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Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Copulas (2) András Bárdossy IWS Universität Stuttgart.

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Präsentation zum Thema: "Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Copulas (2) András Bárdossy IWS Universität Stuttgart."—  Präsentation transkript:

1 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Copulas (2) András Bárdossy IWS Universität Stuttgart

2 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Spatial problems Sampling only at a number of locations What is between ? –Estimate –Quality of estimation –Simulate realizations Geostatistics (Krige, Matheron) –Mining applications –Hydro and Environmental sciences

3 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Geostatistics Z(x) Random function – Realisation z(x i ) Assumption – uniform continuity No differences are known a-priori Independent of the location – depends only on h (Semi)Variogramm Covariance function

4 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Experimental Variogramm EC

5 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Point kriging Unbiasedness

6 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Estimation variance using the variogram

7 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Kriging equations using variogram i=1,…,n

8 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Problems Estimation variance is an index of spatial configuration –Does not depend on the local values –Best for Gaussian distribution –Symmetrical (high and low values not distinguished) Variogram estimation difficult –Squared differences – skewed distribution –Dominated by high values –Independence of the pairs not fulfilled Strongly influenced by the marginal distribution

9 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

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15 Symmetry Digital elevation models – water dominated regions –Maxima and minima Contaminations –Source vs Background concentrations Known but unquantified deterministic processes lead to asymmetry and non-Gaussian dependence

16 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Indicator Variables Indicator variables Indicator variogram

17 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Indicator variables Interpretation as probability Interpolation of the indicators Result pdf for each location Simulation restricted to the observed range Can copulas be used to overcome some of these problems?

18 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Spatial copulas Assumption: –Multivariate copula exists for any number of points –The bi-variate marginal copulas corresponding to pairs separated by a vector h are translation invariant How to find such copulas ?

19 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Empirical copulas Set of pdf pairs corresponding to points separated by the vector h Generalization of the variogram Empirical density using kernel smoothing

20 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

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22 Empirical copula density chloride h=5000m

23 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Empirical copula density chloride h=30000m

24 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Empirical copula density nitrate h=5000m

25 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Empirical copula density pH h=5000m

26 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Cl Variogramm

27 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

28

29 pH Variogramm

30 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

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32 Conditional Entropy: Nitrate 3000 m and 30000m

33 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Copulas and natural processes Natural processes influence high and low values differently –Erosion at high elevations –Pollution is spreading not the background –Weather relates the high discharges Copulas of digital elevation models: –Spain – eroded old landscape –Ecuador – younger but erroded –Mars – eroded and meteorites

34 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Copula density of the pair C8 and C9

35 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Copulas of daily rainfall 601 rainfall stations in the Rhein catchment Germany Size = km2 Days with important events with good spatial coverage were selected (400 days of the period ) Spatial copulas (densities) for different distances were calculated

36 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Spatial dependence – 5 km Event 70

37 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Spatial dependence – 5 km Event 347

38 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Spatial dependence – 5 km Event 159

39 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Radarniederschlag 29. Dezember :20-13:20

40 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Copula Radarniederschlag 29. Dezember :20-13:20

41 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Requirements for a spatial copula 1.Stability of the multivariate marginals: which means that any multivariate marginal copula corresponding to a selected set of points should not depend on the set of other selected points used to define the multivariate copula. 2.Wide range of dependence: a geographically close set of points should have an arbitrarily strong dependence structure, while distant points should be independent. 3.Flexible parametrization: the multivariate copula should have a parametrization such that the dependence structure reflects the geometric position of the corresponding set of points.

42 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Definition of a copula from a multivariate distribution:

43 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Possibilities Multivariate normal copula –Simple but symmetrical Derived multivariate copulas If g monotonic – no change of the copula If g non monotonic one can get interesting copulas

44 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Normal copula Correlation = 0.85

45 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Chi square Non central chi-square distribution

46 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Chi square Multivariate case

47 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie n-dimensional Chi-square copula Density

48 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Chi-Square Copulas

49 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Gauss – Chi-square

50 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

51 V-transformed copula Transformation function: Strong dependence of the extremes if shifted to one side and partly to the middle If k=1 then it is the chi square copula

52 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie K=2, m=1

53 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Empirical copula density chloride h=5000m

54 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Parameter estimation Non independent pairs – ML Fit the rank correlation function and the asymmetry Parametric form of the covariance of the original normal Further work needed

55 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Interpolation For n+1 points the joint distribution is known –Calculate the conditional for the unobserved point Full conditional distribution known – thus confidence intervals can be calculated Example: 4 points – corner of a unit square A: two of them with F(x)=1 two with F(x)=0 B: all with F(x)=0.5

56 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Example interpolation – conditional densities m=0, k=1

57 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Example interpolation – conditional densities m=1, k=3

58 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Example interpolation – conditional densities normal copula

59 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

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62 Validation of the conditional densities Are the conditional densities OK ? Cross validation –Calculation of the frequencies of non exceedence for the observed values –Comparison with the uniform V is much better then normal or Kriging

63 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Thank you !

64 Universität StuttgartInstitut für Wasserbau, Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Nitrat und Phosphat


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