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Fachschaft Mathematik und Informatik
Mengen & Logik Mathe-Vorkurs August 2007 Startseite Fachschaft Mathematik und Informatik
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Themen: Logik Mengen Mengen & Logik
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I. Logik Grundlagen (a) Aussagendefinition (b) Wahrheitswerte
Logische Operatoren Mengen & Logik
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(a) Aussagendefinition-Was ist eine Aussage?
In der Logik betrachtet man Aussagen Der Inhalt einer Aussage ist unwichtig, es geht nur um deren Wahrheitsgehalt Es gibt nur ‚wahr‘ und ‚falsch‘ Es gilt: wahr (true) = falsch (false) = 0 Def.: Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist. Mengen & Logik
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(a) Was ist eine Aussage?
Beispiele: Beispiele für eine wahre Aussage: „Luft enthält Sauerstoff.“ „1 + 1 = 2“ „Es gibt keine natürliche Zahl x, für die gilt: x² = 7.“ Beispiele für eine falsche Aussage: „Der Blauwal ist ein Fisch“. „1+1=3“ „Es gibt reelle Zahlen deren Quadrat –1 ist.“ Mengen & Logik
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(a) Was ist eine Aussage?
Weitere Beispiele: „Wie spät ist es?“ Frage „Bitte denken Sie nach!“ Aufforderung „Es gibt ein x, so dass 2 * x = 1.“ sog. Aussageform, hängt davon ab wie x belegt wird ob es zur wahren oder falschen Aussage wird Mengen & Logik
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(b) Wahrheitswerte & Gleichheit
Es kommt nur auf den Wahrheitsgehalt einer Aussage an, nicht auf deren Inhalt. Bezeichner für Aussagen: A, B, C, ... Wahrheitswert einer Aussage: z(A) = 0 oder 1 Aussage wahr: z(A) = 1 Aussage falsch: z(A) = 0 Def.: Die Aussagen A und B heißen gleich, wenn sie denselben Wahrheitswert haben. Also gilt A = B, wenn z(A) = z(B) erfüllt ist. Mengen & Logik
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I. Logik Grundlagen Verknüpfungen (a) Logische Operatoren
(b) Implikation (c) Äquivalenz (d) Was bedeutet dies für Beweise? Mengen & Logik
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(a) Logische Operatoren
Was ist ein logischer Operator? Jeder Operator symbolisiert eine bestimmte Funktion Verknüpft zwei (oder mehr) Ausdrücke Dazu benutzt man sog. logische Operatoren und Wahrheitstabellen Wahrheitstabellen: Jede mögliche Kombination aufnehmen Mengen & Logik
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(a) Logische Operatoren
Negation: ‚nicht‘ = ‚NOT‘ Symbol: ‚‘ Wahrheitstabelle: A A 1 1 Mengen & Logik
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(a) Logische Operatoren
Konjunktion: ‚und‘ = ‚AND‘ Symbol: ‚‘ Wahrheitstabelle: A B A B 1 1 Mengen & Logik
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(a) Logische Operatoren
Disjunktion: ‚oder‘ = ‚OR‘ Symbol: ‚‘ Wahrheitstabelle: A B A B 1 1 1 1 Mengen & Logik
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(a) Logische Operatoren
Ausschließende Disjunktion: ‚Exklusives oder‘ = ‚XOR‘ Symbol: ‚XOR‘, manchmal auch ‚‘ Wahrheitstabelle: A B A B 1 1 1 Mengen & Logik
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(a) Logische Operatoren
Aussagen lassen sich miteinander verknüpfen Beispiel: 1 A B A B 1 ( A B) 1 und: A B A 1 1 1 B 1 A B ( AB) = A B (Gesetz von De Morgan) Mengen & Logik
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(a) Logische Operatoren
Es gibt „Rechenregeln“ für logische Operatoren Dienen zur Umformung von logischen Gleichungen Alle Regeln können mittels Wahrheitstabellen bewiesen werden Vereinfachen den mathematischen Alltag (kein erneuter Beweis notwendig bei Anwendung) Mengen & Logik
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(a) Logische Operatoren
Ein paar Rechengesetze... Assoziativität: ( A B ) C = A ( B C ) ( A B ) C = A ( B C ) Kommutativität: A B = B A A B = B A Doppelnegation: ( A ) = A = Noch ein paar Regeln Mengen & Logik
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(a) Logische Operatoren
