m Elektrodynamik x 1. Elektromagnetische Wellen D γ 1.1. Schwingkreise

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1 m Elektrodynamik x 1. Elektromagnetische Wellen D γ 1.1. Schwingkreise
Q Freie Schwingung Maschenregel  D γ m x Mechanisches Analogon: Übersetzung: Mechanik  Elektrodynamik x  Q m  L   R D  C1

2 Lösung übersetzt aus Mechanik:
Q Schwingfall: Aperiodischer Grenzfall: Kriechfall:

3 1.1.2. Erzwungene Schwingung ( Übersetzung aus Mechanik)
Serienschwingkreis: U(t) R C L  Q I D γ m x F(t) Resonanzfrequenz:  Z  R minimal Bandbreite:

4 Parallelschwingkreis:
U(t) QC I R C L  IL m xm D F(t) γ x Kleine Dämpfung  Resonanzfrequenz:  maximal Bandbreite:

5 1.1.3. Gekoppelte Schwingkreise
(  gekoppelte mechanische Schwinger ) R1 C1 L1 I1 Q1 R2 C2 L2 I2 Q2 L12 Induktive Kopplung: Lösungsweg: Transformation auf Normalkoordinaten Beispiel: L1L2 L C1C2C R1R2 R Normalkoordinaten: Eigenfrequenzen: Normalmoden ( Schwingfall ):

6 Analoges Verfahren  Kapazitive Kopplung: R1 C1 L1 R2 C2 L2 Ck Galvanische Kopplung: R1 C1 L1 R2 C2 L2 Rk

7      1.1.4. Erzeugung ungedämpfter Schwingungen
Beispiel: Meißner-Schaltung L C R1 C1   L C R1 C1   sperrt Schwingphase 1 autarker Schwingkreis Schwingkreis npn-Transistor als elektronischer Schalter  Lade-Widerstand Puffer-Kondensator

8 npn-Transistor als elektronischer Schalter
Erzeugung ungedämpfter Schwingungen Beispiel: Meißner-Schaltung L C R1 C1   L C R1 C1   leitet Schwingphase 2 Nachladung Schwingkreis npn-Transistor als elektronischer Schalter  Lade-Widerstand Puffer-Kondensator

9 1.2. Elektromagnetische Wellen auf Leitern
Die Telegraphengleichung viele gekoppelte Schwinger  Kontinuumsübergang  Wellen Beispiele: Leitermantel ,  I ( x , t ) d I ( x , t ) d x Doppelleitung ( Flachbandkabel, Twisted Pair ) Koaxialkabel ( Koax-Kabel ) dx Ersatzschaltbild: x dR dL dC Beispiel: d  mm  ≪ 30 GHz Voraussetzung: d  c ≪ T   bzw. ≪ c  d d. h. lokal gelten weiterhin die Gesetze der Quasistatik!

10 x Am Ort x zur Zeit t: dx dR dL dC dR dL dC Maschenregel:
 für dx  Also:

11 Am Ort x zur Zeit t: dx x dR dL dC dR dL Knotenregel: Also:

12 Telegraphengleichung
Folgerung: Telegraphengleichung  Wellengleichung mit Dämpfung

13 Phasengeschwindigkeit
Spezialfall: ideale Leiter  Wellengleichung Phasengeschwindigkeit Lösung: (  Tafelrechnung,  Handout ) Dispersionsrelation Wellenwiderstand (Impedanz) Ak  ℂ-Amplitude zu harmonischem Anteil (k), Laufrichtung  x Bk  ℂ-Amplitude zu harmonischem Anteil (k), Laufrichtung  x

14 1.2.2. Signalkabel Koaxialkabel Flachbandkabel 2 b 2 a 2 r d ≫ r
Vakuum-Wellenwiderstand Vakuum-Lichtgeschwindigkeit Brechungsindex

15 Phasengeschwindigkeit:
Bemerkung: Die Phasengeschwindigkeit hängt nicht von k ab.  Alle harmonischen Komponenten laufen gleich schnell im Kabel.  Pulsformen bleiben erhalten.  Es gibt keine Dispersion. Bemerkung: Reales Kabel,  Die harmonischen Komponenten werden k-abhängig absorbiert.  Pulsformen bleiben nicht erhalten; Pulse zerfließen.  Es gibt Dispersion.

