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Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik Mathe-Vorkurs August 2007 Fachschaft Mathematik und Informatik www.fim.uni-mannheim.de.

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1 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik Mathe-Vorkurs August 2007 Fachschaft Mathematik und Informatik

2 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik- 2 - Themen: I.Logik II.Mengen

3 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik- 3 - I. Logik 1.Grundlagen (a) Aussagendefinition (b) Wahrheitswerte 2.Logische Operatoren

4 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik- 4 - (a) Aussagendefinition-Was ist eine Aussage? In der Logik betrachtet man Aussagen Der Inhalt einer Aussage ist unwichtig, es geht nur um deren Wahrheitsgehalt Es gibt nur wahr und falsch Es gilt: wahr (true) = 1 falsch (false) = 0 Def.: Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist.

5 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik- 5 - (a) Was ist eine Aussage? Beispiele: Beispiele für eine wahre Aussage: Luft enthält Sauerstoff = 2 Es gibt keine natürliche Zahl x, für die gilt: x² = 7. Beispiele für eine falsche Aussage: Der Blauwal ist ein Fisch. 1+1=3 Es gibt reelle Zahlen deren Quadrat –1 ist.

6 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik- 6 - (a) Was ist eine Aussage? Weitere Beispiele: Wie spät ist es? Frage Bitte denken Sie nach! Aufforderung Es gibt ein x, so dass 2 * x = 1. sog. Aussageform, hängt davon ab wie x belegt wird ob es zur wahren oder falschen Aussage wird

7 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik- 7 - (b) Wahrheitswerte & Gleichheit Es kommt nur auf den Wahrheitsgehalt einer Aussage an, nicht auf deren Inhalt. Bezeichner für Aussagen: A, B, C,... Wahrheitswert einer Aussage: z(A) = 0 oder 1 Aussage wahr:z(A) = 1 Aussage falsch:z(A) = 0 Def.: Die Aussagen A und B heißen gleich, wenn sie denselben Wahrheitswert haben. Also gilt A = B, wenn z(A) = z(B) erfüllt ist.

8 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik- 8 - I. Logik 1.Grundlagen 2.Verknüpfungen (a) Logische Operatoren (b) Implikation (c) Äquivalenz (d) Was bedeutet dies für Beweise?

9 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik- 9 - (a) Logische Operatoren Was ist ein logischer Operator? Jeder Operator symbolisiert eine bestimmte Funktion Verknüpft zwei (oder mehr) Ausdrücke –Dazu benutzt man sog. logische Operatoren und Wahrheitstabellen Wahrheitstabellen: Jede mögliche Kombination aufnehmen

10 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (a) Logische Operatoren Negation: nicht = NOT Symbol: Wahrheitstabelle: A A

11 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (a) Logische Operatoren Konjunktion: und = AND Symbol: Wahrheitstabelle: AB A B

12 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (a) Logische Operatoren Disjunktion: oder = OR Symbol: Wahrheitstabelle: AB A B

13 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (a) Logische Operatoren Ausschließende Disjunktion: Exklusives oder = XOR Symbol: XOR, manchmal auch Wahrheitstabelle: ABA B

14 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (a) Logische Operatoren Aussagen lassen sich miteinander verknüpfen Beispiel: AB A B AB A und: ( A B) = A B (Gesetz von De Morgan) ( A B) B A B

15 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (a) Logische Operatoren Es gibt Rechenregeln für logische Operatoren Dienen zur Umformung von logischen Gleichungen Alle Regeln können mittels Wahrheitstabellen bewiesen werden Vereinfachen den mathematischen Alltag (kein erneuter Beweis notwendig bei Anwendung)

16 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (a) Logische Operatoren Assoziativität:( A B ) C = A ( B C ) ( A B ) C = A ( B C ) Kommutativität:A B = B A A B = B A Doppelnegation: ( A ) = A = Ein paar Rechengesetze... Noch ein paar Regeln

17 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (a) Logische Operatoren Distributivität:( A B ) C = ( A C ) ( B C ) ( A B ) C = ( A C ) ( B C ) Komplementarität:A ( A ) = 0 B ( B ) = 1 Neutralität:A 1 = A A 0 = 0 A 1 = 1 A 0 = A Idempotenz:A A = A A A = A De Morgan: ( A B ) = A B ( A B ) = A B

