Die Plasma-Randschicht

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1 Die Plasma-Randschicht
Plasmen müssen natürlich von materiellen Wänden umgeben sein, daher ist Wewi zwischen Plasmen und Wänden wichtig Es gibt Einfluss des Plasmas auf Wände (Zerstäubung etc., das wird Gegenstand der Oberflächenbehandlung mit Plasmen sein – spätere Vorlesung Aber es gibt auch Einfluß der Wand auf das Plasma, es gibt natürlich viele Effekte, bspw: geladene Teilchen treffen auf Wand, werden dort neutralisiert und kommen zurück (als thermische – Temperatur der Wand – Teilchen), Als Franck-Condon-Atome, die im wandnahen Bereich entstanden sind Als Ladungsaustausch-Atome mit Energie des thermischen Plasmas Die Länge, auf der diese Teilchen wieder ionisiert werden, ist Ionisierungslänge: lambda_ion= v_0/( <sigma_ion v_e>) ~ m fuer T=10 eV und n_e ~ 10^19 m^-3 Wir nehmen an, das Plasma könnte frei zur Wand strömen (oder entlang von MF) Elektronen sind viel schneller m_e/2 v_e^2 = m_i/2 v^_i^2 -> v_e ~ sqrt(m_i/m_e) v_i Auf Grund thermischer Geschwindigkeit würden viel mehr Elektronen auf die Wand treffen als Ionen, aber Ionen werden in der Wand neutralisiert und das Plasma lädt sich auf Dabei entsteht Potential, die Schicht vor der Wand ist elektrisch negativ geladen, so dass keine weiteren(oder nur noch sehr schnelle Elektronen mehr zur Wand gelangen können, d.h. - In der Randschicht ist das Plasma nicht mehr elektrisch neutral Das geht nur auf der Längenskala von wenigen Debye-Längen! Die Ionen werden in der positiv geladenen Schicht beschleunigt und dabei auf die Wand geschossen Man kann also die Plasma-Randschicht aufteilen in einen Bereich, der nicht quasi-neutral ist (unmittelbar an der Wand), die Schichtdicke ist von der GO der Debye-Länge, für unser Beispiel oben 10^-5 m, in dem Bereich kann man Stöße völlig vernachlässigen, da die mittleren freien Weglängen viel größer sind In Randschicht ist Plasma nicht mehr quasineutral!

2 Charakteristische Längen:
Annahmen: ohne MF oder Stroemung des Plasmas entlang von MF senkrecht auf Wand Treffen Ionen auf die Wand, werden sie überwiegend neutralisiert, zurückfliegende Neutrale wewi mit Plasma Zur Berechnung der Längen: Te=Ti=10 eV Wir wählen hier xs so, dass Stoesse für x< xs keine Rolle spielen, für x>xs spielt Ladungstrennung keine Rolle mehr

3 Elektronen in der Randschicht
Für x xs gilt ne=ni=ns x xs wx Geschwindigkeitsverteilung: für x =xs und wx  0: Maxwell-Verteilung für x=0 und wx > 0: f (x=0, wx > 0) =0 Verhältnis von Potential und ne zu ni in der Randschicht muss aus Poisson-Gleichung bestimmt werden, weil Ladungstrennung auftritt Hier zuerst die Elektronen betrachten, bei einem Wandpotential das zunächst nicht bekannt ist Begründung für die Verteilungsfunktion: wenn kein Potential spürbar: Maxwell-Verteilung für Bewegung auf die Wand zu Verteilungsfunktion für Bewegung von der Wand weg muss berücksichtigen, dass Elektronen, die schnell genug sind, um ein eventuell abstossendes Potential der Wand (Phi_W) zu überwinden, auf die Wand treffen, dort neutralisiert werden und nicht wieder zurückfliegen Drekt an der Wand gibt es keine Elektronen, die von der Wand wegfliegen (Elektronen, die es gegen das Potential dorthin geschafft haben, treffen auf die Wand, Sekundärelektronen-Erzeugung in der Wand vernachlässigt) Elektronen, die nicht die Wand erreichen, werden reflektiert und erhalten dabei auf dem Weg ihre urspüngliche Geschwindigkeit zurück, d.h. wenn sie den Ort mit Phi=0 erreicht haben, gibt das wieder eine Maxwell-Verteilung, im Bereich eines endlichen Potentials ist ihre Geschwindigkeit verringert (1. Formel) alle Elektronen mit einer Geschwindigket au die Wand zu, die das Potential überwinden können, verschwinden in der Wand und „fehlen“ dann in der Verteilungsfunktion (2. Formel, f=0)

