p – aber ich weiß nicht wie

Präsentation zum Thema: "p – aber ich weiß nicht wie"—  Präsentation transkript:

1 p – aber ich weiß nicht wie
Das Thema ist ein Problem für viele Schüler in Mathe. Das erste Mal, dass ich p bemerkt habe, war in der 7. Klasse als ich mein neuen Taschenrechner bekommen habe. Ich wusste, dass die Mathematik viel mit Buchstaben zu tun hat, doch so was habe ich zuvor noch nie gesehen. Ich probierte meinen Taschenrechner aus und sah das Zeichen p unten im Taschenrechner und hatte einige Fragen: Was ist das für eine Zahl? Wie spricht man das aus? Woher kommt das Zeichen her? Wofür wird das verwendet? Wie benutzt man das?

2 Wieso wird p für die Flächenberechnung des Kreises verwendet?
Einige Zeit später hatten wir das Thema Geometrie und haben über Kreise gesprochen, dabei sah man p im Mathebuch. Der Lehrer hat uns erzählt, dass man die Zahl auch Pi ausspricht und dass die Zahl etwa 3,14 entspricht und unendlich weiter geht. Als mein Lehrer das p grob erklärt hat, blieben trotzdem offene Fragen: Wieso wird p für die Flächenberechnung des Kreises verwendet? Wieso geht die Zahl p unendlich weiter? Wieso wird die Zahl durch ein p ersetzt?

3 Ich habe die Logik von p nicht verstanden
Ich habe die Logik von p nicht verstanden. Diese Zahl ist immer aufgetaucht, sobald man über Kreise gesprochen hat, sodass einige Monate später, das p wieder auftauchte, als wir die Kugel berechneten. Das p verfolgte mich bis zur Oberstufe und selbst bis dahin wusste ich immer noch nicht, was es ist. Die Antworten auf diese und jegliche Fragen bekam ich entweder ungenau oder gar nicht. Ich habe bis heute keine Antwort auf die Fragen bekommen. Liegt das an den Lehrern oder doch an mir? Wird das Thema zu grob von den Lehrern behandelt? Gibt es zu wenige Information über p? Ist den Lehrer die Geschichte von p unwichtig?

4 Ich schreibe die Facharbeit über p, weil ich die Fragen der Schülern beantworten möchte, damit solche Probleme der Unverständlichkeit nicht mehr auftauchen. Und auch für mich selber, weil ich was dazu lernen möchte, da ich das Thema sehr interessant finde.

5 1.1. Was ist p? Περιφέρεια => peripheria = Randbereich und
p ist die Kreiszahl. p ist eine reelle Zahl, die das Verhältnis zwischen dem Umfang des Kreises und seinem Durchmesser angibt. Dabei spielt die Größe des Kreises keine Rolle. Das Zeichen p stammt aus dem Griechischen und ist der 16. Buchstabe aus dem Alphabet. Das Zeichen wurde aus dem griechischen Wörtern Περιφέρεια => peripheria = Randbereich und Περίμετρος => perimetros = Umfang abgeleitet, sodass der erste Buchstabe übernommen wurde p.

6 1.2. Was ist p für eine Zahl? p auf 100 Stellen nach dem Komma:
… Diese Zahl geht unendlich weiter. Die Reihenfolge von den Stellen nach dem Komma, sind weder periodische Dezimalbrüche, noch sind die Zahlen endliche Dezimalbrüche. Im Grunde genommen endet diese Zahl nie und – ganz wichtig - wiederholt sich dabei nicht. Das besondere an p ist, dass die Zahl irrational ist, das heißt, dass p sich nicht anhand eines Bruches von zwei ganzen Zahlen darstellen lässt. Die Zahl gehört zu den bekanntesten mathematischen Konstanten. Ferdinand von Lindemann bewies 1882, dass p keine gewöhnliche irrationale Zahl ist, sondern eine transzendente Zahl. Das sind ganz besondere irrationale Zahlen.

7 1.3. Wozu braucht man p? Das p braucht man um im Zusammenhang mit Kreisen Berechnungen durchzuführen. Das Zeichen p taucht bei jeder Kreisformel auf: bei der Berechnung des Umfanges u = 2 p r bei der Berechnung der Fläche A = p r² Und nicht nur bei Kreisen, sondern auch bei Körpern wie Kugel, Zylinder und Kegel. Allgemein gilt, überall wo Kreise sind , rechnet man mit p. Formeln bitte gut merken!!!

8 1.4. Entdeckung von p Schon 2000 v. Chr. haben sich die Ägypter mit der Kreiszahl beschäftigt. Diese Schätzungen waren nötig, um zum Beispiel Räder herzustellen. Die Ägypter fanden die Näherung 3,2. Einige Zeit später ( v. Chr.) benutzten die Babylonier den Wert 3 für die Kreiszahl. Die Kreiszahl lässt sich auch in der Bibel finden, indem die Zahl angedeutet wird: „Dann machte er das Meer. Es wurde aus Bronze gegossen und maß 10  Ellen von einem Rand zum anderen; es war völlig rund und 5  Ellen hoch. Eine Schnur von 30  Ellen konnte es rings umspannen.“ Es handelt sich hierbei um eine Badewanne aus Bronze, die den Durchmesser von 10 Ellen hat, die Höhe von 5 Ellen hat und den Umfang von 30 Ellen. Würde man diese Rechnung mit der Formelfür den Umfang nachrechnen, erhält man für p = 3.

9 Archimedes gehört zu den berühmtesten und bedeutendsten Mathematikern, Physikern und Ingenieuren der Antike. Über Archimedes ist wenig bekannt, jedoch wurde Archimedes in Syrakus (Sizilien) geboren und begraben. Sein Vater hieß Phidias und war ein Astronom. Er studierte in Ägypten (Alexandria). Er starb während des zweiten Punischen Krieges, sodass er gewaltsam ums Leben gekommen ist. "Noli turbare circulos meos"   (lat.: „Störe meine Kreise nicht“), sollen seine letzte Worte gewesen sein. Archimedes hatte viele wissenschaftliche Erfindungen und Entdeck- ungen in der Physik sowie in der Mathematik gemacht - unter anderem auch die Entdeckung der Flächen- berechnung des Kreises.

10 Archimedes zeichnete zunächst einen Kreis mit einem Dreieck in der Mitte. Den Umfang von dem Dreieck konnte man berechnen und bekannt war, dass das 3-Eck einen kleineren Umfang hat, als vom Kreis. Dann hat Archimedes das Dreiecks erweitert, sodass ein 6-Eck entsteht. Denn je mehr Vielecke desto näher nährt man sich dem Kreis. Von einem 6-Eck setzte er zu einem 12-Eck fort, danach mit dem 24-Eck, 48-Eck weiterhin bis zum 96-Eck. Das ist fast schon ein Kreis. Jedoch bemerkte er, dass bei dem 96-Eck die Lücken noch nicht gefüllt waren. Ausschnitt aus einem 96-Eck

11 Somit hat sich Archimedes eine andere Methode ausgedacht
Somit hat sich Archimedes eine andere Methode ausgedacht. Archimedes zeichnete das Dreieck außerhalb des Kreises, und weiß, dass das Dreieck einen größeren Umfang hat als vom Kreis. Nun füllt er auch hier die Lücken, sodass er auch hier mit dem 6-Eck begann, so wie beim ersten Experiment. Auch hier gab es immer Lücken, so wie bei dem 96-Eck. Als er beide Versuche mit einander verglichen hat, kam er zur Vermutung, dass gesuchte Verhältnis kleiner als 3,15 sein solle, aber größer als 3,14. Daraus resultiert folgende Entdeckung: 3,14 < p < 3,15 somit war Archimedes, der erste Mensch, der die zwei Zahlen nach dem Komma der "geheimnisvollen Zahl" richtig angeben konnte. Er konnte damit richtig angeben.

12 2.1. Wie geht es weiter?

13 p von China zu Persien bis hin zu Europa
Ab dahin begannen immer mehr Versuche p genauer einzugrenzen. Der chinesische Mathematiker Liu Hui entdeckte 263 n.Chr. die Kreiszahl auf fünf Stellen nach dem Komma genau, indem er das Annäherungsverfahren von Archimedes fortsetzte, sodass er am Ende den Umfang eines Ecks bestimmen konnte. Ca. 217 Jahre später berechnete der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chongzhi ( ) sieben Nachkommastellen und gab einen Näherungsbruch (=3, ) an. Dschamschid Mas'ud al-Kaschi ist ein Persischer Mathematiker, der das Verfahren von Archimedes (bzw. die Weiterführung von Liu Hui) erweitert hat. Er rechnete bis zum Eck und es gelang ihm, die 16 Stellen nach dem Komma der Kreiszahl p herauszufinden.

