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Graphen und Bäume. Graph Ein Graph besteht aus einer Menge von Knoten und Kanten. Die Knoten tragen Namen und sind durch die Kanten verbunden. Kann jede.

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Präsentation zum Thema: "Graphen und Bäume. Graph Ein Graph besteht aus einer Menge von Knoten und Kanten. Die Knoten tragen Namen und sind durch die Kanten verbunden. Kann jede."—  Präsentation transkript:

1 Graphen und Bäume

2 Graph Ein Graph besteht aus einer Menge von Knoten und Kanten. Die Knoten tragen Namen und sind durch die Kanten verbunden. Kann jede Kante eines Graphen in genau einer Richtung durchlaufen werden, so ist der Graph gerichtet. Ist jeder Kante eines Graphen ein Wert zugewiesen, so ist der Graph gewichtet. 2

3 Graph - Beispiele Strecke?Wegkm Aachen Dortmund Nein-- Dortmund Aachen Ja Dortmund Bochum Aachen 210 Verbindung?WegBit/s Client 2 Client 1 Nein-- Client 1 Client 2 Ja Client 1 Router 1 Client 2 bei 20 Bits 3 s 3

4 Bäume Ein Baum ist ein spezieller Graph. Wurzel Innerer Knoten Blatt Leere Elemente Beziehungen ist Vater von 2 2 ist Sohn von 6 Grundeigenschaften es gibt einen Knoten ohne Vater: die Wurzel jeder andere Knoten hat genau einen Vater Weitere Eigenschaften keine Zyklen von Wurzel zu einem Knoten genau ein Pfad 4

5 Bäume Pfad: alle Knoten von einem Knoten k 1 zu einem Knoten k 2 (z. B ) Pfadlänge: Anzahl der Knoten von einem Knoten k 1 zu einem Knoten k 2 Tiefe des Baumes: das Maximum aller Pfadlängen von der Wurzel zu einem Blatt Tiefe eines Knotens: Pfadlänge von der Wurzel zu diesem Knoten Unterbaum: beliebiger Knoten k mit allen Nachfolgern, k als Wurzel Pfad Unterbaum 5

6 Bäume Rekursive Definition Ein Baum ist leer oder er besteht aus einer Wurzel W und einer leeren oder nichtleeren Liste B 1, B 2,..., B n von Bäumen. Von W zur Wurzel W i von B i führt jeweils eine Kante. W B1B1 B2B2 W2W2 W1W1... 6

7 Bäume - Beispiele 7

8 Binärbäume Ein Binärbaum ist ein spezieller Baum. Rekursive Definition Ein Binärbaum ist leer oder er besteht aus einer Wurzel W und zwei Binärbäumen, dem linken und dem rechten Teilbaum. W B1B1 B2B2 W2W2 W1W1... 8

9 Binärbäume - Beispiele (1) 9

10 Binärbäume - Beispiele (2) 10

11 Binäre Suchbäume Ein Binärer Suchbaum ist ein spezieller Binärbaum Rekursive Definition Ein binärer Suchbaum ist leer oder besteht aus einer Wurzel und zwei binären Suchbäumen, dem linken und dem rechten Teilbaum. Der Inhalt des Wurzelknotens ist größer als alle Elemente im linken Suchbaum und kleiner als alle Elemente im rechten Suchbaum. alle Knotenwerte von B 1 sind echt kleiner als W alle Knotenwerte von B 2 sind echt größer als W... 11

12 Binäre Suchbäume - Beispiel Linker Teilbaum von 25: 3 < < < 25 Rechter Teilbaum von 25: 30 > > > 25 Linker Teilbaum von 10: 3 < 10 Rechter Teilbaum von >

13 Binäre Suchbäume - Traversierung Preorder Durchlauf: Wurzel – Linker Knoten – Rechter Knoten (WLR)

14 Binäre Suchbäume - Traversierung Inorder Durchlauf: Linker Knoten – Wurzel – Rechter Knoten (LWR) Sortiereigenschaft: Nach einem Inorder-Durchlauf ist die Zahlenfolge aufsteigend sortiert! 14

15 Binäre Suchbäume - Traversierung Postorder Durchlauf: Linker Knoten – Rechter Knoten – Wurzel (LRW)

16 Binäre Suchbäume - Traversierung Levelorder Durchlauf: Ebenenweise Zuerst Wurzel, dann Söhne der Wurzel,

17 Binäre Suchbäume - Operationen Einfügen Beispiel: > > > NIL 17

18 Binäre Suchbäume - Operationen NIL 18 Löschen 1. Fall: Ein Blatt Beispiel: 3

19 Binäre Suchbäume - Operationen NIL 19 Löschen 2. Fall: Ein innerer Knoten mit 1 Nachfolger Beispiel: 10

20 Binäre Suchbäume - Operationen Löschen 3. Fall: Einen inneren Knoten mit 2 Nachfolgern Vorgehen: Suche Knoten mit kleinstem Element im rechten Teilbaum und ersetze damit zu löschenden Knoten Beispiel: NIL 70 NIL 20


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