Stichwortverzeichnis

Präsentation zum Thema: "Stichwortverzeichnis"—  Präsentation transkript:

0 ... mit uns können Sie rechnen!
Gernot Mühlbacher * Einführung: ... mit uns können Sie rechnen! WURZELN * Rechnen mit WURZELN Lernen ist mehr als Verstehen! Wie geschieht eigentlich das Lernen? Du wirst die Absichten und das Vorgehen dieses Lehrwerkes besser verstehen, wenn du gleich mal hier reinschaust! 32 Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe Ohne schriftliche Einwilligung des Autors sind Kopien jeglicher Art bzw. das Einstellen in ein Netzwerk nicht erlaubt. © Gernot Mühlbacher

1 Stichwortverzeichnis
1 führt immer zum … als Wegweiser 32/33 Lernen ist mehr als Verstehen Folie Nr.: Addition v. Wurzeln 15 irrationale Zahlen 9 Berechnung v. W. 8, 30, 31 Kubikwurzel 6, 7 Division von Wurzeln 19-21 Kürzen der Exp. 25 Doppelwurzel 23 Multiplikation von W. Rechenoperationen 28, 29 dritte Wurzel 6 natürliche Zahlen ℕ / ℕ0 reelle Zahlen ℝ Erweitern der Exp. Potenzieren v. W. 22 Schachtelung ... nach Heron 8 30 Exponent einer W. 5, 6 Quadratwurzeln Subtraktion v. W. ganze Zahlen ℤ Radikand 5, 6, 11 Term 14 gebrochene Hochzahl 27 Radizieren 3, 4 Wurzelbegriff 2, 3 Heron, H.-Verfahren 30, 31 Radizieren v. Wurzeln Wurzelexponent 5, 6, 12 Hochzahl einer W. rationale Zahlen ℚ Wurzelwert identische Wurzeln Rechenregeln für W. zweite Wurzel ? 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 30 31 Folien-Nr. anklicken!

2 √ 64 4 4 64 = 3 3 Die Zusammenhänge sehen ………. ? ? ? Potenzwert
Was soll hier das Bild mit dem Radieschen? Um es gleich vorweg zu nehmen: Aus diesem Bild kannst du den Namen eines Rechenzeichens ableiten, das für uns von zentraler Bedeutung sein wird. Es geht um den Rechenbefehl „ziehe die Wurzel“. 64 Doch langsam: Zunächst stellen wir den Zusammenhang zum Potenzrechnen her, mit dem wir uns in einem Lehrwerk zuvor schon beschäftigt haben. Ein Beispiel: Potenzwert √ Die Wurzel ist die Basis ist unserer Überlegung. Die Festlegung der Hochzahl führt zu einem Rechenauftrag. Exponent 3 4 Daraus erwächst der Potenzwert. Basis 3 4 64 = 1 lateinisch: radix  die Wurzel

3 √ √ 8 x 8 = 2 x 8 3 3 Wurzel ziehen RADIZIEREN ? ? ? Potenzwert
Jetzt verändern wir die Fragestellung. Ein Beispiel: Diese Umkehrung des Potenzierens nennt man Wurzelziehen oder Radizieren. Du kennst einen Potenzwert. z.B. 8 Er entstand aus einer dritten Potenz. Die Hochzahl der Potenz war also eine 3. 8 Typische Frage: Welchen Wert hatte die Basis x ? 3 x 8 = Potenz Potenzwert Du suchst somit die Basis (Wurzel) zu einer Potenz. Damit hast du den Einstieg ins ‚Wurzelrechnen‘ vollzogen. 3 Exponent 2 x Auftrag: „Berechne die dritte Wurzel aus 8!“ 8 3 √ ... eine ungewohnte Sprache! Basis Gesucht ist die Zahl x, die 3mal mit sich malgenommen den Wert 8 ergibt. ... auch an diese Schreibweise muss man sich erst mal gewöhnen! Hast du die Lösung schon gefunden? Dann KLICK! lateinisch: radix  die Wurzel „Die dritte Wurzel aus 8 ist 2!“ denn 2•2•2 = 8 1