18 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (b) Implikation Weiterer logischer Operator Symbol: Wahrheitstabelle: AB A B

19 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (b) Implikation Beispiel: Wenn es regnet, ist die Strasse nass Aussage A: Wenn es regnet. Aussage B: ist die Strasse nass. AB A B Die Behauptung wird erfüllt: Es regnet und die Strasse ist nass. Die Behauptung ist also wahr. 111

20 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (b) Implikation Beispiel: Wenn es regnet, ist die Strasse nass Aussage A: Wenn es regnet. Aussage B: ist die Strasse nass. AB A B Es regnet, aber die Strasse ist nicht nass. Obwohl dies vorher behauptet wurde. Somit ist die Implikation ist falsch.

21 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (b) Implikation Beispiel: Wenn es regnet, ist die Strasse nass Aussage A: Wenn es regnet. Aussage B: ist die Strasse nass. AB A B Es regnet nicht, ist die Strasse nun nass? Für die Implikation ist irrelevant, ob die Strasse nass ist oder nicht. Da nichts über den Fall ausgesagt wird, ist die Aussage A B also korrekt.

22 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (c) Äquivalenz Noch ein logischer Operator Symbol: Logischer Zusammenhang: A B = (A B) (B A) Wahrheitstabelle: AB A B Die Äquivalenz ist eine doppelte Implikation.

23 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (c) Äquivalenz 1. Beispiel: Es sei f eine Funktion. Ist f(x) konstant, so folgt ( ) f(x) = f(-x). korrekte Implikation Die andere Richtung funktioniert nicht: Wenn f(x) = f(-x) gilt, dann ist ( ) f(x) konstant. Stimmt nicht! Gegenbeispiel: f(x) = x² f(x) = f(-x) ist wahr f(x) = x² ist jedoch nicht konstant Die Implikation gilt nur in eine Richtung!

24 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (c) Äquivalenz 2. Beispiel: Es gilt f(x) = f(-x) genau dann, wenn ( ) f symmetrisch ist. Wenn f(x) = f(-x) gilt, dann verläuft der Graph auf beiden Seiten der y-Achse gleich (also: Spiegelung an x=0) f ist symmetrisch. Wenn f symmetrisch ist, dann lässt sich der Graph von f an x=0 (y-Achse) spiegeln. Es gilt: f(x) = f(-x) Die Äquivalenz gilt in beiden Richtungen!

25 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (d) Was bedeutet dies für Beweise? Allgemein: Unbedingt Formalismus einhalten! Häufig sind Implikationen nötig um Beweise zu führen Äquivalenzbeweise: Äquivalenz wird immer im direkten Beweis gezeigt Beide Richtungen zeigen oder: Nur Äquivalenzumformungen benutzen

26 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (d) Was bedeutet dies für Beweise? Zeigen Sie folgende Äquivalenz: (A (B A)) (C (D C)) (D C) Beh.:(A (B A)) (C (D C)) (D C) Bew.:(A (B A)) (C (D C)) (A (B A)) ((C C) D)KG; AG (A (B A)) (C D)Idempotenz (A ( B A)) (C D)De Morgan (A A B) (D C)AG ; KG (1 B) (D C)Komplementaritätsgesetz 1 (D C)Neutralitätsgesetz (D C) Die Behauptung stimmt.

27 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik II. Mengen 1.Grundlagen (a) Mengendefinition (b) Leere Menge (c) Gleichheit von Mengen (d) Teilmengen (e) Komplement einer Menge (f) Mächtigkeit und Potenzmenge (g) Produktmenge / kartesisches Produkt 2.Mengenverknüpfungen 3.Rechengesetze

28 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (a) Mengendefinition Georg Cantor (1845 – 1918): Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten, wohl unterschiedenen Objekten der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen.