4 Elektronen in der Randschicht
 nicht bekannt! Am Bild sieht man, dass rechts die Verteilungsfunktion abgeschnitten ist, hier ist Phi im Prinzip eine Ortsvariable, nur Phi_w ist fest für Phi=0 (an x=xs) hat man eine Maxwell-Verteilung, nur solche Elektronen mit eines Geschwindigkeit größer als das Wandpotential kommen nicht mehr vor in der Verteilungsfunktion, die wurden von der Wand „geschluckt“ Für größeres Phi (dichter an der Wand) gibt es auch insgesamt weniger Elektronen, denn die vorher reflektierten, tauchen hier nicht mehr auf An der Wand selbst (Phi=Phi_w) gibt es keine Elektronen, die von der Wand wegfliegen (und auch nur wenige Elektronen haben die Wand erreicht)

5 Lokale Elektronendichte
Elektronendichte erhält man aus Integration der Verteilungsfunktion über ws von –Unendlich bis w_x* (vorrechnen) eigentlich hätte man Boltzmann-Verteilung erwartet (wie bei Deye-Abschirmung: weniger Teilchen in der Umgebung eines negativen Potentials), aber hier zusätzlich das Neutralisieren der Elektronen in der Wand! (Phi ist < 0) v(y) ist die Korrektur gegenüber der üblichen Flüssigkeitstheorie (liegt zwischen 0.5 und 1) Überall Te meint k_B T Wenn Wandpotential viel größer als k T_e, dann für Phi=0 -> y=1 und n=ns (dort, wo Ladungstrennung keine Rolle spielt) Phi ist bisher nicht bekannt, dazu braucht man noch die Ionen, das kommt jetzt

6 Ionen in der Randschicht
für x xs gilt ne=ni=ns falls kein Strom zwischen Wand und Plasma fließt: ve ~ vi ~ vs Man braucht noch Phi, dazu muss man Ionendichte berechnen an xs ist Quasineutralität wieder hergestellt Aber noch nicht thermische Geschwindigkeiten, denn die Forderung, dass kein Strom zwischen Wand und Plasma fließt, bedeutet dass in Richtung auf die Wand Elektronen- und Ionengeshwindigkeit gleich sind (für Z=1) Vereinfachende Annahme T_i=0 bedeutet nicht v_i=0, sondern nur, dass alle Ionen annähernd die gleiche Gewschwindigkeit haben Erste Gleichung folgt aus Energieerhaltung: m/2 v_i^2 = m/2 v_s^2 – e Phi (Ionen im Potential beschleunigt, da Phi < 0) Zweite Gleichung folgt aus Stationarität: n_i=n_s (Kontinuitätsgleichung: nur die Ionen, die von rechts bei x_s ankommen, können auch auf die Wand fliessen) Wenn man 1. Gleichung nach v_i umstellt, folgt aus n_i=n_s die 2. Gleichung Wenn man nun n_i kennt, kann man die Poisson-Gleichung anschreiben

