Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

1 Caracas, September 28 2006 Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie The use of copulas for the description of the spatial variability.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "1 Caracas, September 28 2006 Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie The use of copulas for the description of the spatial variability."—  Präsentation transkript:

1 1 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie The use of copulas for the description of the spatial variability of environmental variables András Bárdossy Universität Stuttgart

2 2 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

3 Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

4 Spatial patterns are not necessarily symmetrical

5 5 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Paul Klee: Copula

6 6 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Dependence Goal: dependence between two variables: To recognize To quantify Correlation (Signifikance Normal distribution ) Linear Regression

7 7 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

8 8 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

9 9 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

10 10 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

11 11 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

12 12 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Dependence changes through a Transformation of the Marginal distribution Correlations between 0.4 and 0.8 Idea: take the same marginal distribution Uniform in [0,1] Transformation using the pdf

13 13 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

14 Dependence Marginal distributions

15 15 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Bivariate Distributions and Copulas Bivariate Copula = bivariate pdf with uniform marginals

16 16 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

17 17 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Copulas are a new way of modelling the correlation structure between variables. They dissociate the correlation structure from the marginal distributions of the individual variables.

18 18 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Entropy = measure of Information (Shannon) Differential entropy: Conditional Differential entropy Interesting for extreme (v large)

19 19 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Multivariate Distributions and Copulas Sklar (1959) all F pdf can be written in this form and C is unique if F is continuous Measures of the dependence Differential Entropy Rank correlation (Spearman) Kendalls tau

20 20 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Copula density

21 21 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Multivariate normal copula Copula density:

22 22 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Normal copula

23 Can copulas be used for the description of spatial variability ? Do we need this ?

24 24 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Geostatistics Z(x) Random function – Realisation z(x i ) Assumption – uniform continuity No differences are known a-priori Independent of the location – depends only on h (Semi)Variogramm Covariance function

25 25 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Experimental Variogramm EC

26 26 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Spatial copulas Assumption: Multivariate copula exists for any number of points The bi-variate marginal copulas corresponding to pairs separated by a vector h are translation invariant How to find such copulas ?

27 27 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Empirical copulas Set of pdf pairs corresponding to points separated by the vector h Generalization of the variogram Empirical density using kernel smoothing

28 28 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

29 29 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

30 30 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Nitrat und Phosphat

31 31 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Copula Nitrate GW 5 km

32 32 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Entropy: Nitrat 3000 m und 30000m

33 33 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Cl Variogramm

34 34 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

35 35 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

36 36 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Copula pH groundwater

37 37 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie pH Variogramm

38 38 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

39 39 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

40 40 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie n-dimensional Chi-square copula

41 41 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Chi-Quadrat Copulas

42 42 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Testing the multivariate copulas Analytically difficult due to the dependence of the pairs Simulation and Bootstrap to compare bi-variate marginals to theoretiacal

43 43 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

44 Summary and conclusions Copulas offer an interesting alternative Many natural variables show a non- Gaussian spatial dependence

45 Thank you ! PS: I have another 253 slides to show – maybe next time !

46 46 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Indikator Variablen Indikator variablen Indikator variogram

47 47 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Spatial dependence – 5 km Event 70

48 48 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Spatial dependence – 5 km Event 347

49 49 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Spatial dependence – 5 km Event 159

50 50 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Radarniederschlag 29. Dezember :20-13:20

51 51 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Copula Radarniederschlag 29. Dezember :20-13:20

52 52 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Gauss – Chi-square

53 53 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

54 54 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Statistische Tests Problem: Paare sind nicht unabhängig Deshalb klassische Tests nicht verwendbar Lösung: Bootstrap

55 55 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Zusammenfassung Zusammenhänge können mit Copulas einheitlich quantifiziert werden Viele natürliche Parameter zeigen assymetrische Zusammenhänge Diese Eigenschaft kann bei der räumlichen Betrachtung berücksichtigt werden

56 56 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

57 57 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Simulation results

58 58 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Räumlicher Zusammenhang – 5 km Ereignis 71

59 59 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Räumlicher Zusammenhang – 5 km Ereignis 117

60 60 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Räumlicher Zusammenhang – 5 km Ereignis 348

61 61 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Asymmetrie des Zusammenhanges Hohe Werte zeigen einen anderen Zusammenhang wie die niedrigen

62 62 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Empirische Copuladichten Nitrat pH

63 63 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Radarniederschlag 29. Dezember :20-9:20

64 64 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

65 65 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

66 66 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

67 67 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

68 68 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Niederschlag Geeignete Copulas finden Bessere Interpolation (HW relevant) Theoretische Gebietsabminderungsfunktionen Simulationsmodelle mit beliebigen Randverteilungen Realistische Extreme über räumliche und zeitliche Skalen ( Fraktale Modelle)

69 69 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Neckar Einzugsgebiet

70 70 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

71 71 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Korrelation – Zusammenhang der Extreme (99,5%)

72 72 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Zusammenfassung Zusammenhaänge können mit Copulas beschrieben werden Viele der Zusammenhänge in der Hydrologie sind asymmetrisch Extreme sind of stärker abhängig als mittlere Korrelation ist hierfür kein gutes Maß

73 73 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Introduction - Modelling Hydrological modeling is necessary Design –Changes –Climate change –Land use change –Unobserved catchments (PUB) Forecasts In combination with –Quality –Ecology For understanding

74 74 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Introduction - Variability Variability due to natural conditions Weather –Annual cycle –Random variability Catchment reaction –State –Output - discharge

75 75 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie The Upper Neckar Catchment

76 76 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Dependence between discharge series Cross correlations (Pearson) Cross rank correlations (Spearman) Copulas

77 77 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Dependence results Cross correlations 0.66 – 0.95 for all pairs >0.89 for the best pair for each site Cross rank correlations 0.65 – 0.98 for all pairs >0.88 for the best pair for each site

78 78 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

79 79 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Dependence structure Dependence between Quantiles instead of Variable values Copula – Dependence separated from the Marginal distributions

80 80 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Copula density of the pair C8 and C9

81 81 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Spatial dependence – 5 km Event 347

82 82 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Spatial dependence – 5 km Event 159

83 83 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Simulation models Multivariate normal copulas Non Gaussian copulas (non-central chi-square copulas) Correct marginal distribution

84 84 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Copula density of a bivariate non-central chi- square distribution

85 85 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie n-dimensional Chi-square copula

86 86 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Summary Hydrological modeling is necessary and difficult Discharge series are similar Events are different Hydrological models small differences Spatial resolution is not the answer Spatial variability is partly responsible Rainfall variability is asymmetrical

87 87 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Interpolation

88 88 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Radar Measurement

89 89 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Future work Compare different sets of downscaled discharge extremes (3 versions) Calculate spatial indices Find appropriate copulas Assess scenario dependent extremes Develop new methodology for spatial extremes

90 90 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie Variability of discharge Distribution of discharge for a single site Depends on the aggregation Skewed distribution Few maxima – due to precipitation (snow melt)

91 Natural Variability Discharge series are similar because of the spatial extent of rainfall events.

92 92 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

93 93 Caracas, September Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie

94


Herunterladen ppt "1 Caracas, September 28 2006 Universität Stuttgart Lehrstuhl für Hydrologie und Geohydrologie The use of copulas for the description of the spatial variability."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen