PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens

PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens
Präsentation Gruppe 6 Iris Meyer Elisabeth Grill Katrin Zöchmeister PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens SS 2003

Iris Meyer PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens SS 2003
Aussagenlogik Iris Meyer PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens SS 2003

Aussagenlogik Der Begriff der „Aussage“ Grammatikkriterium
Wahrheitskriterium - Tertium non datur - Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch

Aussagenlogik Die Sprache der Aussagenlogik
Das Alphabet einer aussagenlogischen Sprache besteht aus: Den aussagenlogischen Variablen pi, i N Den aussagenlogischen Junktoren T, , , , ,  und  Den Klammern ( und ) Die Menge der aussagenlogischen Formeln ist rekursiv definiert: Jede aussagenlogische Variable ist eine aussagenlogische Formel Die aussagenlogische Junktoren T und  sind aussagenlogische Formeln Ist φ eine aussagenlogische Formel, dann auch φ Sind φ und ψ aussagenlogische Formel, dann auch (φ  ψ), (φ  ψ), (φ  ψ) und (φ  ψ)

Aussagenlogik Das Argument Gültigkeit eines Arguments:
(a) Semantisch gültig |= (b) Syntaktisch gültig |– (1) Alle Menschen sind sterblich. (2) Sokrates ist ein Mensch. (3) Also ist Sokrates sterblich. Prämissen Konklusion

Aussagenlogik Beispiel
Ist das Argument  (p1  p2) |─ p1  p2 semantisch gültig? Wir überprüfen mit Hilfe einer Wahrheitstafel: p1 p2  (p1  p2) |─ p1  p2 F W

Aussagenlogik Beispiel
Ist das Argument  (p1  p2) |─ p1  p2 semantisch gültig? Wir überprüfen mit Hilfe einer Wahrheitstafel: Das Argument ist semantisch gültig, wir schreiben:  (p1  p2) |= p1  p2 p1 p2  (p1  p2) |─ p1  p2 F W

Aussagenlogik Das Resolutionsverfahren
...ist eine Methode zum automatischen Beweisen Grundidee: Das Argument φ1,..., φn |= φ ist genau dann richtig, wenn die Formelmenge {φ1,..., φn, φ} unerfüllbar ist. Vorraussetzung für die Anwendung der Resolution: Die Formel muss in Klausel-Repräsentation (= konjunktive Normalformen in Mengenschreibweise) gegeben sein.

Aussagenlogik Umwandlung in Klausel-Repräsentation
Um die Richtigkeit der Formel p  q  r, (p  q  r)  (p  q  r), (p  q  r)  (p  q  r) |= r nachzuweisen, gilt die Unerfüllbarkeit von (p  q  r)  (p  q  r)  (p  q  r)  (p  q  r)  (p  q  r)  r zu beweisen. Wir schreiben in Klausel-Repräsentation: {{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}

Aussagenlogik Anwendung der Resolventenregel
{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}}

{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}} {p, q, r} {p, q, r}

{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}} {p, q, r} {p, q, r} {q, r}

{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}} {p, q, r} {p, q, r} {q, r} {p, q, r}

{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}} {p, q, r} {p, q, r} {q, r} {p, q, r} {p, r}

{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}} {p, q, r} {p, q, r} {q, r} {p, q, r} {p, q, r} {p, q, r} {p, r}

{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}} {p, q, r} {p, q, r} {q, r} {p, q, r} {p, q, r} {p, q, r} {p, r} {p, r}

{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}} {p, q, r} {p, q, r} {q, r} {p, q, r} {p, q, r} {p, q, r} {p, r} {p, r} {r}

{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}} {p, q, r} {p, q, r} {q, r} {p, q, r} {p, q, r} {p, q, r} {p, r} {p, r} {r} {r}

{{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}} {p, q, r} {p, q, r} {q, r} {p, q, r} {p, q, r} {p, q, r} {p, r} {p, r} {r} {r} { }

leere Klausel wurde gefunden
Aussagenlogik Anwendung der Resolventenregel {{p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {p, q, r}, {r}} {p, q, r} {p, q, r} {q, r} {p, q, r} {p, q, r} {p, q, r} {p, r} {p, r} {r} {r} { } leere Klausel wurde gefunden