4 √ ? 8 = 3 √ Wurzel ziehen RADIZIEREN
Du meinst, dies sei ein weltfremdes Problem der Mathematik, das mit der Wirklichkeit nichts zu tun habe? Jetzt kehren wir die Reihenfolge und damit die Fragestellung um: Du kennst einen Potenzwert. z.B. 8 Im Alltag muss jedermann die Frage beantworten können: Er entstand aus einer dritten Potenz. Die Hochzahl der Potenz war also eine 3. Ein Draht-Würfel hat einen Raum-inhalt von 8cm3. Wie viele cm misst eine Kante x? 1 cm3 Typische Frage: Welchen Wert hatte die Basis ? 3 ? 8 = Potenz V = Länge•Breite•Höhe V=8 cm3 x V = x•x•x x3 = 8cm3 Die Kantenlänge ist die Größe x, die 3mal mit sich malgenommen 8cm3 ergibt. Du suchst somit die Basis (Wurzel) zu einer Potenz. Damit hast du den Einstieg ins ‚Wurzelrechnen‘ vollzogen. 2 Überlegung: 8cm3 = 2cm•2cm•2cm Mathematische Schreibweise mit dem Wurzelzeichen: Sprachlich: „Berechne die dritte Wurzel aus 8!“ Du suchst die Zahl, die 3mal mit sich malgenommen den Wert 8 ergibt. √ 3 x = 8cm3 Sprich: „Dritte Wurzel aus acht (cm3)“. „Die dritte Wurzel aus 8 ist 2!“ denn 2•2•2 = 8 1 x = 2cm denn x3 = 8cm3

5 √ √ x = 243 x x = 243 x5 = 243 fünfte Wurzel 5 Basis Potenz = 243
Vernetze ‚das Neue‘ in deinem Gehirn! ... nur dann kann Lernen gelingen. Zum Training deshalb ein Beispiel, das man (gerade) noch mit Kopfrechnung lösen kann. Dazu schreiben wir eine gleiche Aufgabenstellung jeweils in Du musst jeweils beide Sprechweisen zu der mathemati-schen Aufgabenstel-lung beherrschen, ... Potenz-Schreibweise: Wurzel-Schreibweise: Versuche, den gleichen Sachverhalt mit dem Wurzelzeichen zu schreiben! Dann KLICK! √ x = 5 x5 = 243 Übersetze die mathematische Schreibweise in Worte! Dann KLICK! Wir sprechen: ... egal ob sie in Potenz-Schreibweise oder in Wurzel-Schreibweise dargestellt ist. „Eine Zahl x, die fünf Mal mit sich selbst malgenommen wird, ergibt den Wert 243.“ „Die Zahl x ist gleich der fünften Wurzel aus 243.“ Ermittle durch Probieren und Kopfrechnung die Lösung für x! Dann KLICK! x = 3, denn 35 = 243 Mathematische Begriffe beherrschen! ... also Vokabeln lernen! Fülle zuerst das Arbeitsblatt zu Folie 5 mit den richtigen Fachbegriffen aus! ... dann KLICK! √ 5 fünfte Wurzel x 5 Exponent Basis Potenz Potenzwert = 243 Wurzel-exponent x = Radikant Wurzel-wert 1 5

6 √ √ √ x = a x = a n-te Wurzel Potenz n Basis denn ... Radikant
Allgemeine Schreibweise: Umkehrung √ n n-te Wurzel Wurzel-exponent x = a n Hochzahl oder Exponent Basis Potenz Potenz-wert x = a Radikant Wurzel-wert denn ... Quadratwurzeln: √ Die zweiten Wurzeln begegnen uns am häufigsten und deshalb lässt der (schreibfaule) Mathematiker den Wurzelexponenten einfach weg. Da zweite Wurzeln im Zusammenhang mit (Seiten)-Berechnungen am Quadrat sehr häufig auftreten, heißen sie auch Quadratwurzeln. 2 Kubikwurzeln: Bei der Volumenberechnung an Körpern (Kubusder Würfel) kommt man zu Ergebnissen in dritter Potenz (das siehst du schon an den zugehörigen Maßeinheiten mm3, cm3, dm3, m3 ...). Umgekehrt: Wer vom Volumen auf die Kantenlänge schließt, muss die dritte Wurzel (oder Kubikwurzel) ziehen. √ 3 Das Wurzeldach (Querstrich) überdeckt den gesamten Radikanten. Es wirkt wie eine Klammer. 1 6

