Mathematik des Bridge Tanja Schmedes.

Präsentation zum Thema: "Mathematik des Bridge Tanja Schmedes."—  Präsentation transkript:

1 Mathematik des Bridge Tanja Schmedes

2 Aufbau des Seminars Anzahl Hände
obere und untere Grenzen der legalen Spielsequenzen Vergleich zu anderen Spielen vollständige / unvollständige Information Häufigkeiten Mischprogramme Vorführung eines Mischprogramms anhand von Big Deal Verknüpfung eines Mischprogramms mit einem Double Dummy Solver

3 Anzahl Hände Anzahl möglicher Hände:
Spieler 1: Spieler 2: Spieler 3: Spieler 4: Insgesamt: Spieler 1 · Spieler 2 · Spieler 3 · Spieler 4 =

4 Verteilungen Verteilung charakterisiert Hände
Gestalt der Hände in Bezug auf die 4 Farben mögliche Verteilung einer Hand : := 4  4  4  1  allgemeine Formel: {Anzahl Karten die Spieler i in Farbe j hat, mit i:= 1...4, j:= 1() 2() 3() 4()} Wahrscheinlichkeit einer Verteilung einer Hand: % Wahrscheinlichkeit einer Verteilung einer Hand: %

5 Erlaubte Spielzüge Fall, das Spieler 1 alle Karten einer Farbe hat und immer herauskommt für Spieler 1: 13 Möglichkeiten, den 1. Stich zu spielen 12 Möglichkeiten, den 2., ... für Spieler 2-4: jeweils N Möglichkeiten, zu bedienen ergibt für den ersten Stich Möglichkeiten für das gesamte erste Spiel Möglichkeiten

6 Obere und untere Grenze
obere Grenze liegt bei untere Grenze liegt bei mittels des Prinzips der Verteilung Grenzen verfeinern: wenn die vier Hände bekannt sind: Anzahl lps´s : Maximum: wie oben, Minimum: wenn nur zwei Hände bekannt sind: Möglichkeiten, die restliche Karten zu verteilen Anzahl lps´s :

7 Abschätzungen Berklekamp: die Anzahl legaler Spielfolgen beträgt für die meisten Verteilungen Levy: die Anzahl legaler Spielfolgen beträgt für die meisten Verteilungen erwarte Anzahl von lps´s in einem zufälligen Double Dummy Problem

8 Vergleich Anzahl von Suchraum-Positionen in verschiedenen Spielen:
Backgammon: Dame: Bridge: Schach: Scrabble:

9 Spiele mit vollständiger Information
Aufbau des Spielbaums Bewertung der Blätter Durchführung des Minimax-Algorithmus Abschneiden überflüssiger Teilbäume Bridge: unvollständige Information Vorgehen hier ?

10 Minimax

11 Häufigkeiten Verteilungen der Karten bei den Gegenspielern:
gerade Anzahl Karten: Wahrscheinlichkeit ca. 50%, das Karten ungleichmässig verteilt sind ungerade Anzahl Karten: Wahrscheinlichkeit von ca. 65% das ein Gegner jeweils eine Karte mehr als sein Partner besitzt ab 9 Karten nicht mehr gegen Dame schneiden, ansonsten: Verteilung von beispielsweise Hand: A K B Dummy: x x 76 % Erfolgschance ab 11 Karten nicht mehr gegen König schneiden, ansonsten: Verteilung von beispielsweise Hand: A D B Dummy: x % Erfolgschance

12 Mischprogramme Voraussetzungen an Software
alle möglichen Bridge-Hände sollten generiert werden können alle Verteilungen sollten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit generiert werden können Unabhängigkeit neuer Verteilungen von vorangegangenen keine Vorhersage von Bridge-Händen möglich

13 Pseudo Zufallsgenerator
generiert aus zufälligem Startwert mathematisch weitere Zufallszahlen Startwert unterliegt fester Größenordnung bei den Generatoren der meisten Mischprogramme 32 bits -> sie können maximal mögliche Serien von Werten generieren -> es können maximal verschiedene Hände generiert werden es existieren verschiedene Hände Vielzahl Mischprogramme erfüllt erste Voraussetzung nicht

14 Big Deal Verwendung eines 160-bit Zufallswert
Verwendung eines auf Sicherheit und Zuverlässigkeit getesteten 160-bit PRNG, RIPEMD-160 Kürzung der so entwickelten 160-bit Zufallszahl auf 96 Bits Konvertierung der 96-bit Nummer in einen Bridge Deal verschiedene Ausgabe Formate, BRI, DUP, PBN PBN Format ermöglicht eine Verknüpfung mit anderen Programmen, z.B. Double Dummy Solvern