29 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik Manche Mengen können abgezählt werden Beispiele:{1, 2,..., 10} (a) Mengendefinition Mengen werden mit Großbuchstaben, Elemente mit Kleinbuchstaben bezeichnet. Das Element a ist in der Menge M enthalten: a M Das Element b ist nicht in der Menge M enthalten: b M Bekannte Mengen: N, Z, R {1, 2,..., } (die reellen Zahlen sind überabzählbar!) NZR

30 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (a) Mengendefinition Wichtige Schreibweisen: x M : Afür alle x M gilt die Aussage A x M : Aes existiert (mindestens) ein x M, so dass A gilt ! x M : Aes existiert genau ein x M, so dass A gilt...Auslassungspunkte, z.B. in {1, 2, 3,..., 100}, {2, 4, 6, 8,...}

31 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (b) Leere Menge Enthält kein Element Symbole: {}, Frage: Sind die Mengen und { } gleich oder verschieden? Verschieden – die zweite Menge enthält ein Element, wenn auch nur das Element der leeren Menge.

32 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (c) Gleichheit von Mengen Wenn Elemente das gleiche Element bezeichnen: a = b Enthalten zwei Mengen A und B genau die gleichen Elemente, dann sagt man, die Mengen sind gleich, also: A = B. Mathematisch: - A = B x : x A x B Wenn Elemente ungleiche Elemente bezeichnen: a b Enthalten zwei Mengen A und B ungleiche Elemente - A B ( x A : x B ) ( y B : y A )

33 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (d) Teilmengen Teilmengen enthalten einen Teil der Elemente aus einer anderen Menge (Obermenge), sind jedoch immer vollständig in dieser enthalten (keine Elemente außerhalb Obermenge). mathematisch: A O x A : x O Echte Teilmenge: Keine Mengen-Gleichheit mathematisch: A O ( x A : x O ) ( A O )

34 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (e) Komplement einer Menge Das Komplement enthält alle Elemente aus einer Obermenge O, die nicht in der Menge A enthalten sind. Es kommt auf die Obermenge an! Schreibweise: = { x O : x A } O

35 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (f) Mächtigkeit & Potenzmenge Mächtigkeit: Anzahl der Elemente einer Menge, | A | Potenzmenge: Menge aller Teilmengen einer Menge, P (A) Beispiel: A = {1, 2, 3} Mächtigkeit und Potenzmenge? | A | = 3 P (A) ={, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

36 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (g) Produktmenge / kartesisches Produkt Das kart. Produkt ist die Menge aller geordneten Paare (a, b), wobei a Element aus A und b Element aus B ist. Schreibweise: A B (A kreuz B) Math. Definition: A B = { (a, b) | a A b B } Natürlich auch mit mehreren Mengen möglich

37 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik II. Mengen 1.Grundlagen 2.Mengenverknüpfungen (a) Vereinigung (b) Durchschnitt (c) Differenz 3.Rechengesetze

38 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (a) Vereinigung Symbol: A B = { x O : x A x B } Enthält alle Elemente, die entweder in A oder in B enthalten sind (oder auch in beiden Mengen). Beispiel: {1, 2, 3} {3, 4} = ? Schreibweise bei mehreren Mengen: {1, 2, 3, 4}

39 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (b) Durchschnitt Symbol: A B = { x O : x A x B } Enthält nur die Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind. Schreibweise bei mehreren Mengen: Beispiel: {1, 2, 3} {3, 4} = ? {3}

40 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik (c) Differenz Symbol: \, manchmal auch: A \ B = A – B = { x O : x A x B } Enthält alle Elemente aus A, die nicht in B enthalten sind. Beispiel: {1, 2, 3} \ {3, 4} = ?{1, 2}

41 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik II. Mengen 1.Grundlagen 2.Mengenverknüpfungen 3.Rechengesetze

42 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik Rechengesetze Auf den Mengen-Operatoren und : Kommutativgesetz:A B = B A A B = B A Assoziativgesetz:( A B ) C = A ( B C ) ( A B ) C = A ( B C ) Distributivgesetz:A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) De Morgansche Gesetze:

43 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik Noch Fragen? Wie gehts jetzt weiter? –Ab 14:30 in B6 A0.01: Komplexe Zahlen Bei späteren Fragen könnt ihr euch an die Fachschaft oder direkt an mich wenden:

44 Fachschaft Mathematik & Informatik Mengen & Logik Ende


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