7 Einprägen! ... es lohnt sich. √ √ √ 1 = 1 denn 13 = 1
Leicht zu bestimmende Wurzelwerte √ 3 Kubikwurzeln : Einprägen! ... es lohnt sich. Je mehr Potenzwerte der natürlichen Zahlen ℕ du auswendig gelernt hast, desto besser wirst du aus den Potenzwerten rückwärts die ganzzahligen Wurzelwerte bestimmen können. √ = denn 13 = 1 √ = denn 23 = 8 √ = denn 33 = 27 √ = denn 43 = 64 √125 = denn 53 = 125 √1000 = 10 denn 103 = 1000 3 2 √ √121 = denn ... √144 = denn ... √169 = denn ... √196 = denn ... √225 = denn ... √256 = denn ... √400 = denn ... √625 = denn ... √900 = denn ... √1600 = 40 denn ... Kannst du selbst leicht zu bestimmende Kubikwurzeln aufschreiben? Kontrolle? KLICK! Quadratwurzeln : √ = denn 12 = 1 √ = denn 22 = 4 √ = denn 32 = 9 √ = 100 denn = 3 √ = denn 42 = 16 √ = denn 52 = 25 Setze die Überlegungen für Wurzeln aus reinen Quadratzahlen fort! Kontrolle? KLICK! Wurzeln aus Zehnerpotenzen √ = denn 62 = 36 √ = denn 72 = 49 √100 = denn = 100 √1000 = 10 denn 103 = 1000 √10000 = 10 denn 104 = 10000 2 3 4 √ = denn 82 = 64 √ = denn 92 = 81 1 √100 = 10 denn 102 = 100

8 Wurzelziehen durch eine Schachtelung
... wenn es dich interessiert. Wurzelziehen durch eine Schachtelung Die Zahl 3 ist keine Quadratzahl. Folglich kann der Wurzelwert keine ganze Zahl sein. liegt zwischen und √ 1 √ 4 √ 3 √ < < √ 4 √ 3 1, < < 2,0 √ 3 1,... Woher kann ich die Gewissheit nehmen, dass die eine Dezimalzahl ist, die mit 1,... beginnt? √ 3 1,5 Jetzt testen wir mit verschiedenen Dezimalzahlen. 1,8 1,7 1,75 1,73 Kontrolle? KLICK! Eine Dezimalzahl, die mit 1,... beginnt, liegt mit Sicherheit zwischen 1,0 und 2,0. 1,74 zu klein (<3): zu groß (>3): 1,52 = 2,25 < < 1,82 = 3,24 1,72 = 2,89 < < 1,752 = 3,06 Wenn ich die Wurzelwerte quadriere, dann erhalte ich immer die Radikanden. 1,732 = 2,9920 < 3 1,732 = 2,9920 < 1,742 = 3,0276 Das Quadrieren des gesuchten Wurzel-wertes von (also von 1,... ) müsste folglich den Radikanden 3 ergeben. √ 3 Du kannst mit dem „Einschachteln“ des Wurzelwertes auf diese Weise fortfahren. Bestimme mit Hilfe des Taschenrechners den möglichst genauen Wert der Wurzel aus 3 ! Kontrolle? KLICK! Die so entstehende Dezimalzahl hat unendlich viele Kommastellen. Irgend-wann wirst du abbrechen und runden. liegt zwischen 1,5 und 1,8. √ 3 liegt zwischen 1,73 und 1,74. √ 3 Du wirst also keine Dezimalzahl finden, deren Quadrat genau 3 ergibt! √ 3 ≈ 1, 1 Lies nach: irrationale Zahlen: nächste Folie. 1, = 3, Eine elegante und systematische Methode ist das Heron-Verfahren (Folie 30). Folie