14 Nach der Berechnung auf 16 Stellen konnte ca
Nach der Berechnung auf 16 Stellen konnte ca der niederländische Mathematiker Ludolph van Ceulen diese auf genau 35 Stellen rechnen. Angeblich solle er sein Großteils seines Lebens damit verbracht haben, die 35 Stellen zu berechnen. Aus diesem Grund wurden die 35 Stellen nach dem Komma auf seinem Grab eingraviert. p wird auch Ludolphische Zahl genannt, um sich an seine Leistung zu erinnern. Er wurde in hildesheim geboren und ist in der St. Pieterskerk in Leiden begraben.

15

16 Und es geht weiter: 1798 rechnet der slowenische Mathematiker Georg van Vega 140 Stellen, wovon 126 richtig waren. Die Mathematiker setzten alles dran, um die Zahl heraus zu finden, jedoch gab es auch Mathematiker, die sich verrechnet haben. William Shanks war ein englischer Mathematiker. Er ist berühmt für seine handschriftlichen Berechnungen der Kreiszahl Pi veröffentlichte er seine Berechnung der ersten 607 Dezimalstellen von Pi. Im Jahr 1855 verbesserte Richter die Ergebnisse von Shanks, da der sich ab der 528. Stelle verrechnet hat.

17 2.2. Computer statt Kopfrechnen
John Wrench schaffte 1945 mithilfe einer Rechenmaschine knapp 1161 Stellen. 16 Jahre später berechnete John Wrench p mit Hilfe einem IBM 7090 Computer Pi Stellen. 1973 rechnete Guilloud und Boyer über Stellen nach dem Komma. Yasumasa Kanada gelang es 1982 die Stellen heraus zu finden und 1978 sogar noch die Stellen. Dies folgte bis 2002, sodass er bis dahin 1,24 Billionen Stellen nach dem Komma hat. Der aktuelle Rekord von Pi liegt bei 22,4 Billionen Stellen. Dieser wurde am 11.November von dem Schweizer Peter Trüb aufgestellt. Er rechnete nur 105 Tage. Das müsst ihr euch nicht merken!!! Es soll euch nur BEEINDRUCKEN!!!

18 2.3. Was treibt den Menschen die Billionste Stelle zu wissen?
Da p eine irrationale Zahl ist und sich nicht als periodische Zahl oder endliche Zahl darstellen lässt, versucht man herauszufinden, ob sich eine Regelmäßigkeit finden lässt oder ob die Reihenfolgen der Ziffern nur rein zufällig sind. Wenn man die Billionen Stellen nach dem Komma weiß, ist es leichter die Zahlen miteinander zu vergleichen. Daraus resultiert die Neugier, die den Menschen dazu treibt die Billionste Stelle zu wissen.

19 2.4. p - eine Regelmäßigkeit oder doch nur Zufall?
Ab der 760. Stelle von p "… …" befindet sich eine auffällige Zahlenkombination, sodass die Zahl neun sechs-mal auftaucht. Auffällig sind auch die acht Nullen, die an der Stelle auftauchen. Diese acht Nullen tauchen an der Stelle wieder auf. p selber hat sehr viele und unterschiedliche Zahlen. Von Ziffern, die bei p auftauchen, sind die Ziffern alle fast gleich unterteilt. Man könnte p nicht als Regelmäßigkeit sehen, da das noch nicht bewiesen wurden ist. Daher geht man davon aus, dass alles zufällig ist. Mathematiker wie David H. Bailey und Richard E. Crandall behaupten übrigens, dass Pi eine normale Zahl ist. Eine Definition für normale Zahlen lautet: "Eine Zahl heißt normal, wenn in ihrer Ziffernfolge jeder Ziffernblock vorkommt und Ziffernblöcke gleicher Länge gleich häufig auftreten." Diese Vermutung hat noch keinen Beweis, sodass man die Zahl als normal deutet. Höchstwahrscheinlich handelt es sich bei diesen auffälligen Stellen jedoch um Zufälle.