Distributivität: ( A B ) C = ( A C ) ( B C ) ( A B ) C = ( A C ) ( B C ) Komplementarität: A ( A ) = 0 B ( B ) = 1 Neutralität: A 1 = A A 0 = 0 A 1 = 1 A 0 = A Idempotenz: A A = A A A = A De Morgan: ( A B ) = A B ( A B ) = A B Mengen & Logik
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(b) Implikation Weiterer logischer Operator Symbol: ‚‘
Wahrheitstabelle: A B A B 1 1 1 1 Mengen & Logik
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(b) Implikation Beispiel: „Wenn es regnet, ist die Strasse nass“
Aussage A: „Wenn es regnet.“ Aussage B: „ist die Strasse nass.“ A B A B 1 Die Behauptung wird erfüllt: Es regnet und die Strasse ist nass. Die Behauptung ist also wahr. 1 1 1 Mengen & Logik
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(b) Implikation Beispiel: „Wenn es regnet, ist die Strasse nass“
Aussage A: „Wenn es regnet.“ Aussage B: „ist die Strasse nass.“ A B A B 1 Es regnet, aber die Strasse ist nicht nass. Obwohl dies vorher behauptet wurde. Somit ist die Implikation ist falsch. 1 Mengen & Logik
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(b) Implikation Beispiel: „Wenn es regnet, ist die Strasse nass“
Aussage A: „Wenn es regnet.“ Aussage B: „ist die Strasse nass.“ A B A B 1 Es regnet nicht, ist die Strasse nun nass? Für die Implikation ist irrelevant, ob die Strasse nass ist oder nicht. Da nichts über den Fall ausgesagt wird, ist die Aussage A B also korrekt. 1 1 1 Mengen & Logik
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(c) Äquivalenz Noch ein logischer Operator Symbol: ‚‘
Logischer Zusammenhang: AB = (AB) (BA) Wahrheitstabelle: A B A B 1 Die Äquivalenz ist eine „doppelte Implikation“. Mengen & Logik
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(c) Äquivalenz 1. Beispiel:
Es sei f eine Funktion. Ist f(x) konstant, so folgt () f(x) = f(-x). korrekte Implikation Die andere Richtung funktioniert nicht: Wenn f(x) = f(-x) gilt, dann ist () f(x) konstant. Stimmt nicht! Gegenbeispiel: f(x) = x² f(x) = f(-x) ist wahr f(x) = x² ist jedoch nicht konstant Die Implikation gilt nur in eine Richtung! Mengen & Logik
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(c) Äquivalenz 2. Beispiel:
Es gilt f(x) = f(-x) genau dann, wenn () f symmetrisch ist. ‚‘ Wenn f(x) = f(-x) gilt, dann verläuft der Graph auf beiden Seiten der y-Achse gleich (also: Spiegelung an x=0) f ist symmetrisch. ‚‘ Wenn f symmetrisch ist, dann lässt sich der Graph von f an x=0 („y-Achse“) spiegeln. Es gilt: f(x) = f(-x) Die Äquivalenz gilt in beiden Richtungen! Mengen & Logik
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(d) Was bedeutet dies für Beweise?
Allgemein: Unbedingt Formalismus einhalten! Häufig sind Implikationen nötig um Beweise zu führen Äquivalenzbeweise: Äquivalenz wird immer im direkten Beweis gezeigt Beide Richtungen zeigen oder: Nur Äquivalenzumformungen benutzen Mengen & Logik
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(d) Was bedeutet dies für Beweise?
Zeigen Sie folgende Äquivalenz: (A (B A)) (C (D C)) (D C) Beh.: (A (B A)) (C (D C)) (D C) Bew.: (A (B A)) (C (D C)) (A (B A)) ((C C) D) KG; AG (A (B A)) (C D) Idempotenz (A (B A)) (C D) De Morgan (A A B) (D C) AG ; KG (1 B) (D C) Komplementaritätsgesetz 1 (D C) Neutralitätsgesetz (D C) Die Behauptung stimmt. Mengen & Logik
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II. Mengen Grundlagen (a) Mengendefinition (b) Leere Menge
(c) Gleichheit von Mengen (d) Teilmengen (e) Komplement einer Menge (f) Mächtigkeit und Potenzmenge (g) Produktmenge / kartesisches Produkt Mengenverknüpfungen Rechengesetze Mengen & Logik
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(a) Mengendefinition Georg Cantor (1845 – 1918):
„Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten, wohl unterschiedenen Objekten der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen.“ Mengen & Logik
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(die reellen Zahlen sind überabzählbar!)
