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How Does Fuzzy Arithmetic Work ? © 2001- Hartwig Jeschke Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme Universität Hannover www.vspdecision.uni-hannover.de
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Introduction Analytical modeling of technical processes: Uncertainty of data material – if no stationary statistical process is available: – Possibilty Theory may help ! Fuzzy Sets as a measure for possibility Extension of classical arithmetic by Fuzzy Numbers - 1 - © 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover www.vspdecision.uni-hannover.de
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possible solution set Possible And Expected Solution Sets Zimmermann: Inclusion Principle for Modeling Problems expected solution set (statistics) Assumption: specification of possible solution sets may be much easier - 2 - © 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover www.vspdecision.uni-hannover.de
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Fuzzy Sets as Possibility Measure modeling-parameter Degree of membership to a fuzzy set 1 0 certainly possible values certainly not possible values as for known analytical models more or less possible values Exactly known parameter value, e. g.: 13.21345678953142........ - 3 - © 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover www.vspdecision.uni-hannover.de
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Fuzzy Intervals by Trapezoidal Shapes modeling-parameter p Degree of membership 1 0 m1m1 m2m2 m 1 -am 2 +b Fuzzy Interval: P = [m 1, m 2, a, b ] certainly not possible values certainly possible values - 4 - © 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover www.vspdecision.uni-hannover.de
![Fuzzy Intervals by Trapezoidal Shapes modeling-parameter p Degree of membership 1 0 m1m1 m2m2 m 1 -am 2 +b Fuzzy Interval: P = [m 1, m 2, a, b ] certainly not possible values certainly possible values © Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover](http://images.slideplayer.org/3/1346633/slides/slide_5.jpg "Fuzzy Intervals by Trapezoidal Shapes modeling-parameter p Degree of membership 1 0 m1m1 m2m2 m 1 -am 2 +b Fuzzy Interval: P = [m 1, m 2, a, b ] certainly not possible values certainly possible values © Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover")
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Arithmetic with Real Numbers Generalization of Numbers Real Numbers Intervals Fuzzy Intervals Real Numbers Intervals Interval-Arithmetic Fuzzy Interval-Arithmetic - 5 - © 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover www.vspdecision.uni-hannover.de
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.) AB=C c a b c = a b ab c ? - 6 - © 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover www.vspdecision.uni-hannover.de
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.) AB=C cab levels from 0 to 1Processing of - 7 - © 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover www.vspdecision.uni-hannover.de
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.) AB=C cab levels from 0 to 1Processing of -8 - © 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover www.vspdecision.uni-hannover.de
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.) AB=C cab levels from 0 to 1Processing of -9 - © 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover www.vspdecision.uni-hannover.de
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.) AB=C cab levels from 0 to 1Processing of -10 - © 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover www.vspdecision.uni-hannover.de
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.) AB=C cab levels from 0 to 1Processing of -11 - © 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover www.vspdecision.uni-hannover.de
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.) AB=C cab levels from 0 to 1Processing of -12 - © 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover www.vspdecision.uni-hannover.de
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.) AB=C cab levels from 0 to 1Processing of -13 - © 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover www.vspdecision.uni-hannover.de
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.) AB=C cab levels from 0 to 1Processing of -14 - © 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover www.vspdecision.uni-hannover.de
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.) AB=C cab levels from 0 to 1Processing of -15 - © 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover www.vspdecision.uni-hannover.de
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.) AB=C cab levels from 0 to 1Processing of -16 - © 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover www.vspdecision.uni-hannover.de
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.) AB=C levels from 0 to 1Processing of cab -17 - © 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover www.vspdecision.uni-hannover.de
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.) AB=C cab c Union of partial solutions (Maximum of all degrees of membership) -18 - © 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover www.vspdecision.uni-hannover.de
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Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)Approximation by Trapezoidal Shapes AB=C cab c Exact solution has no trapezoidal shape - 19 - © 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover www.vspdecision.uni-hannover.de
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FzCalc Fuzzy Calculator - 20 - © 2001- Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover www.vspdecision.uni-hannover.de
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