20 2.5. Wie viele Stellen nach dem Komma braucht man?
Im Alltag braucht man tatsächlich nur 2 Stellen nach dem Komma (3,14), um etwas zu rechnen, denn diese reichen aus um z.B. die Fläche eines Kreises zu berechnen. In der Schulzeit braucht man auch nicht mehr als 9 Stellen nach dem Komma, da auf dem Taschenrechner nur neun angezeigt werden. Die Weltraumagentur NASA braucht 15 Stellen nach dem Komma. Man braucht jedoch 39 Nachkommastellen, um den Umfang des Kreises in einer Größe vom Universum zu berechnen. Mit 39 Stellen nach dem Komma kann man auch die Größe eines einzelnen Wasserstoffatom genau berechnen.

21 2.6. Rekorde mit Pi Die Jagd nach den Nachkommastellen wurde zu einer Jagd nach Rekorden. Somit gelang dem Schweizer Peter Trüb 22,4 Billionen Nachkommastellen herauszufinden. Peter Trüb hat diesen Rekord im November 2016 aufgestellt und es ist eine Frage der Zeit, wann dieser gebrochen wird. Neben der Jagd nach dem Herausfinden der Nachkommastellen gibt es auch das Auswendiglernen der Nachkommastellen. Der aktuelle Rekordhalter ist Suresh Kumar Sharma aus dem Jahr 2015 aus Indien mit aufgesagtem Stellen nach dem Komma. Der Rekord dauerte 17 Stunden und 14 Minuten. Er löste somit den vorherigen Rekordinhaber Rajveer Meena, der nur Stellen aufgesagt hat, jedoch war er schneller als der Rekordhalter, sodass er ungefähr nur zehn Stunden gebraucht hat. Auf Platz 18 befindet sich der deutsche Frank Mertens, der den Deutschen Rekord mit Ziffern aufgestellt hat und ist europaweit auf Platz 8.

22 3. p - einfach erklärt - Formeln herleiten

23 3.1. Die Formel für den Kreisumfang
Die Formel für den Umfang kann man mithilfe eines Experimentes herleiten. Dafür benötigt man ein Lineal, einen Bleistift, eine Schere, ein festes DIN A4-Blatt und einen Zirkel. Zuerst nimmt man den Zirkel und konstruiert einen Kreis mithilfe des Zirkels, dessen Durchmesser 1cm betragen soll und zeichnet den Radius ein (>Markierung am Rand). Sobald man den Kreis konstruiert hat, schneidet man den Kreis aus. Die Markierung legt man genau auf die Null beim Lineal. Der Kreis wird anschließend 360° an der Strecke abgerollt. Nun misst man den Abstand vom Anfangs- bis Endwert. Man kann bei einem Durchmesser von 1 cm beobachten, dass der Umfang des Kreises ziemlich genau bei 3,1 liegt. Um das Experiment genauer nachzuvollziehen, kann man den Durchmesser des Kreises vergrößern. Bei einem Durchmesser von 3 cm beträgt der Umfang ca. 9,4. Wenn man das Verhältnis vergleicht, sieht man, dass der Wert 3,1 wieder auftaucht. Wenn man weitere unterschiedliche Kreise zeichnet sieht man, dass dieser Wert immer bei unterschiedlich großen Kreisen auftaucht.

24 3.2. Die Formel für die Kreisfläche
Um die Kreisfläche herzuleiten braucht man einen Kreis, dessen Fläche in zehn gleich große Kreisteile zerlegt wird. Tortenstücke! Wenn man die zehn Kreisteile ausschneidet und zusammen klebt, enthält man ein Parallelogramm. Wenn man das letzte Stück in der Mitte aus Symmetriegründen ausschneidet, bekommt man eine Form, die dem Rechteck ähnelt. Je nach Anzahlt von Kreisteilen, nähert sich unsere Fläche immer mehr dem Rechteck an. Die Hälfte vom Umfang des Kreises entspricht die Breite der rechteckigen Form, da die andere Hälfte gegenübersteht. Daraus resultiert, indem man den Radius statt den Durchmesser rechnet, um die Hälfte des Kreisumfanges zu enthalten. Die Höhe des Rechtecks ist der Radius der Kreisfläche. Die allgemeine Formel für ein Rechteck lautet A = Höhe * Breite. So setzt man die gegebenen Werte für die Flächenberechnung eines Rechtecks ein A = Radius * halber Umfang. So fasst man schließlich die Formel zusammen und man enthält die Formel für die Kreisfläche.