7 Lösen der Poisson-Gleichung:
 , Linearisierung in  möglich Der Einfachheit halber betrachten wir hier die Umgebung von x=xs, wo die Ladungstrennung noch gering ist und man linearisieren kann: im Nenner des 1. Terms v_s ausklammern und die Wurzel dann entwickeln (1 + ½ r Phi/m) -> liefert wegen ausgeklammeretem v_s den 2. Term in der neuen Poisson-Gleichung Im 2. Term die Exponentialfunktion entwickeln -> liefert den Term 1/T_e DGL hat die Form Phi‘‘ = alpha Phi, mit der Lösubg Phi=Phi_0 exp (+/- sqrt(alpha) x) RB: x>x_s : Phi=const. (alpha=0) , x< x_s: Phi muss monoton abnehmen bis zum negativen Wandpotential bei x=0 (alpha >0) Wegen Randbedingung ( muss abfallen für x gegen 0): „Bohm-Bedingung“ 

8 Aus der Ionisationsschicht müssen Ionen mindestens mit Schallgeschwindigkeit ausströmen!
- Oftmals sind Ionen kälter als Elektronen (wenn man nur Elektronen heizt, z.B. In Mikrowellen geheizten Plasmen), dann werden Ionen beschleunigt auf die Schallgeschwindigkeit und „bombadieren“ die Wand (unsere Ionen waren kalt für die Rechnung) für endliche Ionentemperatur gilt c_s=sqrt((3 T_i + T_e)/m_i), für T_i=T_e werden Ionen nur noch wenig beschleunigt Innerhalb der Schicht werden Ionen dann natürlich weiter beschleunigt wegen des Potentials Bohm-Kriterium:

9 Das Wandpotential (Langmuir-Potential)
Flüsse sind gleich: Fluss der Elektronen in die Wand = Fluss der Elektronen in die Schicht Berechnung des Potential-Verlaufs: setze v_s =Scallgeschwindigkeit im stationären Fall sind Flüsse der Elektronen in die Wand und durch die Zwischenschicht gleich (jedenfalls wenn man die Summe aller zur Wand und zurück fliessenden Elektronen bei x_s betrachtet) Links: Fluss der Elektronen in die Wand – Integral über Verteilungsfunktion am Ort der Wand für alle Geschwindigkeiten in die Wand hinein Mitte: das Ergebnis der Integration mit der unten stehenden Verteilungsfunktion Ganz rechts: Dichte x Geschwindigkeit an der Schichtgrenze Gleichung unten ist Lösung der Gleichung oben rechts Wandpotentiale unten durch Einsetzen der Ionentemperatur in die Schallgeschwindigkeit

10 Das Randschichtpotential
Lösung der Poisson-Gleichung ohne Linearisierung liefert das Potential in der geladenen Schicht vor der Wand, man findet: das Wandpotential wie gerade berechnet Quasineutralität ist verletzt für einige Debye-Längen (hier 10) Wandpotential erhöht Wandzerstäubung, weil Ionen mit hoher Geschwindigkeit auf die Wand treffen (besonders natürlich hoch-Z-Ionen) In typischem Niedertemperatur-Plasma ( eV) treffen Ionen mit typisch eV senkrecht auf Festkörperoberfläche, ein so „mildes“ Bomardement ist für einige Plasmaanwendungen (Beschichtungen, Ätzen von Halbleitern) optimal. Wenn man höhere Energien benötigt, muss man ein zusätzliches Potential anlegen

11 Die Langmuir-Sonde I U Über isolierte Zuführung wird eine Sondenspitze in Plasma eingebracht und mit Hilfe einer variablen Spannungsquelle die U/I-Kennlinie aufgenommen U/I-Kennlinie liefert Aussagen über Plasmadichte und -temperatur