9 Arten von Zahlen e π √3 √7 ⅚ -⅜ ⅘ √15 ℝ ℤ -1 -2 -3 ... 1 2 3 4 ... 5 ℕ
Den natürlichen Zahlen ℕ begegnen wir bereits in der Grundschule. ℕ={1, 2, 3, ....} Arten von Zahlen Ein Überblick: ℝ Es ist nicht einheitlich festgelegt, ob die Null zu den natürlichen Zahlen gehört. Eine weit verbreitete Schreibweise zählt die Null dazu und benennt diese Menge mit ℕ0={0, 1, 2, 3, ...}. ℤ π e -1 -2 -3 ... 1 2 3 4 ... 5 ℕ ℕ0 ℕ0 ist nur ein Teil der Menge der ganzen Zahlen ℤ. √3 √7 √15 3 ... ⅘ -⅜ 1,2 -2,5 ⅚ 7/11 Es gibt auch noch die negativen ganzen Zahlen: {-1, -2, -3, ....} ℚ ℤ = { , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... } Wo ordnen wir die Bruchzahlen ein? { ... -½, -⅔, -⅘, -1,25, ⅜, 0,38 32/7, ... } Du kannst jede ganze Zahl aus der Menge ℤ als Bruchzahl schreiben. z.B. 3 = 3/1 oder -2 = -2/1. Auch die endlichen Dezimalzahlen sind Bruchzahlen. z.B. 1,2 = 12/10. Also gehört jede ganze Zahl und jede endliche Dezimalzahl auch zu den Bruchzahlen. Bei etlichen Nennern ergeben sich beim Dividieren auch unendliche periodische Dezimalzahlen. z.B. 7/11 = 0,63. Alle diese Bruchzahlen nennt man rationale Zahlen. Zeichen: ℚ (von Quotient) Neu: Die unendlichen und nicht periodischen Dezimalbrüche, die beim Ziehen von Wurzeln entstehen. (Immer, wenn der Radikand keine Quadratzahl bzw. kein Wert höherer Potenzen ist.) Alle diese Wurzelwerte können wir nicht als Bruchzahlen schreiben. Man spricht von den irrationalen Zahlen. Da man sie genau wie alle rationalen Zahlen aber auf dem Zahlenstrahl genau verorten kann, fasst man sie mit diesen als reelle Zahlen zusammen. Zeichen: ℝ 1 Du kennst bereits eine andere irrationale Zahl, nämlich die Kreiszahl Pi. π ≈ 3, Außerdem gehört die sog. Eulersche Zahl e (Wachstumszahl) dazu. e≈ 2, 9

10 √11 ist eine nicht endliche und nicht periodische Dezimalzahl.
ÜBEN: RICHTIGES EINORDNEN VERSCHIEDENER ARTEN VON ZAHLEN 0,407 ist eine Bruchzahl. w f  407/1000  2  12/3  3,31..  Folie 11 Ergänze mit den richtigen Symbolzeichen ℕ0, ℝ, ℤ, ℚ! Jede natürliche Zahl ist eine ganze Zahl. Jede Bruchzahl ist eine rationale Zahl. Jede reelle Zahl ist eine rationale Zahl . Menge der ganzen Zahlen. Menge rellen Zahlen. Menge der natürlichen Zahlen. Menge der rationalen Zahlen. Für die Menge der irrationalen Zahlen hat man sich auf kein Symbol festgelegt. In manchen Büchern findest du ein 𝕀. Prüfe die Aussagen und entscheide! EINTRAG in den Kästchen: w = wahr / f = falsch ℤ ℝ ℕ0 ℚ K l ä r e d i e D e n k f e h l e r! ist eine rationale Zahl. √8 3 1,6 ist keine Bruchzahl. Nicht alle Wurzeln sind irrational. Fertig? Kontrolle? KLICK! √11 liegt zwischen 4 und 5. Ergänze mit den richtigen Fachausdrücken! √11 ist eine nicht endliche und nicht periodische Dezimalzahl. Die Menge der Zahlen ℝ besteht aus den Zahlen ℚ und den Zahlen. reellen rationalen irrationalen √ = -2 Fertig? Kontrolle? KLICK! Fertig? Kontrolle? KLICK! 1

