Bildtransformationen

Präsentation zum Thema: "Bildtransformationen"—  Präsentation transkript:

1 Bildtransformationen
4 Bildtransformationen “New worlds, new opportunities, new challenges.”

2 Bildtransformation Transformation der Bildinformation in eine neue Darstellung Ausnutzen bestimmter Eigenschaften der Darstellung zur Bildverarbeitung oder -analyse Rücktransformation der Darstellung in den Bildbereich

3 Bildtransformation Unitäre Bildtransformationen
Fourier Transformation Cosinus Transformation Walsh-Hadamard Transformation Haar Transformation ... Parametrische Bildtransformationen Hough Transformation Radon Transformation

4 Wichtige Anwendungsgebiete
Allgemein Dimensionsreduktion Dekorrelation Speziell Bildfilterung Filterung im Frequenzraum Bildkompression JPEG, etc Bildmerkmale für Mustererkennung & Klassifikation z.B. Objekterkennung, Gesichtserkennung

5 Fourier-Reihen Erstpublikation 1807, Buch 1822
Übersetzung auf Englisch in 1878 Darstellung von (praktisch) jeder periodischen Funktion mit Periode T als eine (ggf. unendliche) Summen-Reihe von gewichteten Sinus und Cosinus Wellen Verlustfreie, invertierbare Transformation

6 Fourier-Reihe

7 Fourier-Reihe für 0 < t < T für n ≥ 1 Fourier-Bereich: ALLE Werte der Funktion f(t) werden bei der Berechnung von dem jeweiligen an und bn einbezogen Ortsbereich: An jeder Stelle ergibt sich der Funktionswert durch die Überlagerung ALLER sin & cos Wellen

8 Fourier-Reihe

9 Beispiel Rechteck-Signal

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17 Beispiel Sägezahn-Signal

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25 Fourier-Reihe

26 Fourier Transformation
ALLE Werte der Funktion f(x) werden bei der Berechnung von dem jeweiligen F(w) einbezogen

27 Fourier Transformation
Fourier Transformierte ist komplex Aufspaltung in Betrag und Phase “Spektrum” “Phase”

28 Fourier Transformation
Beispiel

29 Impuls & sinc

30 2D Fourier Transformation

31 Abtastung Abtastungsgröße

32 Diskrete Fourier Transformation

33 Diskrete 2D Fourier Transformation

34 “Amplituden Spektrum”
Fourier Spektrum Eine diskrete 2D Matrix mit M x N Werte (= digitales Bild) wird in eine M x N Matrix mit komplexen Fourier-Koeffizienten transformiert Jeder dieser komplexen Fourier Koeffizienten läßt sich in Polarkoordinaten ausdrücken: “Amplituden Spektrum” “Phasen Spektrum”

35 Fourier Spektrum N x M Pixel  N x M Frequenzen real komplex
Bild Spektrum Jeder Eintrag in dem Spektrum definiert eine Cosinus-Welle Amplitude = Höhe einer Welle (=„Wichtigkeit“) Phase = Verschiebung der Welle zum Ursprung Abstand zum Mittelpunkt = Frequenz der Welle Ausbreitung = Verbindungsgerade zum Mittelpunkt

36 Fourier Wellen Fourier-Bereich: ALLE Werte der Funktion f(t) werden bei der Berechnung von dem jeweiligen F(w) einbezogen! ALLE Funktionswerte werden bei der Berechnung JEDER Welle berücksichtigt Ortsbereich: An jeder Stelle ergibt sich der Funktionswert durch die Überlagerung ALLER Wellen! JEDE Welle ist ÜBERALL im Bild aktiv

37 Fourier Wellen

38 Fourier Wellen

39 Fourier-Wellen

40 Fourier-Wellen

41 Fourier-Wellen

42 2D Fourier Transformation

43 Spektrum-Abtastdichte Relation

44 Fourier Spektra

45 Fourier Spektra

46 Fourier Spektra

47 Fourier Spektra

48 Eigenschaften Translation

49 Eigenschaften Rotation

50 die DFT eines Bildes ist symmetrisch
Eigenschaften Periodizität die DFT eines Bildes ist periodisch Symmetrie die DFT eines Bildes ist symmetrisch

51 Eigenschaften Separierbarkeit Transformation Transformation der Zeilen
der Spalten

52 Eigenschaften F(0,0) beinhaltet den MxN skalierten Mittelwert des Bildes (i.d.R. ziemlich großer Wert) Linearität:

53 Fourier Spektra

54 Fourier Spektra

55 Fourier Spektra

56 Fourier Spektra

57 Fourier Spektra

58 Translation & Rotation: Power

59 Translation & Rotation: Phase

60 Manipulation des Fourier Spektrums
Amplitude Amplitude Phase

61 Manipulation des Fourier Spektrums
Amp = 1 Phase = Frau Phase Amp = Frau Phase = 0 Amp = Rechteck Phase = Frau Amp = Frau Phase = Rechteck

62 Bildtransformation Fourier Transformation
Transformierte repräsentiert Bildfrequenzen (Manipulation) Transformierte komplex (Spektrum & Phase) Fließkomma Koeffizienten Transformierte redundant (Symmetrie) Suche nach anderen Transformationen zur geeigneten Informationsdarstellung

63 Parametrische Transformation
Darstellung der Bildinformation anhand von veränderten Ortsraumparametern, z.B. Transformation ist nicht zwingend orthogonal (in der Regel nicht invertierbar) Bestimmte Informationen sind in der transformierten Darstellung einfacher abzulesen

64 Radon Transformation Orthogonale Projektion des Bildes bezüglich des Bildmittelpunktes in Abhängigkeit des Winkels

65 Radon Transformation

66 Radon Transformation

67 Radon Transformation

68 Radon Transformation

69 Radon Transformation

70 Unitäre Bildtransformation
Definition einer separablen & symmetrischen Transformation Bild Spaltentransformation Zeilentransformation Transformiertes Bild Orthonormalität

71 Unitäre Bildtransformation
Basisbilder (2D Basisvektoren) Ein Bild läßt sich als Linearkombination der mit den Transformationskoeffizienten gewichteten Basisbilder darstellen

72 Beispiel: Basisbilder des 8x8 Bildraums
, = Lege jede Maske über das Bild Multipliziere Maske & Pixel paarweise Addiere alle Teilergebnisse zu einer Zahl Trage diese an der Masken-Position im transformierten Bild => ALLE Pixel des Originals tragen an JEDER Stelle des transformierten Bildes bei!

73 Walsh-Hadamard Transformation
Reelle Transformation Schnell (Addition/Subtraktion) Implementierung mit ganzzahligen Koeffizienten möglich Befriedigende Datendekorrelation

74 Walsh-Hadamard Transformation

75 Haar Transformation Reelle Transformation Schnell
Ortsinformation bleibt teilweise erhalten Mäßige Datendekorrelation

76 Haar Transformation

77 Cosinus Transformation
Reelle Transformation Pseudofrequenzdarstellung (DCT ist nicht der Realteil der DFT!) Exzellente Datendekorrelation Effiziente SW, beschleunigte HW

78 Cosinus Transformation