahren arbeiten mit 2 Stufen: Stufe 1: Aufbau der grundlegenden Struktur Stufe 2: Optimierung der Parameter Die Testdaten dürfen nicht zum Parameter- Tuning benutzt werden! Ordentliches Vorgehen arbeitet mit drei Mengen: Trainingsdaten, Validierungsdaten, Testdaten Validierungsdaten werden zur Parameteroptimierung benutzt

8 Optimale Ausnutzung der Daten
Nach der Evaluierung können alle Daten zum Lernen des endgültigen Klassifikators benutzt werden Allgemein: je mehr Trainingsdaten, desto besser der Klassifikator (aber der Qualitätszuwachs nimmt ab) Je umfangreicher die Testdaten, desto genauer die Schätzung der Fehlerrate Holdout-Prozedur: Methode zum Aufteilen der Originaldaten in Lern- und Testdaten Dilemma: idealerweise sollten sowohl Trainings- als auch Testmenge möglichst groß sein!

9 Vorhersage der Qualität
Angenommen, die Fehlerrate beträgt 25%. Wie nahe ist dieser Wert an der wahren Fehlerrate? Hängt von der Größe der Testmenge ab Vorhersage ist wie der Wurf einer (unfairen!) Münze “Kopf” ist ein “Erfolg”, “Zahl” ist ein “Fehler” In der Statistik wird eine Folge solcher unabhängiger Ereignisse als Bernoulli- Prozess bezeichnet Statistik-Theorie liefert Vertrauensintervalle für den wahren zugrundeliegenden Fehleranteil

10 Vertrauensintervalle
Man kann sagen: p liegt innerhalb eines bestimmten Intervalls mit einer gewissen vorgegebenen Konfidenz Beispiel: S=750 Erfolge bei N=1000 Versuchen Geschätzte Erfolgsquote: 75% Wie nahe ist dies an der wahren Erfolgswahrscheinlichkeit p? Antwort: mit 80%iger Wahrscheinlichkeit ist p[73.2,76.7] Anderes Beispiel: S=75 und N=100 Mit 80%iger Konfidenz p[69.1,80.1]

11 Mittelwert und Varianz
Mittelwert und Varianz für einen Bernoulli-Prozess: p, p (1–p) Erwartete Erfolgsquote f=S/N Mittelwert und Varianz für f : p, p (1–p)/N Für ausreichend große N folgt f einer Normalverteilung c%-Vertrauensintervall [–z  X  z] für Zufallsvariable mit Mittelwert 0: Pr[–z  X  z]=c Mit einer symmetrischen Verteilung: Pr[–z  X  z]=1-2xPr[ X ≥ z]

12 Vertrauensintervalle
Vertrauensintervalle für die Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Varianz 1: Also gilt z.B.: Pr[–1.65  X  1.65]=90% Um diese Beziehung anzuwenden, müssen wir die Zufallsvariable f so transformieren, dass sie Mittelwert 0 und Varianz 1 hat 0.25 40% 0.84 20% 1.28 10% 1.65 5% 2.33 2.58 3.09 z 1% 0.5% 0.1% Pr[X  z] –

13 Transformation von f Transformierter Wert von f : (d.h. subtrahiere den Mittelwert und dividiere durch die Standardabweichung) Resultierende Gleichung: Auflösen nach p :

14 Beispiele f = 75%, N = 1000, c = 80% (so dass z = 1.28):
Anm.: Die Annahme einer Normalverteilung gilt nur für große N (d.h. N > 100) f = 75%, N = 10, c = 80% (so dass z = 1.28): (nur grobe Näherung)

15 Holdout-Schätzung Was tun, wenn nur wenige Lerndaten zur Verfügung stehen? Die holdout-Methode reserviert eine Teilmenge zum Testen und nutzt den Rest zum Trainieren Meist: ein Drittel zum Testen, der Rest für das Training Problem: die Stichproben sind evtl. nicht repräsentativ Beispiel: eine Klasse kommt in den Testdaten nicht vor Fortgeschrittene Version nutzt Stratifikation Stellt sicher, dass jede Klasse mit annähernd gleicher relativer Häufigkeit in beiden Teilmengen vorkommt

16 Wiederholte holdout-Methode
Holdout-Schätzung kann zuverlässiger gemacht werden, indem der Prozess mit verschiedenen Teilstichproben wiederholt wird In jeder Iteration wird ein bestimmter Anteil der Daten zufällig zum Trainieren ausgewählt (evtl. mit Stratifikation) Die Fehlerquoten der verschiedenen Iterationen werden gemittelt, um eine Gesamt-Fehlerquote zu berechnen Dies wird repeated holdout-Methode genannt Immer noch nicht optimal: die verschiedenen Testmengen überlappen sich Können Überlappungen ganz vermieden werden?