11 √23 oder ) √7,1 √-4 = √-8 Sind alle Radikanden denkbar?
Erinnerung: ‚Quadratwurzel‘ wird kurz ‚Wurzel‘ genannt! Weshalb ziehen wir die Wurzel von Quadratzahlen relativ leicht? ( Quadratwurzeln, Folie 7) Beispiel: √ 81 oder Halte das Ergebnis deines Nachdenkens auf dem Block fest! Wenn du fertig bist, dann KLICK! √ 81 = 9 denn 92 = 81 Beim Radizieren einer Quadratzahl ist der Wurzelwert immer eine rationale Zahl (endliche Bruchzahl) aus der Menge ℚ. Prüfe die Aussagen und entscheide in den Kästchen: w = wahr / f = falsch √1,69 √1,69 = 1,3 denn 1,32 = 1,69 Unproblematisch finden wir inzwischen auch die anderen positiven Radikanden aus der Menge ℚ (Beispiel: √23 oder ) √7,1 Wenn der Radikand einer Quadratwurzel keine quadratische Bruchzahl (z.B. 25 oder 1,69) ist, dann ist der Wurzelwert immer eine irrationale Zahl! Diese Lösungen haben immer unendlich viele Nachkommastellen und sie sind nicht periodisch. Halte das Ergebnis deines Nachdenkens auf dem Block fest! Wenn du fertig bist, dann KLICK! Womit müssen wir beim Ergebnis auf jeden Fall rechnen? Welcher Art von Zahlen gehört das Ergebnis an? (Unabhängig davon, ob du den Wurzelwert per Schachtelungsverfahren oder mit Hilfe des Taschenrechners ermittelst.) Nimm deinen Block zur Hilfe! Hast du dich entschieden, dann KLICK! Jetzt wird‘s interessant: Es gibt keine Lösung, Der Radikand sei eine negative Zahl.  Beispiel von der vorausgehenden Folie: √ = denn +2•+2 = +4 und (-2) •(-2) = +4 Eine Wurzel mit negativem Radikanden hat keine Lösung. Dies gilt z.B. auch für die , obschon wir uns -2 als Lösung denken könnten. (... denn (-2) •(-2) •(-2) = -8) √-8 3 Suche eine Zahl, die beim Quadrieren eine negative Zahl (hier -4) ergibt! 1

12 Wurzelexponent Null ist und bleibt zukünftig verboten.
Darf der Radikand den Wert 0 haben? ... kein Problem! √ 0 = 0, denn 0 • 0 = 0 Diese Überlegung kannst du ausweiten auf alle √ 0 : n √ 0 = 0, denn ein Produkt mit (mindestens) einem Faktor Null hat immer den Wert 0. n ... und die Wurzelexponenten? Wurzelexponent Null ist und bleibt zukünftig verboten. Als Wurzelexponenten sind für dich nur die natürlichen Zahlen ohne Null erlaubt. Hin- und Rückweg Potenzieren und Radizieren sind Gegenrechnungen. Wenn du zuerst eine Zahl a mit n potenzierst Radizieren einer Potenz √ n an = a und dann die n-te Wurzel ziehst, dann erhältst du wieder den Ausgangswert a. Umgekehrte Reihenfolge: Du kannst zuerst die n-te Wurzel aus a ziehen Potenzieren einer Wurzel n ( ) = a √a n und dann wieder mit n potenzieren. Auch dann erhältst du wieder den Ausgangswert a. Überprüfe dies einmal mit konkreten Zahlen am Beispiel : Daraus folgt: √(a)n = n (√a) n √64 = 3 4 = 4 √(4)3 = 3 (1,587..) 3 (√4) 3 ab 4 3 1