16 x Behandlung von Übergängen zwischen Kabeln (exemplarisch): Puls
Harmonische Komponenten für x  0: einlaufend: reflektiert: Reflexionskoeffizient Harmonische Komponenten für x  0: transmittiert: Transmissionskoeffizient

17 x  0: x  0: Stetigkeit von U und I bei x  0 (Grund: am Übergang endlich)  aber I  x     offenes Ende: kurzgeschlossenes Ende: perfekte Anpassung:

18 erfüllen den ganzen Raum
1.3. Elektromagnetische Wellen im Vakuum Hertzscher Dipol erfüllen den ganzen Raum Übergang: offener Schwingkreis Quasistatik versagt Eigendynamik der Felder wird wichtig Abstrahlung elektromagnetischer Wellen

19 Ungedämpfter Oszillator
Antenne (Sender / Empfänger) Dämpfung: Ohmscher Widerstand der Antenne Abstrahlung elektro-magnetischer Wellen Sender mit induktiver Energieeinspeisung: Ungedämpfter Oszillator  0 Energie L12 L 0  Resonanzfrequenz  ?

20    z L ZW Wechselstromleitung in Antenne (Dämpfung vernachlässigt):
Telegraphengleichung & Randbedingungen z ZW L  Tafelrechnung mit m ℕ Kontinuitätsgleichung  Tafelrechnung Linienladungsdichte  Tafelrechnung schwingender Dipol Hertzscher Dipol

21    L  Anschauliches mikroskopisches Modell:
Dipolnäherung  Bewegung der Ladungsschwerpunkte     d0 L d0 ist sehr viel kleiner als L feste Ionenrümpfe (Gesamtladung Q) frei bewegliche Elektronen (Gesamtladung Q)

22 Abstrahlung elektromagn. Wellen vom Hertzschen Dipol
( Theorie VL) wechselseitige Anregung Nahfelder:  Dynamik des Stromflusses  (Quasistatik) E- und B-Feld 90 phasenverschoben  Eigendynamik der Felder  Fernfelder: E- und B-Feld phasengleich dominant für r » d0

23 Zeitentwicklung des E-Feldes

24 Zeitentwicklung des E-Feldes
…

25 E- und B-Fernfelder

26 (max. in Äquatorialebene)
Qualitative Eigenschaften der Fernfelder: z  -Feld konzentrisch um Dipolachse (max. in Äquatorialebene) mittlere Energiestromdichte mittlere abgestrahlte Leistung Abstrahlcharakteristik (max. in Äquatorialebene) z Abstrahlung   senkrecht zur Dipolachse

27 Strahlung in großem Abstand von der Sendeantenne, r » d:
Krümmung der Phasenflächen zu vernachlässigen  Ebene Wellen, Polarisation ∥ Strahlung senkrecht zur Antenne (x-Richtung): z x y

28 1.3.2. Abstrahlung einer beschleunigten Ladung
Interpretation q Momentaufnahme eines Hertzschen Dipols Antenne Ladungsschwerpunkt der freien Ladungsträger Beschleunigte Ladungen strahlen (in ihrem Ruhesystem) e.m.-Wellen aus (Dipolstrahlung mit Beschleunigungsrichtung als Dipolachse) q v  c  q v  c  q v  0

29 Anwendung: Röntgenstrahlung
Vakuumröhre ,,Bremsstrahlung“ Glühkathode Anode e p n e Kern im Anodenmaterial Röntgenstrahlen (X-Rays) zur Patientin Anwendung: Synchrotronstrahlung (  Beispiel: BESSY II ) Elektronen-Synchrotron Radius typisch 100 m e Synchrotronstrahlung Strahlung ist… intensiv & eng gebündelt kurz gepulst breitbandig (bis X-Rays) polarisiert

30 Beispiel: Himmelsblau
Streuung von Sonnenlicht an N- und O-Atomen der Atmosphäre Strahlungsintensität des Hertzschen Dipols Elektronenhülle eines Atoms   Blau wird viel stärker gestreut als Rot  blauer Himmel Streuung azimutal symmetrisch Keine Streuung entlang der Dipolachse  keine Streuung entlang des E-Vektors des einfallenden Strahls Schwingung des Ladungsschwerpunkts  Hertzscher Dipol von Sonne weiß unpolarisiert rötlich bläulich voll polarisiert Polfilter-Anwendung in Fotografie: Abdunklung vom Himmelsblau, dramatische Stimmung Veränderung des Farbkontrasts

31 Plancksches Wirkungsquantum
Das elektromagnetische Spektrum Charakterisierung: Plancksches Wirkungsquantum h  6.6261034 Js Frequenz Wellenlänge Photonenergie (Photon: Feldquant des e.m.-Feldes) Ultralangwelle:   1 Hz   km 400 nm  700 nm Violett  Rot kosmische Gammastrahlung: E ≲ 1014 eV  100 TeV  ≳ 1020 m

32 c  Phasengeschwindigkeit
1.4. Analogie: Mechanische Systeme Erinnerung: Wellengleichungen N  3: abstrakte Räume in Feldtheorie ...  (x1,x2,,xN,t) N: Dimension eines elastischen kontinuierlichen Mediums N  2: Membran, Platte, Glocke,  (x,y,t) N  3: Festkörper, Flüssigkeitsvol., Gasvol., ...  (x,y,z,t) x,t N  1: Stab, Saite, ... x Longitudinalwelle Transversalwelle Linearer Elastizitätsbereich (Hookesches Gesetz)  Wellengleichung (isotropes Medium) c  Phasengeschwindigkeit

33 Isotrope elastische Materialkonst.
Herleitung der Wellengleichung aus dem Hamiltonschen Prinzip: kj: mikroskopische Federkonstanten für den Auslenkungstyp  k1 k2 Auslenkung dm Massendichte:  Isotrope elastische Materialkonst. z.B. Elastizitätsmodul, Torsionsmodul, Kompressionsmodul Kin. Energie: Pot. Energie:

34 kontinuierliche dynamische Variablen
Auslenkung dm Massendichte:  Definition: Lagrange-Funktion: mit mit Lagrangedichte: kontinuierliche dynamische Variablen gleichberechtigte Parameter

35   Euler-Lagrange-Gleichungen: Wirkung: Hamiltonsches Prinzip:
Unser Beispiel:  Wellengleichung

36 mit Dispersionsrelation
Wellengleichung im isotropen Medium Allgemeine Lösung (vgl. Physik I): mit Dispersionsrelation Spezielle Lösungsklassen: harmonische Wellen: Kugelwellen: N  3 N  2

37 1.4.2. Schwingende Saite z L S Ruhelage (z,t)
L S Ruhelage (z,t) Spannung S (Kraft auf die Einspannung) Saite: Masse m, Länge L ideal flexibel (keine Steifigkeit) Kleine Auslenkung Actio  Reactio  S  Kraft zwischen benachbarten Saitensegmenten Auslenkung  L  L  L  V = SL Vergleich mit liefert:  Phasengeschwindigkeit

38 z Saite: Masse m, Länge L ideal flexibel (keine Steifigkeit)
L S Ruhelage (z,t) Spannung S (Kraft auf die Einspannung) Saite: Masse m, Länge L ideal flexibel (keine Steifigkeit) Lösung der Wellengl.: Zerlegung in Superposition ebener Wellen Randbedingungen: Allgemeine Lösung: mit Eigenschwingungen

39  Allgemeine Lösung: Grundfrequenz mit Eigenschwingungen
1 Bauch 0 Knoten n  1 Grundschwingung 2 Bäuche 1 Knoten n  2 1. Oberschwingung 3 Bäuche 2 Knoten n  3 2. Oberschwingung 

40 Kein reiches Frequenzspektrum  ungünstiger Zupfpunkt
Anwendung: Saiteninstrumente Zupf-Anregung (Gitarre, Cembalo, Harfe, ) Anfangszustand: Fourier-Entwicklung An  ,,Frequenzspektrum” Kein reiches Frequenzspektrum  ungünstiger Zupfpunkt Anschauliche Fourierentwicklung für Zupfen bei L  : groß klein  

41 L h β·L Asymmetrisch gezupfte Saite: β = 1/3 n β = 1/10 n

42 Bewegung der gezupften Saite:

43 Ruheposition der Saite
Streich-Anregung (Geige, Cello, )  Helmholtz-Bewegung Periode Teil 1: Saite haftet am Bogen und wird mitgeführt Periode Teil 2: Saite löst sich und schnellt zurück Streichgeschwindigkeit  Schwingungsamplitude Spektrum ähnlich zum Zupfen Mittlere Auslenkung Zeit Auslenkung beim Bogen Ruheposition der Saite