17 Kreuzvalidierung Kreuzvalidierung vermeidet überlappende Testmengen
Teile Daten in k Teilmengen gleicher Größe auf Benuze reihum jede Teilmenge zum Testen, den Rest jeweils zum Trainieren Wird k-fache Kreuzvalidierung genannt Oft sind die Teilmengen stratifiziert, bevor die Kreuzvalidierung durchgeführt wird Die Fehlerquoten werden gemittelt, um die Gesamt-Fehlerrate zu berechnen

18 Mehr zu Kreuzvalidierung
Standard-Methode zur Evaluierung: stratifizierte 10fache Kreuzvalidierung Warum 10? Umfangreiche Experiments haben gezeigt, dass dies die beste Wahl ist, um zuverlässige Schätzungen zu bekommen Ferner gibt es theoretische Begründungen hierzu Stratifikation reduziert die Varianz der Schätzungen Noch besser: wiederholte stratifizierte Kreuzvalidierung Z.B.: 10fache Kreuzvalidierung wird 10mal wiederholt und die Ergebnisse gemittelt (reduziert die Varianz)

19 Leave-One-Out Kreuzvalidierung
Leave-One-Out: spezielle Form der Kreuzvalidierung: Anzahl der Durchführungen = Anzahl der Trainingsinstanzen D.h., für n Trainingsinstanzen wird der Klassifikator n-mal gelernt Nutzt die Daten optimal aus Keine zufällige Stichprobenauswahl! Aber: großer Rechenaufwand (Ausnahme: NN)

20 Leave-One-Out-KV und Stratifikation
Nachteil von Leave-One-Out-KV: Stratifikation ist nicht möglich Verfahren garantiert eine nicht-stratifizierte Stichprobe, da die Testmenge nur eine einzige Instanz enthält! Extrembeispiel: Datenmenge, in der zwei Klassen gleich häufig auftreten Einfacher Lerner sagt jeweils die Mehrheitsklasse voraus 50% Genauigkeit auf frischen Daten Leave-One-Out-KV würde aber 100% Fehlerquote liefern

21 Die Bootstrap-Methode
KV zieht Stichproben ohne Ersetzung Eine Instanz, die einmal ausgewählt wurde, kann nicht nochmals für eine spezielle Trainings- oder testmenge ausgewählt werden Bootstrap zieht Stichproben mit Ersetzen, um die Trainingsmenge zu bilden Ziehe n-mal mit Ersetzung aus einer Datenmenge mit n Instanzen, um eine Stichprobe mit n Instanzen zu bilden Benutze diese Daten als Trainingsmenge Die Instanzen aus der ursprünglichen Datenmenge, die nicht in der Trainingsmenge vorkommen, werden als Testmenge verwendet

22 Der 0.632-Bootstrap Verfahren wird auch 0.632-Bootstrap genannt
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Instanz beim einmaligen Ziehen nicht ausgewählt wird, ist 1–1/n Daraus ergibt sich die Wahrscheinlichkeit, dass die Instanz in den Testdaten landet: Somit wird die Trainingsmenge ungefähr 63.2% aller Instanzen enthalten

23 Schätzung der Fehlerquote beim Bootstrap
Die Fehlerschätzung aus den Testdaten ist sehr pessimistisch Trainiert wurde auf nur ~63% aller Instanzen Daher wird die Fehlerquote mit dem Resubstitutions-Fehler verrechnet: Der Resubstitutions-Fehler bekommt ein geringeres Gewicht als der Fehler auf den Testdaten Der Vorgang wird mehrfach wiederholt und der Mittelwert der Fehlerraten berechnet

24 Mehr zu Bootstrap Wahrscheinlich die beste Methode, um die Qualität bei sehr kleinen Datenmengen zu schätzen Allerdings gibt es einige Probleme Betrachte die zufällige Datenmenge von vorhin Ein perfekter Lerner erzielt 0% Resubstitutionsfehler und ~50% Fehler auf den Testdaten Bootstrap-Schätzung für diesen Klassifikator: Tatsächlich erwarteter Fehler: 50%