13 √ √ √ Wurzeln im Alltag: √ a2 + b2 Praktische Anwendungen
Alltägliche Geometrie-Probleme, auf die du im Haushalt, im Handwerk, in der Industrie, in der Landwirtschaft ... in Wirklichkeit stoßen kannst: Praktische Anwendungen Immer wieder taucht im Mathe-Unterricht die Frage auf: „Wozu brauche ich das später im täglichen Leben?“ Wurzeln im Alltag: Als Antwort darauf sollst du lediglich ein paar Hinweise bekommen, in welchen Alltagssituationen du vielleicht Wurzeln bzw. dem Wurzelziehen begegnen kannst. (Dies ist nicht der Platz, wo du das alles lernen sollst ...) Berechnung der Kanten/Seitenlänge eines Würfels: a = √ V eines Qudrates: a = √ A 3 Berechnung der Raumdiagonalen eines Würfels: d = a√ 3 Wie lange braucht ein Blumentopf, um von einem Balkon in 8m Höhe auf den Gehsteig zu fallen? Kugel-Durchmesser aus dem(r) Kugel-Volumen berechnen: d = Kugel-Oberfläche berechnen: d = √ 6 V π 3 ... nur damit du den Sinn der ganzen „Wurzelrechnerei“ besser einordnen kannst! √ O π Ein Unfallsachverständiger kennt den Bremsweg und die Bremsfähigkeit eines Autos auf Schnee. Wie lange dauerte die Bremszeit? √ A π Kreis-Radius aus der Kreis-Fläche berechnen: r = Zur Lösung dieser Fragen musst du irgendwann die Quadratwurzel ziehen. Immer, wenn der Satz des Pythagoras im Spiel ist. z.B.: Diagonale eines Rechteckes berechnen: d = ... und ob es dir gefällt oder nicht: Ohne einen sicheren Umgang mit Wurzeln werden viele algebraische Rechenwege für dich immer ein Geheimnis bleiben! √ a2 + b2 1

14 Rechnen mit Wurzeln Begriffsklärung Was muss ist zu beachten,
Vergleiche in deiner Formelsammlung die Regeln für das Rechnen mit Potenzen und mit Wurzeln! Was fällt dir auf? Beim Wurzelziehen und beim Potenzieren handelt es sich um die jeweilige Umkehrung. (... also um den selben mathematischen Zusammenhang) Deshalb ist es nicht verwunderlich, dass du bei den jeweiligen Regeln für das Rechnen mit Wurzeln oder mit Potenzen eine große Vergleichbarkeit entdeckst. Wenn du fertig bist: KLICK! In der selben Reihenfolge, wie wir sie beim Potenzrechnen erlebt haben, werden wir erkunden, welche Regeln wir beim Rechnen mit Wurzeln einhalten müssen. Was muss ist zu beachten, wenn Wurzeln addiert / subtrahiert werden sollen? wenn Wurzeln miteinander multipliziert werden sollen? wenn Wurzeln dividiert werden sollen? wenn Wurzeln potenziert werden sollen? wenn eine Wurzel aus einer Wurzel gezogen werden soll? Begriffsklärung Wir werden immer wieder den Begriff „Term“ gebrauchen. Deshalb hier eine Erklärung: Der Begriff Term bezeichnet einen sinnvollen mathematischen Ausdruck, der Zahlen (1, 2...), Variablen (x, y, a ...), sowie Rechenbefehle (•, :, + ...) und Klammern enthalten kann. Er darf keine Relationszeichen ( =, <, > ) enthalten. ( das wären Aussagen, wahr oder falsch). 1