Aussagenlogik Ergebnis Die leere Klausel wurde gefunden:
- Die Formelmenge {φ1,..., φn, φ} ist unerfüllbar - Die Korrektheit der Folgerungsbeziehung φ1,..., φn |= φ ist somit bewiesen

Katrin Zöchmeister PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens SS 2003
Berechnungsmodelle Katrin Zöchmeister PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens SS 2003 Katrin Zöchmeister

Berechnungsmodelle Berechnung:
Ausführung eines Programms durch eine Maschine Berechnungsmodelle dienen der Abstraktion: 3 verschiedene Modelle: - Speicherorientiert - Funktionale Modelle - Kommunikation und verteilte Systeme Katrin Zöchmeister

Berechnungsmodelle Speicherorientierte Modelle
Berechnung = schrittweise Veränderung des Speichers Beispiel Turingmaschine: Speicher besteht aus Bändern, mit kleinen Speichereinheiten, keine direkte Adressierung, nur schrittweises Durchlaufen des Speichers möglich. In jeder Speicherzelle: ein Buchstabe des endlichen Alphabets. Katrin Zöchmeister

Berechnungsmodelle Steuerwerk Speicherorientierte Modelle
Funktionsweise einer Turingmaschine: Band A S G Z O A L S J Schreib-Lesekopf Steuerwerk Katrin Zöchmeister

Funktionsweise einer Turingmaschine: A S G Z O A L S J Vom Band lesen! Steuerwerk Katrin Zöchmeister

Funktionsweise einer Turingmaschine: A S G Z O A L S J Steuerwerk Daten bearbeiten! Katrin Zöchmeister

Daten auf Band speichern!
Berechnungsmodelle Speicherorientierte Modelle Funktionsweise einer Turingmaschine: A S G Z O A L S J Daten auf Band speichern! Steuerwerk Katrin Zöchmeister

Zu nächsten Speicherzelle springen!
Berechnungsmodelle Speicherorientierte Modelle Funktionsweise einer Turingmaschine: A S G Z O A L S J Zu nächsten Speicherzelle springen! Steuerwerk Katrin Zöchmeister

Berechnungsmodelle Speicherorientierte Modelle
Anweisungen für die Turingmaschine: Vorbedingung + Aktion Vorbedingung: - aktuelles Zeichen in der Zelle, - Zustand des Steuerwerks Aktion: - Zeichen, welches geschrieben wird - nach links oder rechts weiterspringen - Zustand, in den Steuerwerk wechselt Katrin Zöchmeister

Berechnungsmodelle Speicherorientierte Modelle Berechnungen:
- Schreib- Lesekopf über dem ersten Zeichen - Steuerwerk im Anfangszustand - es wird nach aufeinanderpassende Anweisungen gesucht (Reihenfolge der Anweisungen im Programm unwichtig!) - wenn keine Anweisung mehr auf die letzte „passt“  Ende Katrin Zöchmeister

Berechnungsmodelle Speicherorientierte Modelle Vorteile:
- jeder bis heute untersuchte Formalismus lässt sich simulieren - einfache Berechnungsschritte - direkt in die Praxis übersetzbar Nachteile: - unendliche Bänder nicht realisierbar ( unendl. Speicher) - wenig Ähnlichkeit mit v. Neumann- Architektur - Programmstruktur macht Ergebnis nicht sichtbar Katrin Zöchmeister

Berechnungsmodelle Funktionale Modelle Funktionale Modelle:
WAS wird berechnet? Beispiel: Bereich der Nat. Zahlen, nur 0 und „Nachfolgefunktion“ bekannt. In diesem Fall lautet die Grundfrage funkt. Berechungsmodelle: Gibt es eine Funktion, und wenn ja welche, die sich aus 0 und der Nachfolgefunktion berechnen lassen UND sich effektiv auswerten lassen. Katrin Zöchmeister