44 Flacheres (d.h. reicheres) Frequenzspektrum als beim Zupfen
Hammer-Anregung (Klavier, ): L V β·L Δ Idealfall: Flacheres (d.h. reicheres) Frequenzspektrum als beim Zupfen β = 1/3 n β = 1/10 n

45 Problem für Musikerzeugung mit Saiten:
Saiten sind schwache Schallstrahler  langer, aber sehr leiser Klang Ausweg: mechanische Kopplung ( z.B. Steg ) an andere Schwinger (Platten, Lufthohlräume  Helmoltz-Resonator , die effektiv Energie abstrahlen Konzertgitarre Cello

46 1.4.3. Schwingende Membran y x Membran: Masse m, Fläche A
ideal flexibel (keine Steifigkeit) Spannung: S S ds  Spannkraft senkrecht auf Rand ds jedes Flächenelements Einspannung x y Kleine Auslenkung Auslenkung  A  A  A  V = SA Vergleich mit liefert:  Phasengeschwindigkeit

47 y x Einspannung Wellengleichung …
… in kartesischen Koordinaten (x , y) … in Polarkoordinaten (r , ) günstig für Rechteckmembran günstig für Kreismembran Errechnung der Eigenmoden durch Faktorisierungsansatz ( Tafel) : Besselfunktionen Zusätzlich: Randbedingung durch Einspannung:

48 Fall 1: Rechteckmembranen: Lx y
Ly x Lösung der Wellengleichung: Superposition ebener Wellen Randbedingungen: Eigenfrequenzen Allgemeine Lösung: Eigenschwingungen

49 Eigenfrequenzen Allgemeine Lösung: Eigenschwingungen n = 1 m = 1 n = 2 m = 1 n Bäuche in x-Richtung m Bäuche in y-Richtung n1 Knotenlinien in x-Richtung m1 Knotenlinien in y-Richtung n = 1 m = 2 n = 2 m = 2 Saite: n  n 1  harmonischer Klang Membran: nicht-harmonisches Spektrum Eine schwingende Membran erzeugt keinen Klang n = 3 m = 1 n = 3 m = 2 Chladni-Muster

50 Fall 2: Kreismembranen:
x y r  Fall 2: Kreismembranen: , pℕ0 Lösung der Wellengleichung: Superposition von Kreiswellen Randbedingung: Bezeichnung: pn  n-te Nullstelle der p-ten Besselfunktion Jp (n  ℕ) Allgemeine Lösung: Eigenschwingungen Eigenfrequenzen:

51 p = 0 n = 1 p = 1 n = 1 p = 2 n = 1 p = 3 n = 1 unharmonische Nullstellenfolge  kein harmonischer Klang p = 0 n = 2 p = 3 n = 2 n Bäuche in r-Richtung 2p Bäuche in -Richtung n1 Knotenkreislinien p Knotendurchmesserlinien Chladni-Muster

52 Bemerkung: Transversal schwingende (dünne) Stäbe und Platten
Ähnlich zu Saiten und Membranen Unterschied (1): Nichtlinearer Dispersionsrelation  c  c() Unterschied (2): Enden bzw. Rand frei / unterstützt / eingespannt Beispiel: Stab frei: unterstützt / eingehängt: eingeklemmt:  Chladni-Muster nur qualitativ wie bei Saite / Membran

53 z 1.5. Elektromagnetische Hohlleiter und Resonatoren 1.5.1. Hohlleiter
Literatur: K. Wille, ,,Physik der Teilchenbeschleuniger und Synchrotronstrahlungsquellen”, Teubner Hochfrequenzsysteme zur Teilchenbeschleunigung Mikrowellentransport Lichtleiter, Optoelektronik z Ausbreitungs-richtung ( kz ) total reflektierende Wand ( z.B. idealer Leiter ) Wellengleichung: Zusätzlich: Zeitseparation: Einsetzen  mit