(a) Mengendefinition Mengen werden mit Großbuchstaben, Elemente mit Kleinbuchstaben bezeichnet. Das Element a ist in der Menge M enthalten: a M Das Element b ist nicht in der Menge M enthalten: b M Bekannte Mengen: N, Z, R Manche Mengen können abgezählt werden Beispiele: {1, 2, ..., 10} {1, 2, ..., } (die reellen Zahlen sind überabzählbar!) N Z R Mengen & Logik
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(a) Mengendefinition Wichtige Schreibweisen:
x M : A für alle x M gilt die Aussage A x M : A es existiert (mindestens) ein x M, so dass A gilt ! x M : A es existiert genau ein x M, so dass A gilt ... Auslassungspunkte, z.B. in {1, 2, 3, ..., 100}, {2, 4, 6, 8, ...} Mengen & Logik
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(b) Leere Menge Enthält kein Element Symbole: {},
Frage: Sind die Mengen und { } gleich oder verschieden? Verschieden – die zweite Menge enthält ein Element, wenn auch nur das Element der leeren Menge. Mengen & Logik
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(c) Gleichheit von Mengen
Wenn Elemente das gleiche Element bezeichnen: a = b Enthalten zwei Mengen A und B genau die gleichen Elemente, dann sagt man, die Mengen sind gleich, also: A = B. Mathematisch: - A = B x : x A x B Wenn Elemente ungleiche Elemente bezeichnen: a b Enthalten zwei Mengen A und B ungleiche Elemente - A B ( x A : x B ) ( y B : y A ) Mengen & Logik
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(d) Teilmengen Teilmengen enthalten einen Teil der Elemente aus einer anderen Menge (Obermenge), sind jedoch immer vollständig in dieser enthalten (keine Elemente außerhalb Obermenge). mathematisch: A O x A : x O Echte Teilmenge: Keine Mengen-Gleichheit mathematisch: A O ( x A : x O ) ( A O ) Mengen & Logik
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(e) Komplement einer Menge
Das Komplement enthält alle Elemente aus einer Obermenge O, die nicht in der Menge A enthalten sind. Es kommt auf die Obermenge an! Schreibweise: = { x O : x A } O Mengen & Logik
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(f) Mächtigkeit & Potenzmenge
Mächtigkeit: Anzahl der Elemente einer Menge, | A | Potenzmenge: Menge aller Teilmengen einer Menge, P(A) Beispiel: A = {1, 2, 3} Mächtigkeit und Potenzmenge? | A | = 3 P (A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} Mengen & Logik
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(g) Produktmenge / kartesisches Produkt
Das kart. Produkt ist die Menge aller geordneten Paare (a, b), wobei a Element aus A und b Element aus B ist. Schreibweise: A B („A kreuz B“) Math. Definition: A B = { (a, b) | a A b B } Natürlich auch mit mehreren Mengen möglich Mengen & Logik
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II. Mengen Grundlagen Mengenverknüpfungen (a) Vereinigung
(b) Durchschnitt (c) Differenz Rechengesetze Mengen & Logik
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(a) Vereinigung Symbol: ‚‘ A B = { x O : x A x B }
Enthält alle Elemente, die entweder in A oder in B enthalten sind (oder auch in beiden Mengen). Schreibweise bei mehreren Mengen: Beispiel: {1, 2, 3} {3, 4} = ? {1, 2, 3, 4} Mengen & Logik
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(b) Durchschnitt Symbol: ‚‘ A B = { x O : x A x B }
Enthält nur die Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind. Schreibweise bei mehreren Mengen: Beispiel: {1, 2, 3} {3, 4} = ? {3} Mengen & Logik
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(c) Differenz Symbol: ‚\‘, manchmal auch: ‚‘
A \ B = A – B = { x O : x A x B } Enthält alle Elemente aus A, die nicht in B enthalten sind. Beispiel: {1, 2, 3} \ {3, 4} = ? {1, 2} Mengen & Logik
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II. Mengen Grundlagen Mengenverknüpfungen Rechengesetze 21.08.2007
Mengen & Logik
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3. Rechengesetze Auf den Mengen-Operatoren und :
Kommutativgesetz: A B = B A A B = B A Assoziativgesetz: ( A B ) C = A ( B C ) ( A B ) C = A ( B C ) Distributivgesetz: A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) A ( B C ) = ( A B ) ( A C ) De Morgansche Gesetze: Mengen & Logik
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Ab 14:30 in B6 A0.01: Komplexe Zahlen
Noch Fragen? Wie gehts jetzt weiter? Ab 14:30 in B6 A0.01: Komplexe Zahlen Bei späteren Fragen könnt ihr euch an die Fachschaft oder direkt an mich wenden: Mengen & Logik
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Ende Mengen & Logik
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