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How Does Fuzzy Arithmetic Work ? © 2001- Hartwig Jeschke Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme Universität Hannover www.vspdecision.uni-hannover.de.

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1 How Does Fuzzy Arithmetic Work ? © Hartwig Jeschke Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme Universität Hannover

2 Introduction Analytical modeling of technical processes: Uncertainty of data material – if no stationary statistical process is available: – Possibilty Theory may help ! Fuzzy Sets as a measure for possibility Extension of classical arithmetic by Fuzzy Numbers © Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover

3 possible solution set Possible And Expected Solution Sets Zimmermann: Inclusion Principle for Modeling Problems expected solution set (statistics) Assumption: specification of possible solution sets may be much easier © Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover

4 Fuzzy Sets as Possibility Measure modeling-parameter Degree of membership to a fuzzy set 1 0 certainly possible values certainly not possible values as for known analytical models more or less possible values Exactly known parameter value, e. g.: © Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover

5 Fuzzy Intervals by Trapezoidal Shapes modeling-parameter p Degree of membership 1 0 m1m1 m2m2 m 1 -am 2 +b Fuzzy Interval: P = [m 1, m 2, a, b ] certainly not possible values certainly possible values © Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover

6 Arithmetic with Real Numbers Generalization of Numbers Real Numbers Intervals Fuzzy Intervals Real Numbers Intervals Interval-Arithmetic Fuzzy Interval-Arithmetic © Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover

7 Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.) AB=C c a b c = a b ab c ? © Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover

8 Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.) AB=C cab levels from 0 to 1Processing of © Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover

9 Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.) AB=C cab levels from 0 to 1Processing of -8 - © Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover

10 Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.) AB=C cab levels from 0 to 1Processing of -9 - © Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover

11 Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.) AB=C cab levels from 0 to 1Processing of © Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover

12 Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.) AB=C cab levels from 0 to 1Processing of © Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover

13 Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.) AB=C cab levels from 0 to 1Processing of © Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover

14 Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.) AB=C cab levels from 0 to 1Processing of © Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover

15 Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.) AB=C cab levels from 0 to 1Processing of © Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover

16 Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.) AB=C cab levels from 0 to 1Processing of © Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover

17 Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.) AB=C cab levels from 0 to 1Processing of © Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover

18 Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.) AB=C levels from 0 to 1Processing of cab © Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover

19 Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.) AB=C cab c Union of partial solutions (Maximum of all degrees of membership) © Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover

20 Fuzzy Interval-Arithmetic (Zadeh, Klir et. al.)Approximation by Trapezoidal Shapes AB=C cab c Exact solution has no trapezoidal shape © Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover

21 FzCalc Fuzzy Calculator © Hartwig Jeschke - Institut für Mikroelektronische Schaltungen und Systeme - Universität Hannover


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