54 z Ausbreitungs-richtung ( kz )
total reflektierende Wand ( z.B. idealer Leiter ) Separation für Ez in : Bemerkung: Randbedingung ( reflektierende Wand )  stehende Wellen  Benennung: kc heißt Grenzwellenzahl ( für die betrachtete Mode ) , heißt Grenzwellenlänge Ausbreitung in z-Richtung:

55 Ausbreitung in z-Richtung:
Fall 1:  exponentiell gedämpft bzw. unphysikalisch  keine Ausbreitung Fall 2:  Wellenausbreitung in z-Richtung

56 Dispersionsrelation:
Ausbreitung in z-Richtung: Fall 2:  Wellenausbreitung in z-Richtung Dispersionsrelation: Phasengeschwindigkeit: Gruppengeschwindigkeit:

57 y z x mit: Beispiel: Rechteckhohlleiter
a > b b Beispiel: Rechteckhohlleiter  kartesische Koordinaten günstig Moden  Produkte ebener Wellen (vgl. Membran) Zusätzlich (Maxwellgleichungen): Einzig mögliche Amplituden-Phasen-Kombination: mit:

58 Zusätzlich Randbedingungen: E-Vektor am Rand  Wand
( n,mℕ0 )

59 Transversal elektrisch: TEnm Transversal magnetisch: TMnm
Zwei Moden-Klassen: Transversal elektrisch: TEnm Transversal magnetisch: TMnm TE10 TE01 TE20 TE11 TE02 TE30  TM11 TM21 TM12 TM31 TM22 

60 Beispiel: TE10-Mode ( Fundamentalmode)
x y z a > b b Beispiel: TE10-Mode ( Fundamentalmode) y x a b Ey Bx y z Ey Bz b x z a ⊙ ⊗ x a Ey Bx Bz

61 Bemerkung: Wahl der Frequenz  derart, dass gilt:
Folge: Nur die TE10-Mode wird geleitet  Mono-Moden-Leiter

62 Fundamentalmode p=0, n=1 für Teilchenbeschleuniger
z x y R Bemerkung: Zylindrische Hohlleiter  Zylinderkoordinaten  r z p  0 , 1 ,  n  1 , 2 ,  pn  Nullstellen von TE Moden: TE11 TE21 TE01 TE31 TE41 TE12 TE51  TM Moden: TM01 TM11 TM21 TM02 TM31 TM12 TM41  Fundamentalmode p=0, n=1 für Teilchenbeschleuniger

63 Wanderwellen-Beschleunigungskavität
Beispiel: Hochfrequenzstrukturen zur Beschleunigung von geladenen Teilchen Wanderwellen-Beschleunigungskavität HF-Quelle (Klystron) Zylindrische ,,Disk-Loaded-Structure” Phasengeschwindigkeit der e.m.-Welle  Teilchengeschwindigkeit Rechteckiger Wellenleiter TE10 Teilchenpaket (e , e , p , ) TE10 (Rechteckiger Querschnitt) TM01-Mode E-Feld beschleunigend bei richtiger Phasenlage des Teilchenpakets Reflexionsfreier Absorber

64 1.5.2. Hohlraumresonator (Hohlleiter mit ideal leitenden ,,Deckeln“)
Deckel  zusätzliche Randbedingung in z  stehende Wellen z x y L Deckel Hohlleiter ohne Deckel: Zusätzlich Randbedingungen: E-Vektor an Deckeln  Wand (q ℕ0) Resonanzwellenlängen R: Resonanzfrequenzen: R  R  c Sehr kleine ohmsche Verluste in Wänden  Hohlraumresonator ≙ Schwingkreis extrem hoher Güte

65  y x z a b L Deckel Beispiel: Rechteckresonator Deckel
ohne Deckel  Hohlleiter  Resonator-Schwingungsmoden TEnmq: TMnmq: (TE001: Fundamentalmode)

66 TM01q  r z Stehende-Wellen-Beschleunigungskavität Beispiel:
Hochfrequenzstrukturen zur Beschleunigung von geladenen Teilchen Zylindrische ,,Disk-Loaded-Structure” Phasengeschwindigkeit der e.m.-Welle  Teilchengeschwindigkeit HF-Quelle (Klystron) Stehende-Wellen-Beschleunigungskavität TM01q  r z Teilchenpaket (e , e , p , ) E-Feld beschleunigend bei richtiger Phasenlage des Teilchenpakets Rechteckiger Wellenleiter TE10