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2x = ? | Urs Vonesch Einführung ins Lösen von Gleichungen.

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Präsentation zum Thema: "2x = ? | Urs Vonesch Einführung ins Lösen von Gleichungen."—  Präsentation transkript:

1 2x = ? | Urs Vonesch Einführung ins Lösen von Gleichungen

2 2x = ? | Aufgabe 1 Wie gehen Sie vor?

3 2x = ? | Notieren Sie rechts eines senkrechten Striches, wie Sie die beiden Seiten der Gleichung verändern.

4 2x = ? |

5 Aufgabe 2

6 2x = ? | Den Nenner durch Multiplikation wegschaffen

7 2x = ? |

8 Aufgabe 3

9 2x = ? |

10 Aufgabe 4 Sortieren: x-Ausdrücke auf eine Seite bringen

11 2x = ? |

12 Aufgabe 5: eine Ungleichung Bei Ungleichungen muss stets die Grundmenge angegeben sein (N, Z, Q oder R).

13 2x = ? | Die Lösung ist eine ganze Zahlmenge, die Lösungsmenge L. Die Grundmenge war hier Z. L ist eine Teilmenge davon. Hier ist die aufzählende Form günstig.

14 2x = ? | Aufgabe 6 Alle x-Ausdrücke auf eine Seite bringen...

15 2x = ? | Grundmenge war Z. L ist Teilmenge davon. Aufzählende Form.

16 2x = ? | Aufgabe 7 Hier ist G = R.

17 2x = ? | x wird auf diejenige Seite geschafft, bei der beim Verrechnen positive x-Terme entstehen, hier also nach rechts: Wie sieht der nächste Schritt aus?

18 2x = ? | Achtung: 16 > x bedeutet: x ist kleiner als 16. Bei Grundmenge R ist die aufzählende Form nicht möglich. L wird in der beschreibenden Form notiert.

19 2x = ? | Aufgabe 8: Sie zeigt uns eine wichtige Regel bei Ungleichungen.

20 2x = ? | Wichtig: Wird eine Ungleichung beidseitig mit einer negativen Zahl multipliziert, so ändert das <, bzw. das >-Zeichen! Dasselbe gilt bei beidseitiger Division durch eine negative Zahl. Hier wird beidseitig durch (-1) dividiert. > wird dann zu <:

21 2x = ? |

22 Aufgabe 9: verschiedene Nenner Erster Schritt: gleichnamig machen, d.h. Hauptnenner (HN) finden

23 2x = ? | Erweitern auf den Hauptnenner: 2.Schritt: Beidseitig mit dem HN multiplizieren. Die Nenner fallen dann weg.

24 2x = ? | 3.Schritt: x auf eine Seite schaffen, so dass positive x-Terme entstehen. Wir schaffen hier x nach rechts.

25 2x = ? |

26 Aufgabe 10: Gleichungen mit Buchstaben (Parametern) Vorgehen: 1.Alle x auf eine Seite schaffen 2.x ausklammern 3.x durch Division isolieren

27 2x = ? | Aufgabe 11 x auf eine Seite schaffen, dann ausklammern

28 2x = ? |... und zum Schluss x isolieren.

29 2x = ? | Aufgabe 12: x kommt auch im Nenner vor Wichtig: Die Gleichung ist nur für x-Werte definiert, bei denen keiner der Nenner 0 wird. Das ist am Schluss nachzuprüfen. Hier darf x nicht 4/3 werden.

30 2x = ? | Durch Erweitern den HN suchen und dann mit diesem multiplizieren:

31 2x = ? | Vorsicht beim Verschwinden der Bruchstriche: Bruchstriche waren Klammern. Deshalb der Vorzeichenwechsel (rotes + unten): Die Lösung x = -2 gehört zu den erlaubten Zahlen.

32 2x = ? | Aufgabe 13: Nochmals x im Nenner Der Hauptnenner wird via 3.Binomische Formel gefunden: Verbotene x sind 5 und -5, denn da wird ein Nenner null. Man sagt: Der Definitionsbereich D ist R ohne {-5, 5}.

33 2x = ? | Erweitern und Multiplikation mit dem HN:

34 2x = ? | Vorsicht hier: Minus vor dem Produkt Wir setzen als Zwischenschritt hier eine Klammer Vorzeichenwechsel beim Auflösen der Klammer Schlusskontrolle: Ist x ein erlaubter Wert?

35 2x = ? | Nein! x ist nicht Element des Definitionsbereichs D! Die Lösungsmenge ist die leere Menge; die Gleichung ist unlösbar.

36 2x = ? | Es kann vorkommen, dass Sie nach etlichen Schritten des Auflösens einer Gleichung zu folgendem Resultat kommen: 2x = 2x oder x = x. Was bedeutet dies? Dies bedeutet eine Selbstverständlichkeit, die für jedes x gilt. Sie können einsetzen, was Sie wollen: Die Gleichung stimmt immer. Man sagt: Die gegebene Gleichung ist allgemeingültig. Die Lösungsmenge L ist gleich dem Definitionsbereich D: L = D.

37 2x = ? | Zusammenfassung: Vorgehen beim Auflösen von Gleichungen: 1.Definitionsbereich D bestimmen (Nenner 0) 2.Gleichnamig machen (HN suchen) 3.Mit HN multiplizieren. Achtung auf Vorzeichen! 4.Sortieren: Alle x-Terme auf eine Seite bringen 5.Bei Buchstabengleichungen: x ausklammern 6.x isolieren 7.Lösung überprüfen: erlaubt oder verboten? Vorsicht bei Ungleichungen, wenn mit negativen Zahlen multipliziert oder durch negative Zahlen dividiert wird: > und < wechseln!

38 2x = ? |


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