Berechnungsmodelle Funktionale Modelle Wichtig: Regeln
Arbeitsweise völlig egal. Nur Ergebnis zählt! Katrin Zöchmeister

Berechnungsmodelle Kommunikation und vert. Systeme
Kommunikation und verteilte Systeme: Prozess + Programm + Umgebung + Komunikation mit Umgebug = wichtig EA- Turingmaschine: = Variante der vorgestellten Turingmaschine, mehrere Bänder die miteinander arbeiten. Katrin Zöchmeister

Berechnungsmodelle Kommunikation und vert. Systeme EA- Turingmaschine:
Eingabeband A Ä M Z O R L S J Katrin Zöchmeister

Eingabeband A Ä M Z O R L S J A S K J J A L V J Arbeitsband Katrin Zöchmeister

Eingabeband A Ä M Z O R L S J A S K J J A L V J Arbeitsband W S G H O R T C B Ausgabeband Katrin Zöchmeister

Berechnungsmodelle Steuerwerk Kommunikation und vert. Systeme
EA- Turingmaschine: Eingabeband A Ä M Z O R L S J Steuerwerk A S K J J A L V J Arbeitsband W S G H O R T C B Ausgabeband Katrin Zöchmeister

EA- Turingmaschine: Eingabeband A Ä M Z O R L S J Steuerwerk A S K J J A L V J Arbeitsband W S G K O R T C B Ausgabeband Katrin Zöchmeister

EA- Turingmaschine: Eingabeband A Ä M Z O R L S J Steuerwerk A S K J J A L V J Arbeitsband W S G H O R T C B Ausgabeband Katrin Zöchmeister

Berechnungsmodelle Kommunikation und vert. Systeme Verteilte Systeme:
Ausgabeband = Eingabeband Synchronisierung nicht notwendig, Zwischenraum zwischen Ausgabe und Eingabe als Pufferspeicher  Datenflussnetz Katrin Zöchmeister

Eingabeband A Ä M Z O R L S J Steuerwerk A S K J J A L V J Arbeitsband Ausgabeband W S G H O R T C B Katrin Zöchmeister

Berechnungsmodelle Steuerwerk Steuerwerk
Kommunikation und vert. Systeme A Ä M Z O R L S J Eingabeband Steuerwerk A S K J J A L V J Arbeitsband Ein- und Ausgabeband W A G M Z O T C B Steuerwerk A S K J J A L V J Arbeitsband W S G H O R T C B Ausgabeband Katrin Zöchmeister

Grenzen der Berechenbarkeit
Katrin Zöchmeister PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens SS 2003 Katrin Zöchmeister

Grenzen d. Berechenbarkeit
Rechnermodelle Haben moderne Rechner Grenzen? Dürfen sie alles, was sie können? Wo liegen die Grenzen? Kann ein Computer einen Menschen simulieren? Katrin Zöchmeister

Rechnermodelle Universelle Rechner: - frei programmierbar (vgl. Turingmaschine hat festgelegte Programme).  universelle Programme - können mehrere Probleme lösen. - spezielle Programme können auf spezielle Daten angewendet werden. Katrin Zöchmeister

Rechnermodelle Simulationen: Programme für einen Rechnertyp können auf einem anderen Rechner simuliert werden (gleiche Ein- und Ausgabewerte).  dann auch gleiche Probleme lösen.  einheitliche Theorie der Berechenbarkeit Beispiel: Ersetzen einer Turingmaschine mit mehreren Bändern durch eine Turingmaschine mit einem Band. Zeitaufwand wächst um einen konstanten Faktor (Speicherverwaltung). Katrin Zöchmeister

Rechnermodelle Churchsche These: Die Klasse der wirklich berechenbaren Funktionen ist gleich groß wie die Klasse der Turing- berechenbaren Funktionen.  Es gibt bis heute keine Funktion, die ein moderner Computer berechnen kann, welche aber auf einer Turingmaschine nicht berechenbar sind. Katrin Zöchmeister

