Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Kerndichteschätzung Nearest-Neighbour-Verfahren Maschinelles Lernen.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Kerndichteschätzung Nearest-Neighbour-Verfahren Maschinelles Lernen."—  Präsentation transkript:

1 Kerndichteschätzung Nearest-Neighbour-Verfahren Maschinelles Lernen

2 Seite 212/27/2013| Kerndichteschätzung Idee: Bei gegebenen Daten D={x 1,…,x N }Verwende die Datenpunkte in der Umgebung eines Punktes x zur Schätzung von p(x) (bzw. zur Schätzung von p(x|ω), falls verschiedene Klassen ω gelernt werden sollen). Setze und Dann ist eine Approximation von p(x). Fragen: Wie muss V gewählt werden? Wie groß muss k sein? Ist eine Dichte?

3 Seite 312/27/2013| Kerndichteschätzung Wahre Dichte

4 Seite 412/27/2013| Asymptotik für wachsende Zahl von Datenpunkten N: Parzen Windows, Nearest Neighbours Notwendige Kriterien für : Zwei Möglichkeiten für die praktische Wahl von k N,V N bei gegebener Zahl von Datenpunkten N: 1. Wähle V N, z.B. V N = N Dann erwartet man im Mittel k N = N 0.5 Punkte pro Volumeneinheit, und k N /N = N (Parzen Window Methode) 2. Wähle k N, z.B. k N = N 0.5. Vergrößere das Volumen so lange, bis es k N Punkte enthält. Man erwartet im Mittel V N = N -0.5 Punkte pro Volumeneinheit, und k N /N = N (Nearest Neighbour Methode)

5 Seite 512/27/2013| Aus: Duda, Hart, Stork. Pattern Recognition Parzen Windows Nearest Neighbours 1. Wähle V N, z.B. V N = N Dann erwartet man im Mittel k N = N 0.5 Punkte pro Volumeneinheit, und k N /N = N (Parzen Window Methode) 2. Wähle k N, z.B. k N = N 0.5. Vergrößere das Volumen so lange, bis es k N Punkte enthält. Man erwartet im Mittel V N = N -0.5 Punkte pro Volumeneinheit, und k N /N = N (k-Nearest Neighbour Methode, kNN) Parzen Windows, Nearest Neighbours

6 Seite 612/27/2013| Die Gestalt des Volumens ist noch nicht festgelegt. Wählt man jenes als einen Hyperkubus mit Zentrum x und Kantenlänge h N, so hat man: und mit schreibt sich daraus folgt (bei p-dimensionalen Daten) Kerndichteschätzung

7 Seite 712/27/2013| Verallgemeinerung: Ist die Funktion ρ selbst eine Dichte, so auch (Beweis: Übung) Definiere für beliebige Kerndichte ρ und Fensterbreite h : Kerndichteschätzung

8 Seite 812/27/2013| Aus: Duda, Hart, Stork. Pattern Recognition Dichteschätzungen für N=5 Datenpunkte und verschiedene Intervallbreiten. Dichte = Standardnormalverteilung Kerndichteschätzung

9 Seite 912/27/2013| Gauß Kernel Epanechnikov Kernel Tri-cube Kernel Kerndichteschätzung Gebräuchliche Kerndichten sind:

10 Seite 1012/27/2013| Aus: Duda, Hart, Stork. Pattern Recognition Klassifikation: Schätze p(x|ω 1 ) und p(x|ω 2 ) und fälle (evtl. nach zusätzlichen a priori-Annahmen über p(ω k ) ) danach eine ML bzw. eine MAP-Entscheidung. Kerndichteschätzung

11 Seite 1112/27/2013| Die Fensterbreite h bestimmt, wie stark sich die geschätzte Dichte den Daten anpasst. Wie immer ist auf einen Kompromiss zwischen Bias und Varianz zu achten. Eine zu kleine Fensterbreite produziert eine Überanpassung an die Daten (overfitting). eine zu große Fensterbreite übergewichtet die initial angenommene Dichte (underfitting). Beides führt zu schlechten Verallgemeinerungseigen- schaften der Modelle. Kerndichteschätzung

12 Seite 1212/27/2013| The idea is to replace the k-nearest neighbours average by a more robust estimate. Generalize the regression function by weighting the contribution of each y j to the regression function at the point x: Here, K(x,z) is the so-called regression kernel which determines the influence of the point zєX on the regression function at x. In order to obtain a sensible regression function, a point z close to x should have a higher impact than a point further away, so the kernel function K(x,z) needs to be bell-shaped around x (as a function of z). Narada-Watson weighted average Exkurs: kNN/Parzen Windows und Regression Usually, the kernel is chosen to be translation invariant, so it can be written as Note that the result of the choice is k-nearest neighbours averaging. Exkurs: kNN Regression

13 Seite 1312/27/2013| Like the parameter k for nearest neighbours, the parameter λ determines the tradeoff between bias and variance in the prediction error and need to be chosen carefully (the sample data is given by the black points) : λ smallλ mediumλ large Exkurs: kNN Regression

14 Seite 1412/27/2013| The result of a weighted regression is a smooth function. However, the bias of such a weighted regression function at the boundaries of the domain X is rather (if f is non-constant at the boundaries). An idea to remove this bias is to combine linear regression with a kernel weighting scheme: For each point xєX, solve the weighted linear regression with K λ one of the mentioned kernel functions. For every x, this yields a local regression function f x (t)=α x +β x t. The function f x is then evaluated only at the point t=x in order to obtain the (global) regression function Exkurs: kNN Regression

15 Seite 1512/27/2013| Taken from: Tibshirani et al. Elements of Statistical Learning Exkurs: kNN Regression


Herunterladen ppt "Kerndichteschätzung Nearest-Neighbour-Verfahren Maschinelles Lernen."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen