Multivariate Statistische Verfahren

Präsentation zum Thema: "Multivariate Statistische Verfahren"—  Präsentation transkript:

1 Multivariate Statistische Verfahren
Logistische Funktion, Logistische Regression und Klassifikation Poisson-Regression Psychologisches Institut der Universität Mainz SS 2012 U. Mortensen

2 Überblick Grundbegriffe der Dynamik
Logistische Funktionen, logistische Regression und Klassifikation Weitere Analysen von Häufigkeiten: Poisson-Regression, loglineare Analysen Zeitliche Entwicklungen: Ereignisanalyse (Analyse von ‚Wartezeiten‘)

3 Vorbemerkungen: Exponentielles und logistisches Wachstum
Funktionen und ihre Ableitungen

4 Wie kann man die Veränderung einer Funktion beschreiben?

5 Beispiele

6 Differential und Integral
Die Umkehrung der Differentiation ist die Integration:

7 Differentialgleichungen
Ausgangspunkt: ist die Funktion f(x) gegeben, so liegt die Ableitung f‘(x) fest, und umgekehrt: ist f‘(x) gegeben, so ist auch f(x) bestimmt (bis auf additive Konstante beim unbestimmten Integral) Oft sucht man eine Funktion, von der man nur weiß, wie sie sich mit x Verändert, d.h. man hat eine Differentialgleichung, deren Lösung die gesuchte Funktion ist: Das Differential (die Ableitung) der gesuchten Funktion sei proportional zur Funktion.

8 Differentialgleichungen
Auf diese Differentialgleichung wird man geführt, wenn man den Fall betrachtet, dass eine Größe stets um einen bestimmten Anteil ihres Wertes wächst: Exponentielles Wachstum einer Population: Zeiten mit Quadraten sind „Verdoppelungszeiten“, dh Zeiten, zu denen sich die Population jeweils verdoppelt hat.

9 Differentialgleichungen
Verdoppelungszeiten:

10 Differentialgleichungen
Exponentielles Wachstum der Weltbevölkerung

11 Differentialgleichungen
Ist die Wachstumsrate konstant, so ist das Wachstum exponentiell. Wie ist Das Wachstum, wenn die Rate nicht konstant ist, es zB Sättigung im Wachstum gibt? Logistisches Wachstum Verhulst bekam 1838 den Auftrag, das Wachstum der Stadt Paris vorherzusagen – die Vorhersage wurde für die Planung neuer Wohnungen (frz logis), Strassen, zugehöriger Kanalisation benötigt. Verhulst nahm an, dass es für eine Stadt eine maximale Größe K (Trägerkonstante) geben müsse, da die Stadt aus dem Umland mit Wasser und Nahrung versorgt werden muß. Pierre Verhulst ( ), belgischer Mathematiker

12 Differentialgleichungen

13 Differentialgleichungen
Logistisches Wachstum der Lebenserwartung in Norwegen

14 Differentialgleichungen
Das klassische Modell der Epidemiologie

15 Differentialgleichungen

16 Differentialgleichungen

17 Differentialgleichungen – Interaktion von Emotionen
Dollard & Miller 1939: Frustration erzeugt Aggression Einmal so… Und das nächste Mal so: Existiert ein überhaupt ein Zusammenhang?

18 Differentialgleichungen – Interaktion von Emotionen
Reaktionen auf einen frustrierenden „Stoß“: Keine Regression im üblichen Sinn! Keine Regression im üblichen Sinn – Oszillation bis zur Gleichgewichtslage!

19 Differentialgleichungen – Interaktion von Emotionen
Keine Regression im üblichen Sinn – eher eine Explosion! Keine Regression im üblichen Sinn – eher ein permanentes Pendeln! Untersuchungen im Rahmen des Allgemeinen Linearen Modells (ANOVA, Regressionsanalyse etc) erfassen die Dynamik grundsätzlich nicht!

20 Logistische Verteilung, Regression und Klassifikation
Die logistische Verteilung

21 Logistische Verteilung, Regression und Klassifikation

22 Logistische Verteilung, Regression und Klassifikation
Vergleich logistische Verteilung – Gauss-Verteilung

23 Logistische Verteilung, Regression und Klassifikation

24 Logistische Verteilung, Regression und Klassifikation
Gauss-Verteilungen mit identischen Varianz-Kovarianz-Matrizen führen auf die logistische Funktion!

25 Logistische Regression
Wahrscheinlich- keit Wie multiple Regression – Kein Fehlerterm! Nichtlineare Beziehung zwischen den unabhängigen Variablen und der Wahrscheinlichkeit! Wettchance Lineare Beziehung zwischen Prädiktoren und Logit!

26 Logistische Verteilung, Regression und Klassifikation
Wahrscheinlichkeit einer Koronarerkrankung in Abhängigkeit vom Blutdruck

27 Logistische Regression
Wie werden die Koeffizienten geschätzt? Wie werden sie interpretiert? Schätzung:

28 Logistische Regression -- Interpretation
Wettchance (Odds) und Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit als Funktion der Odds wird auf (0, 1) abgebildet Odds als Funktion der Wahrscheinlichkeit wird auf (0, unendlich) abgebildet.

29 Logistische Regression -- Interpretation

30 Logistische Regression – Odds, relatives Risiko, etc
Einige grundlegende Begriffe lassen sich anhand eines dichotomen Merkmals erläutern.

31 Logistische Regression – Odds, relatives Risiko, etc

32 Logistische Regression – Odds, relatives Risiko, etc

33 Logistische Regression – Schätzung der Parameter

34 Logistische Regression – Zusammenfassung

35 Logistische Regression – Infektionsrisiko
Infektionsrisiko bei Kaiserschnittgeburten

36 Logistische Regression – Infektionsrisiko

37 Logistische Regression – Infektionsrisiko

38 Logistische Regression – Infektionsrisiko

39 Poisson-Regression

40 Poisson-Regression

41 Poisson-Verteilungen (lb = lambda)

42 Poisson-Verteilungen - Beispiele
Generell: „Kleine“ Anzahlen Poisson-verteilte Häufigkeiten zeigen „Cluster“ – das sind Anhäufungen von Ereignissen. Diese Anhäufungen resultieren aus der Zufälligkeit der Ereignisse und sind nicht notwendig Ausdruck irgendwelcher systematischer Tendenzen. Systematische Tendenzen kann es ebenfalls geben – aber man muß prüfen, ob die Clusterings solche Tendenzen enthalten. Beispiele: Verletzungen von Kindern in einem Distrikt ( ) Trauma-Forschung – domestic violence (Gagnon et al 2008) Häufung von Galaxien (Saslaw, W. C. "Some Properties of a Statistical Distribution Function for Galaxy Clustering." Astrophys. J. 341, , ) Häufigkeit epileptischer Anfälle in einer Gruppe von Patienten im Laufe eines Jahres Häufigkeit von Arrythmien in 24-Stunden EEGs Häufigkeiten von Infektionen in einer Stadt (existiert „infective agent“?)

43 Poisson-Regression

44 Poisson-Regression

45 Poisson-Regression