25 Vergleich von Data-Mining-Verfahren
Häufige Frage: Welches von zwei Lernverfahren ist besser? Anm.: Dies ist anwendungsabhängig! Naheliegende Mathode: Vergleich der 10fach-KV-Schätzungen Problem: Varianz in der Schätzung Varianz kann durch wiederholte KV reduziert werden Aber: Wir wissen immer noch nicht, ob die Ergebnisse statistisch signifikant sind

26 Signifikanztests Signifikanztests sagen uns, wie sicher wir sein können, dass ein Unterschied wirklich existiert Nullhypothese: es gibt keinen “wirklichen” Unterschied Alternative Hypothese: Es gibt einen Unterschied Ein Signifikanztest misst, wieviel Evidenz es dafür gibt, die Nullhypothese zu verwerfen Beispiel: Wir benutzen 10fache KV Frage: ist die Differenz bei den Mittelwerten der zwei 10KV-Schätzer signifikant?

27 Paarweiser t-Test Der Student- oder t-Test sagt aus, ob die Mittelwerte zweier Stichproben signifikant differieren Nehme individuelle Stichproben bei der Kreuzvalidierung Benutzung von paarweisem t-Test, da die einzelnen Stichprobenelemente paarweise auftreten Dieselbe KV wird zweimal angewendet William Gosset Born: 1876 in Canterbury; Died: in Beaconsfield, England Obtained a post as a chemist in the Guinness brewery in Dublin in Invented the t-test to handle small samples for quality control in brewing. Wrote under the name "Student".

28 Verteilung der Mittelwerte
x1 x2 … xk und y1 y2 … yk sind die 2k Stichprobenwerte für k-fache KV mx und my sind die Mittelwerte Mit ausreichend vielen Werten ist der Mittelwert der unabhängigen Stichprobenwerte normalverteilt Schätzungen für die Varianzen der Mittelwerte sind x2/k und y2/k Wenn x und y die wahren Mittelwerte sind, dann sind annähernd normalverteilt mit Mittelwert 0 und Varianz 1

29 Die Student-Verteilung
Bei kleinen Stichproben (k < 100) folgt der Mittelwert der Student-Verteilung mit k–1 Freiheitsgraden Vertrauensintervalle: 9 Freiheitsgrade Normalverteilung 0.88 20% 1.38 10% 1.83 5% 2.82 3.25 4.30 z 1% 0.5% 0.1% Pr[X  z] 0.84 20% 1.28 10% 1.65 5% 2.33 2.58 3.09 z 1% 0.5% 0.1% Pr[X  z]

30 Verteilung der Differenzen
Sei md = mx – my Die Differenzen der Mittelwerte (md) folgen ebenfalls der Student-Verteilung mit k–1 Freiheitsgraden Sei d2 die Varianz der Differenzen Die standardisierte Version von md wird t-Statistik genannt: Wir benutzen t zur Durchführung des t-Tests

31 Test-Durchführung Lege ein Signifikanzniveau  fest
Wenn die Differenz signifikant ist auf dem % Niveau, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass tatsächlich ein Unterschied vorliegt (100-)% Dividiere das Signifikanz-Niveau durch zwei, da der Test zweiseitig ist D.h. Die wahre Differenz ist entweder +ve oder – ve Schlage den Wert für z nach, der zu /2 gehört Falls t  –z oder t  z, dann ist der Unterschied signifikant D.h., die Nullhypothese kann verworfen werden

32 Unabhängige Stichproben
Falls die KV-Schätzungen zu verschiedenen Randomisierungen gehören, sind sie nicht verbunden, sondern unabhängig (oder wie benutzten k -fache KV für ein Verfahren und j -fache KV für das andere) Dann müssen wir den t-Test für unabhängige Stichproben mit min(k , j) – 1 Freiheitsgraden anwenden Die t-Statistik wird dann zu:

33 Interpretation des Ergebnisses
All unsere KV-Schätzer basieren auf der gleichen Datenmenge Die Stichproben sind nicht unabhängig Besser wäre es, für jeden der k Schätzwerte eine andere Datenmenge zu benutzen, um die Qualität für andere Datenbestände vorhersagen zu können Oder: Benutze heuristischen Test, z.B. korrigierten t-Test mit neu gebildeten Stichproben