12 U/I- Sondenkennlinie Ionensättigungsstrom zur Dichtebestimmung U I (
a d Stark negativ alle Ionen keine Elektronen auf Sonde - Sättigungsstrom ( Spg . Nullpkt bezogen auf Plasmapotential Es wird diodenähnliche Kennlinie durchlaufen, wobei Verhältnis der Sättigungsströme sqrt(m_i/m_e) beträgt – Elektronensättigungsstrom (d) größer Am Punkt (a) ist die Spannung so negativ, dass alle Elektronen zurückgehalten werden und alle Ionen aufgesammelt werden Strom ist (negativer) Ionensättigungsstrom In Formel für I_is: F: Sondenoberfläche (man muss annehmen, dass Sondenfläche viel kleier ist als s^2, weil Schicht in gewisser Weise auch zur Sondenoberfläche zählt), e n_s c_s ist Stromdichte an der Schichtgrenze Strom ist gesättigt, weil nur Ionen aus der Schicht zur Verfügung stehen, und die werden aus der Schicht mit etwa Schallgeschwindigkeit gezogen Dichte kann bestimmt werden wenn Temperatur bekannt ist (die geht mit der Wurzel in die Schallgeschwindigkeit ein)

13 U/I- Sondenkennlinie I Elektronenstrom Ionenstrom U ( Spg . Nullpkt .
Positiv gegen Plasma alle Ionen kehren um Elektronen - Sättigungsstrom alle Ionen und Elektronen Plasmapotential ( positiver ) Nettostrom I d Elektronenstrom Ionenstrom Nettostrom Gesamtstrom = 0 “floating potential” c b U a Stark negativ Bei geringerer negativer Vorspannung gelangen immer mehr Elektronen auf die Sonde, an einem bestimmten Punkt treffen gleich viele Ionen wie Elektronen auf die Sonde -> Gesamtstrom wird Null, das ist das „floating“ Potential. Dieser Punkt entspricht einer Sonde ohne elektrischen Anschluss oder Anschluss an ein ideales Voltmeter. Bei Spannung = 0 bezogen auf das Plasma erreichen alle Ionen und Elektronen die Sonde. Elektronen sind schneller bei gleicher Dichte, daher positiver Nettostrom. Bei weiterer Spannungserhöhung treffen nur noch Elektronen auf die Sonde: Elektronensättigungsstrom. Der ist um sqrt(m_i/m_e) größer als der Ionensättigungsstrom, weil Elektronen größere Geschwindigkeit haben. Eigentlich gibt es keinen echten Sättigungsstrom, denn mit steigender Spannung steigt der Strom langsam weiter an. Dabei wird das Potentail immer negativer und die Schichtbreite steigt, aber das soll hier nicht betrachtet werden. alle Ionen Ionen - Sättigungsstrom keine Elektronen auf Sonde ( Spg . Nullpkt . bezogen auf Plasmapotential )

14 Sondenkennlinie Ii < 0 Elektronen-Sättigungsstrom: I U d c b a
Die Exponentialfunktion kommt aus der Integration der Elektronenverteilungsfunktion. Phi_p ist das Plasmapotential, d.h. Potential des Plasmas gegen die Wand (geerdet). Elektronensättigungsstrom: F e n_e x Mittelwert der Elektronengeschwindigkeit in einer bestimmten Richtung. <v_x> = <v>/4 (findet man aus int_0^Unendlich v_x w(v_x) dv_x)

15 Floating-Bedingung Im Bereich des floating-Potentials folgt die Elektronentemperatur aus dem Anstieg der logarithmierten Kennlinie

16 Zusammenfassung Plasmarandschicht
In Randschicht ist Plasma nicht quasineutral! Aus der Ionisationsschicht müssen Ionen mindestens mit Schallgeschwindigkeit ausströmen! Bohm-Kriterium:

17 Zusammenfassung Plasmarandschicht
Wandpotential: Die Langmuir-Sonde Elektronendichte aus Ionen- (Elektronen-)sättigungsstrom Elektronentemperatur aus 1. Ableitung der logarithmierten Kennlinie im Bereich des Strom-Nulldurchgangs In Formel für Wandpotential Schallgeschwindigkeit für kalte Ionen eingesetzt liefert Wandpotential Aus Elektronensättigungsstrom wird Dichte meist nicht bestimmt, da er so hoch ist, dass er das Plasma lokal verändert