Nicht. Berechenbare Fkt. Existenz nicht berechenbarer Funktionen: Axiome der Mathematik (z.B.) gelten, obwohl sie niemand beweisen kann. Es ist hier nur wichtig, dass ein Programm diese Axiome kennt, nicht aber, ob man sie berechnen kann. Katrin Zöchmeister

Formale Sprachen und Automaten
Grill Elisabeth PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens SS 2003

Inhalt: Allgemeines Grundbegriffe Grammatiken Chomsky-Hierarchie reguläre Sprachen endliche Automaten

Allgemeines: In der Theorie der formalen Sprachen wird die Struktur von Zeichenketten untersucht. Mengen von Zeichenketten Sprachen Sprachklassen Sprachklassen sind definiert durch: Erzeugungsverfahren Erkennungsverfahren

Erzeugung und Erkennung können durch Grammatiken und abstrakte Maschinen, Automaten, beschrieben werden. Klassen der Grammatiken und Sprachen (Chomsky Hierarchie) und Automaten werden alle hierarchisch eingeteilt  daher eng miteinander verwandt

Grundbegriffe: : Alphabet, endliche Menge von Zeichen; z.B. ={a, b, c} Ketten: aa, ab, ca, aaa, ...  : leere Kette |w|: Wortlänge *: Menge aller Ketten, einschließlich leerer Kette +: Menge aller nichtleeren Ketten L: formale Sprache über dem Alphabet  Elemente der Sprache: Sätze/Wörter (Zeichenketten)

Grammatiken: Grammatiken bestehen aus Regeln mit 2 Arten von Symbolen: Terminalsymbole (in der Zeichenkette selbst) Nonterminalsymbole (zur Strukturbeschreibung) Eine Grammatik G ist ein Quadrupel G=(N, T, P,S) N = Alphabet der Nonterminalsymbole, T = Alphabet der Terminalsymbole, P = Menge von Ersetzungsregeln der Form , S = Satzsymbol (Startsymbol) aus N

Chomsky- Hierarchie: Chomsky´s Grammatik-Typen in 4 Stufen: Typ 0 oder unbeschränkt Typ 1 oder kontextsensitiv Typ 2 oder kontextfrei Typ 3 oder regulär

Beispiel zur Chomsky- Hierarchie: Gegeben sei G = (N, T, P, S) mit N = {<Name>, <Buchstabe>, <Ziffer>} T = {a,b,c,0,1,2,3,4,5} P: <Name> > <Buchstabe> <Name> > <Name><Ziffer> <Buchstabe> -> a|b|c <Ziffer> > 0|1|2|3|4|5 S = <Name>

Beispiel zur Chomsky- Hierarchie: z.B.b205  L(G) da folgende Ableitung möglich ist: <Name> -> <Name><Ziffer>

Beispiel zur Chomsky- Hierarchie: z.B.b205  L(G) da folgende Ableitung möglich ist: <Name> -> <Name><Ziffer> -> <Name><Ziffer><Ziffer>

Beispiel zur Chomsky- Hierarchie: z.B.b205  L(G) da folgende Ableitung möglich ist: <Name> -> <Name><Ziffer> -> <Name><Ziffer><Ziffer> -> <Name><Ziffer><Ziffer><Ziffer>

Beispiel zur Chomsky- Hierarchie: z.B.b205  L(G) da folgende Ableitung möglich ist: <Name> -> <Name><Ziffer> -> <Name><Ziffer><Ziffer> -> <Name><Ziffer><Ziffer><Ziffer> -> <Buchstabe><Ziffer><Ziffer><Ziffer>

Beispiel zur Chomsky- Hierarchie: z.B.b205  L(G) da folgende Ableitung möglich ist: <Name> -> <Name><Ziffer> -> <Name><Ziffer><Ziffer> -> <Name><Ziffer><Ziffer><Ziffer> -> <Buchstabe><Ziffer><Ziffer><Ziffer> -> <Buchstabe><Ziffer><Ziffer>5