34 Vorhersage von Wahrscheinlichkeiten
Bisheriges Qualitätsmaß: Erfolgsquote Wird auch als 0-1 loss function bezeichnet : Die meisten Klassifikatoren liefern Klassen- Wahrscheinlichkeiten Bei manchen Anwendungen möchte man die Genauigkeit der Wahrscheinlichkeitsschätzungen messen 0-1 loss ist nicht das passende Maß hierfür

35 Quadratische Verlustfunktion
p1 … pk sind die Wahrscheinlichkeitsschätzungen für eine Instanz c ist der Klassenindex der aktuellen Instanz ac=1, sonst a1 … ak = 0 Quadratischer Fehler ist: Wir wollen minimieren: Man kann zeigen, dass dies minimal ist wenn jeweils pj = pj*, der wahren Wahrscheinlichkeit

36 Informationelle Verlustfunktion
Die informationelle Verlustfunktion ist –log(pc), wobei c den Index der aktuellen Klasse bezeichnet Anzahl der erforderlichen Bits, um die aktuelle Klasse mitzuteilen Seien p1* … pk* die wahren Klassenwahrscheinlichkeiten Dann ist der Erwartungswert der Verlustfunktion: Rechtfertigung: minimal wenn pj = pj* Problem: Klassen mit Häufigkeit 0

37 Diskussion Welche Verlustfunktion wählen?
Beide belohnen gute Schätzungen Quadratische Verlustfunktion berücksichtigt alle Schätzungen von Klassenwahrscheinlichkeiten für eine Instanz Informationelle Verlustfunktion betrachtet nur die Wahrscheinlichkeitsschätzung für die tatsächliche Klasse Quadratischer Verlust ist beschränkt: er kann nicht größer als 2 werden Informationeller Verlust kann beliebig groß werden Informationeller Verlust ist verwandt mit dem MDL- Prinzip [später]

38 Berücksichtigung der Kosten
Bei praktischen Anwendungen führen verschiedene Arten von Fehlern oft zu unterschiedlichen Kosten Beispiele: Aufspüren von Terroristen “Kein Terrorist” korrekt bei 99.99% aller Fälle Kredit-Entscheidungen Erkennen von Ölflecken Fehlerdiagnosen Werbesendungen

39 Berücksichtigung der Kosten
Die Fall-Matrix: Es kann noch weitere Arten von Kosten geben! Z.B.: Kosten zum Sammeln der Trainingsdaten Actual class True negative False positive No False negative True positive Yes Predicted class

40 Steigerungsdiagramm In der Praxis sind die Kosten oft unbekannt
Entscheidungen werden gefällt, indem verschiedene mögliche Szenarien verglichen werden Beispiel: Werbesendung an Haushalte Versand an alle; 0.1% antworten (1000) Data mining Tool identifiziert Teilmenge von 100,000 Aussichtsreichen, 0.4% davon antworten (400) 40% der Antworten für 10% der Kosten kann sich lohnen Identifiziere Teilmenge von 400,000 Aussichtsreichen, 0.2% davon antworten (800) Ein Steigerungsdiagramm erlaubt den visuellen Vergleich

41 Generierung eines Steigerungsdiagramms
Sortiere Instanzen nach der geschätzten Erfolgswahrscheinlichkeit : x-Achse: Stichprobengröße y-Achse: Anzahl Erfolgsfälle … Yes 0.88 4 No 0.93 3 2 0.95 1 Actual class Predicted probability

42 Eine hypothetisches Steigerungsdiagramm
40% der Antworten für 10% der Kosten 80% der Antworten für 40% der Kosten

43 ROC-Kurven ROC-Kurven sind ähnlich zu Steigerungsdiagrammen
Steht für “receiver operating characteristic” Wird in der Signaltheorie benutzt, um den Tradeoff zwischen Erfolgsquote und Fehlerrate in einem verrauschten Übertragungskanal darzustellen Unterschiede zu Steigerungsdiagramm: y-Achse zeigt den Prozentsatz positiver Elemente in der Stichprobe im Gegensatz zur deren absoluter Anzahl x –Achse zeigt den Prozentsatz von falschen positiven in der Stichprobe im Gegensatz zur Stichprobengröße