25 4. Pi außerhalb der Mathematik

26 4.1. p als Feiertag Es gibt tatsächlich einen sogenannten inoffiziellen Pi - Tag (engl.: Pai - Day), der am März gefeiert wird. Dabei leitet sich der 14. März aus der amerikanischen Datums- schreibweise her, sodass der Monat als erstes geschrieben wird und der Tag dann als zweites folgt. Dementsprechend schreibt man den Tag 3/14 oder 3-14, so wird Pi als Dezimalzahl auf zwei Stellen nach dem Komma (3,14) darstellt. Larry Shaw ist der Begründer des Pi-Tages, der zum am im Museum in San Francisco, dem Exploratorium, den ersten Pi-Tag gefeiert hat. Seitdem hat man die Tradition immer gefeiert. Man feiert traditionell den Pi-Tag, indem man runde Torten oder Kuchen isst, denn das englische Wort Pie (dt.: Kuchen) klingt wie der griechische Buchstabe, der als Symbol für die Kreiszahl gilt. Besonders genaue Teilnehmer feiern um 1 Uhr 59 Minuten und 53 Sekunden und erreichen die siebte Stelle nach dem Komma der Kreiszahl. Im Jahr 2015 wurde sogar durch die 15 im Jahr die neunte Nachkommastelle erreicht, sodass in die amerikanischen Datumsschreibweise von den neun Nachkommastellen "3, " am Pi-tag zu 3/14/ Uhr 26 Minuten und 53 Sekunden wurde.

27 Der Physiker Albert Einstein wurde übrigens auch an einem 14
Der Physiker Albert Einstein wurde übrigens auch an einem 14. März geboren, was dazu führte, dass der Tag sich verbreitet hat. Und 2018 starb der ebenso berühmte Physiker Stephen William Hawking am 14. März. Legen wir für beide eine kurze Gedenkminute ein.

28 4.2. p als Redewendung Das Wort Pi verwendet man nicht nur im Matheunterricht, sondern benutzt das Wort als Redewendung im Alltag. "Pi mal Daumen", ist eine Redewendung, die man im Alltag verwendet. Diese Redewendung benutzt man wenn man etwas grob schätzt oder man einen ungefähren Wert angeben will, wie zum Beispiel: "Die Kosten werden, so Pi mal Daumen, 100 bis 200 betragen". Synonyme dafür sind "ungefähr, geschätzt, circa...".

29 4.3. Witze über p Es gibt auch Witze über p, wie zum Beispiel:
"Warum können Seeräuber den Flächeninhalt eines Kreises nicht berechnen? Weil sie p raten."

30 4.4. p im Film Es gibt eine zahlreiche Filme, in denen p auftaucht. Es einen Film der nach p benannt wurde. Der Film Pi wurde 1998 von Darren Arnoofsky veröffentlicht und handelt von einem mathematischen Genie, der Maximilian Cohen heißt und die Weltformel herausfiltern möchte. Ein anderes Beispiel, wo Pi auftaucht, ist in dem Film "Life of Pi". Es ist die Verfilmung des Romans "Schiffbruch mit dem Tiger" von Yann Martel. Dabei taucht Pi nicht als Kreiszahl sondern als Mensch auf. Der Protagonist heißt Piscine Molitor und wurde nach einem Schwimmbad in Paris von seinem Vater benannt. Da der in der Schule aufgrund seines Namens gehänselt wurde, gab er sich selbst den Namen Pi, wie die Kreiszahl und beeindruckt seine Mitschüler durch das Aussagen von sehr vielen Nachkommastellen von Pi.

31

32 4.5. p als Marke Der 16. Buchstabe im griechischen Alphabet spielt oft eine große Rolle, wenn es um Produkte geht. Das Zeichen für die Kreiszahl scheint für einige beliebt zu sein, so dass T-Shirts sowie Pullovers damit bedruckt werden. Nicht nur die Kleidung ist davon betroffen, sondern auch Accessoires wie zum Beispiel Schmuck. Es gibt auch weitere Produkte, die mit dem Symbol p werben: Die Parfümmarke Givenchy mit dem Produkt "Givenchy Pí Eau de Toilette".

33 Danke für eure Aufmerksamkeit!
Hol dir das p! Danke für eure Aufmerksamkeit!