Beispiel zur Chomsky- Hierarchie: z.B.b205  L(G) da folgende Ableitung möglich ist: <Name> -> <Name><Ziffer> -> <Name><Ziffer><Ziffer> -> <Name><Ziffer><Ziffer><Ziffer> -> <Buchstabe><Ziffer><Ziffer><Ziffer> -> <Buchstabe><Ziffer><Ziffer>5 -> <Buchstabe><Ziffer>05

Beispiel zur Chomsky- Hierarchie: z.B.b205  L(G) da folgende Ableitung möglich ist: <Name> -> <Name><Ziffer> -> <Name><Ziffer><Ziffer> -> <Name><Ziffer><Ziffer><Ziffer> -> <Buchstabe><Ziffer><Ziffer><Ziffer> -> <Buchstabe><Ziffer><Ziffer>5 -> <Buchstabe><Ziffer>05 -> <Buchstabe>205

Beispiel zur Chomsky- Hierarchie: z.B.b205  L(G) da folgende Ableitung möglich ist: <Name> -> <Name><Ziffer> -> <Name><Ziffer><Ziffer> -> <Name><Ziffer><Ziffer><Ziffer> -> <Buchstabe><Ziffer><Ziffer><Ziffer> -> <Buchstabe><Ziffer><Ziffer>5 -> <Buchstabe><Ziffer>05 -> <Buchstabe>205 -> b205

Zur graphischen Darstellung: der dazugehörige Ableitungsbaum <Name>

Zur graphischen Darstellung: der dazugehörige Ableitungsbaum <Name> <Name> <Ziffer>

Zur graphischen Darstellung: der dazugehörige Ableitungsbaum <Name> <Name> <Ziffer> <Name> <Ziffer>

Zur graphischen Darstellung: der dazugehörige Ableitungsbaum <Name> <Name> <Ziffer> <Name> <Ziffer> <Name> <Ziffer>

Zur graphischen Darstellung: der dazugehörige Ableitungsbaum <Name> <Name> <Ziffer> <Name> <Ziffer> <Name> <Ziffer> <Buchstabe>

Zur graphischen Darstellung: der dazugehörige Ableitungsbaum <Name> <Name> <Ziffer> <Name> <Ziffer> <Name> <Ziffer> <Buchstabe> b

Zur graphischen Darstellung: der dazugehörige Ableitungsbaum <Name> <Name> <Ziffer> <Name> <Ziffer> <Name> <Ziffer> <Buchstabe> 2 b

Zur graphischen Darstellung: der dazugehörige Ableitungsbaum <Name> <Name> <Ziffer> <Name> <Ziffer> <Name> <Ziffer> <Buchstabe> 2 5 b

Reguläre Sprachen: (Satz von Kleene) Eine Sprache ist genau dann regulär, wenn sie von einem endlichen Automaten akzeptiert wird. reguläre Ausdrücke:  und jedes Element des Alphabets  ist ein regulärer Ausdruck Wenn  und  reguläre Ausdrücke sind, dann sind auch (), (), und * reguläre Ausdrücke.

Reguläre Sprachen: - (Satz von Kleene) Eine Sprache ist genau dann regulär, wenn sie von einem endlichen Automaten akzeptiert wird. - reguläre Ausdrücke:  und jedes Element des Alphabets  ist ein regulärer Ausdruck Wenn  und  reguläre Ausdrücke sind, dann sind auch (), (), und * reguläre Ausdrücke. Mit regulären Ausdrücken lassen sich unendliche Sprachen mit endlichen Mitteln generieren.

Endliche Automaten: mathematische Modelle zur Beschreibung des Verhaltens digitaler Systeme liefern während des Lesens/Verarbeitens keine Ausgabe haben einen Anfangszustand in dem sie starten,einen Endzustand in dem sie anhalten können, wodurch sie die eingegebene Zeichenkette als erkannt signalisieren. existieren in zwei Varianten: - deterministischer-Automat (DEA) - nichtdeterministischer-Automat (NEA)

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Ende der Präsentation Grill Elisabeth Meyer Iris Zöchmeister Katrin PS Grundlagen wissenschaftlichen Arbeitens SS 2003

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