44 Beispiel einer ROC-Kurve
Gezackte Kurve: eine Testdatenmenge Glatte Kurve: Resultat von Kreuzvalidierung

45 Kreuzvalidierung und ROC-Kurven
Einfache Methode zur Erstellung einer ROC-Kurve mittels Kreuzvalidierung: Sammle Wahrscheinlichkeiten für die Instanzen in den Testmengen Sortiere Instanzen nach Wahrscheinlichkeiten Methode ist in WEKA implementiert Es gibt aber noch andere Möglichkeiten Die im Buch beschriebene Methode generiert eine ROC-Kurve für jede Testmenge und mittelt dann

46 ROC-Kurven für zwei Verfahren
Für eine kleine, ausgewählte Menge, benutze Methode A Für größere Mengen, benutze Methode B Dazwischen: wähle zwischen A und B mit geeigneten Wahrscheinlichkeiten

47 Die konvexe Hülle Für zwei Verfahren kann man jeden Punkt auf der konvexen Hülle errreichen! TP und FP-Quoten für Verfahren 1: t1 und f1 TP und FP-Quoten für Verfahren 2: t2 und f2 Wenn Methode 1 für 100q % der Fälle benutzt wird und Methode 2 für den rest, dann TP-Rate für das kombinierte Verfahren: q  t1+(1-q)  t2 FP-Rate für das kombinierte Verfahren: q  f2+(1-q)  f2

48 Kosten-sensitives Lernen
Die meisten Lernverfahren unterstützen kein Kosten-sensitives Lernen Sie generieren denselben Klassifikator unabhängig davon, welche Kosten den einzelnen Klassen zugeordnet werden Beispiel: Standard-Lerner für Entscheidungsbäume Einfache Methoden für Kosten-sensitives Lernen: Resampling der Instanzen entsprechend den Kosten Gewichtung der Instanzen entsprechend den Kosten Einige Verfahren können Kosten berücksichtigen, indem sie bestimmte Parameter variieren, z.B. naiver Bayes

49 Maße im Information Retrieval
Anteil der gefundenen Dokumente, die relevant sind: Precision=TP/(TP+FP) Anteil der relevanten Dokumente, die gefunden wurden: Recall =TP/(TP+FN) Precision/Recall-Kurven sind meist ähnlich zu hyperbolischen Kurven Globale Maße: Mittelwert der Precision bei 20%, 50% und 80% Recall (three-point average recall) F-Maß=(2RecallPrecision)/(Recall+Precision)

50 Zusammenfassung der Maße
Erklärung Achsen Domäne TP/(TP+FN) TP/(TP+FP) Recall Precision Information retrieval Recall- Precision- Kurve FP/(FP+TN) TP-Quote FP-Quote Signaltheorie ROC-Kurve TP (TP+FP)/(TP+FP+TN+FN) Größe d. Teilm. Marketing Steigerungs diagramm

51 Evaluierung nummerischer Vorhersagen
Gleiche Strategien: unabhängige Testmenge, Kreuzvalidierung, Signifikanztests, usw. Unterschied: Fehlermaße Tatsächliche Werte: a1 a2 …an Vorhergesagte Werte: p1 p2 … pn Populärstes Maß: mittlerer quadratischer Fehler Einfache mathematische Manipulation

52 Andere Maße Die Wurzel aus dem mittleren quadratischen Fehler :
Der mittlere absolute Fehler ist weniger sensitiv gegenüber Ausreißern als der mittlere quadratische Fehler: Manchmal ist der relative Fehler angemessener (z.B. 10% für einen Fehler von 50 beim Vorhersagewert 500)

53 Verbesserung des Mittelwerts
Wie stark verbessert sich ein Verfahren, wenn es den Mittelwert korrekt vorhersagt? Der relative quadratische Fehler ist ( ): Der relative absolute Fehler ist:

54 Korrelationskoeffizient
Misst die statistische Korrelation zwischen den Vorhersagewerten und den tatsächlichen Werten Skalierungs-unabhängig, zwischen –1 and +1 Gute Qualität drückt sich in größeren Werten aus!

55 Welches Maß verwenden? Am besten alle betrachten Oft ist es egal
Beispiel: A B C D Wurzel d. quadr. Fehlers 67.8 91.7 63.3 57.4 Mittlere absoluter Fehler 41.3 38.5 33.4 29.2 Wurzel d. rel. quadr. Fehlers 42.2% 57.2% 39.4% 35.8% Relativer absoluter Fehler 43.1% 40.1% 34.8% 30.4% Korrelationskoefficient 0.88 0.89 0.91 D am besten C zweiter A, B hängt vom Standpunkt ab

56 Das MDL-Prinzip MDL steht für minimum description length
Die Beschreibungslänge ist definiert als: Speicherplatz zur Beschreibung einer Theorie + Speicherplatz zur Beschreibung der Fehler der Theorie In unserem Fall ist die Theorie der Klassifikator und die Fehler die auf den Trainingsdaten Gesucht: Klassifikator mit minimaler MDL MDL-Prinzip ist ein Kriterium zur Modellauswahl

57 Modellauswahl-Kriterien
Modellauswahl-Kriterien versuchen, einen guten Kompromiss zu finden zwischen: Der Komplexität eines Modells Seiner Vorhersagequalität auf den Trainingsdaten Idee: Ein gutes Modell ist ein einfaches Modell, das eine hohe Genauigkeit auf den vorhandenen Daten erzielt Auch bekannt als Occam’s Razor : die beste Theorie ist die kleinste, die alle Fakten beschreibt William of Ockham, born in the village of Ockham in Surrey (England) about 1285, was the most influential philosopher of the 14th century and a controversial theologian.

58 Eleganz vs. Fehler Theorie 1: sehr einfache, elegante Theorie die die Daten beinahe perfekt beschreibt Theorie 2: deutlich komplexere Theorie, die die Daten fehlerfrei reproduziert Theorie 1 ist zu bevorzugen Klassisches Beispiel: Keplers drei Gesetze zu der Planetenbewegung Weniger genau als Kopernikus’ letzte Verfeinerung der Ptolemäischen Theorie der Epizyklen

59 MDL und Komprimierung Das MDL-Prinzip hängt mit der Datenkomprimierung zusammen: Die beste Theorie ist diejenige, die die Daten am stärksten komprimiert D.h. um eine Datenmenge zu komprimieren, generieren wir ein Modell und speichern dann das Modell und seine Fehler Dazu müssen wir berechnen (a) die Größe des Modells, und (b) den Speicherplatz für die Fehler (b) einfach: benutze den Informationsverlust (a) erfordert eine Methode zur Codierung des Modells

60 MDL und Bayes’ Theorem L[T]=“Länge” einer Theorie
L[E|T]=Codierung der Trainingsmenge in Bezug auf die Theorie Beschreibungslänge= L[T] + L[E|T] Bayes’ Theorem schätzt die a-posteriori Wahrscheinlichkeit einer Theorie bei gegebenen Daten: Äquivalent zu: konstant

61 MDL und MAP MAP steht für maximum a posteriori probability
Finden der MAP-Theorie korrespondiert zum Finden der MDL Theorie Schwierigkeit bei der Anwendung des MAP-Prinzips: Bestimmung der a-priori-Wahrscheinlichkeit Pr[T] der Theorie Korrespondiert zum schwierigen Teil bei der Anwendung des MDL-Prinzips: Codierungsschema für die Theorie D.h. wenn wir vorher wissen, dass eine bestimmte Theorie wahrscheinlicher ist, dann benötigen wir weniger Bits, um sie zu codieren

62 Diskussion des MDL-Prinzips
Vorteil: nutzt die Trainigsdaten voll aus bei der Auswahl eines Modells Nachteil 1: passendes Codierungsschema/a-priori- Wahrscheinlichkeiten sind entscheidend Nachteil 2: es gibt keine Garantie, dass die MDL- Theorie den erwarteten Fehler minimiert Anmerkung: Occam’s Razor ist ein Axiom! Epicurus’ Prinzip der multiplen Erklärungen: behalte alle Theorien, die konsistent mit den Daten sind

63 Bayes’sche Modell-Mittelung
Basiert auf Epicurus’ Prinzip: alle Theorien werden zur Vorhersage genutzt, entsprechend P[T|E] Sei I eine neue Instanz, deren Klasse vorhergesagt werden soll Sei C die Zufallsvariable für die Klasse Dann Schätzt BMM die Wahrscheinlichkeit von C unter Berücksichtigung von I den Trainingsdaten E den möglichen Theorien Tj

64 MDL und Clustering Beschreibungslänge einer Theorie: Benötigte Bits zur Codierung der Cluster z.B. Zentroiden Beschreibungslänge der Daten bei gegebener Theorie: codiere Clusterzugehörigkeit und relative Position im Cluster z.B. Distanz zum Zentroiden Funktioniert, wenn das Codierungsschema für kleine Zahlen weniger Bits benötigt als für große Bei nominalen Attributen müssen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für jedes Cluster codiert werden