15 Die Wurzel-Terme werden übernommen!
Addieren und Subtrahieren von Wurzeln Formuliere deine Vorstellung auf den Block! Fertig? ... dann KLICK! Welche Anforderungen (Eigenschaften) müssen deiner Meinung nach erfüllt sein, damit du behaupten darfst, zwei oder mehrere Wurzeln seien identisch (gleich)? Vergleiche die soeben niedergeschriebenen Gedanken mit den Überlegungen, die wir im Lernprogramm ‚Potenzen‘ auf den Folien 6 bis 8 erarbeitet haben! Vereinfache diese Wurzelterme, indem du in zulässigem Maße die Malzeichen, die Wurzelexponenten, die Vorzeichen und die Koeffizienten weglässt! Gegeben sind sechs Wurzelterme: √a 2 +7•√a 3 1•√xy -1•√a -5•√xy 6•√xy √a 6√xy 3 √xy -√a -5√xy 7 √a NOTIERE zuerst! Dann KLICK! ... vergleiche! Fasse die identischen Wurzelterme zusammen! √xy - 5√xy = -4√xy Regel 1a: Nur identische Wurzel-Terme kann man addieren oder subtrahieren. - √a 3 7 √a = 6 √a 3 NOTIERE zuerst! Dann KLICK! Regel 1b: Identische Wurzeln werden addiert / subtrahiert, indem man ihre Vorzahlen (Koeffizienten) addiert / subtrahiert. Die Wurzel-Terme werden übernommen! √a 6√xy 3 und haben keine identischen Partner. 1 3cm cm (hier: günstige Zahlen) √ 64cm2 kannst du nicht addieren, wohl aber die Ergebnisse. 3 √ 27cm3 und

16 Multiplikation von Wurzeltermen
Allgemeinster Fall: Wir wollen zwei Wurzelterme, die weder im Radikanden noch im Wurzelexponenten übereinstimmen, miteinander multiplizieren. Unser Ziel wäre, die beiden Wurzeln so zusammen zu fassen, dass mit einmaligem Wurzelziehen das Ergebnis erreicht wäre. Wenn du die beiden Wurzeln getrennt ziehst, dann ist das Ergebnis mit Sicherheit richtig. Das geht in diesem Beispiel leicht. Auf die folgenden 2 Vorschläge kommt man am ehesten. Überlege, welche Ideen dabei ausschlaggebend waren! ... dann KLICK! √8 • 9 = 6 √ 72 = 6 2, √8 3 • √ = 2 und √ 8 • = 5 √ = 5 2,352... 2 • = 6 6 Wenn die Wurzeln weder im Radikanden noch in der Wurzelhochzahl übereinstimmen, dann führt nur das getrennte Radizieren der Wurzeln und anschließend das Multiplizieren der Wurzelwerte zum Ziel. Mache einen Vorschlag, wie du die beiden Wurzeln unter einem Wurzelzeichen zusammenfassen könntest. Fertig? ... dann KLICK! Diese Lösungswege führen nicht zum richtigen Ergebnis. Sie sind nicht erlaubt. So musst du auch verfahren, wenn die Wurzeln nicht so leicht zu ziehen sind (Taschenrechner). Die Wurzelwerte können je nach Radikand auch irrational sein. Lass dir das Wurzelziehen mit dem Taschenrechner zeigen! √8 • √27 = 2,828 • 3 = 8,485 3 Löse die folgenden Multiplikationen! Aufgabe fertig? ... dann KLICK! √100 3 • √10 = 4,6416 • 3,162 = 14,68 1

17 ( ) ( ) Multiplikation von WurzelN (Fortsetzung) √8 √27 = √a √b =
Folie Sonderfall: Die Wurzelterme haben gleiche Hochzahl. Allgemeiner Beweis: Wir haben noch nicht bewiesen, dass diese Regel nicht nur für unser gelöstes Beispiel gilt, sondern auch allgemein. Dieses Mal wollen wir zuerst mit der sicheren Methode den Wert dieses Produktes ermitteln. Unsere Behauptung: √8 3 • √ = √a n • √b = √ a • b Wir potenzieren beide Seiten der Gleichung mit n. 2 • = 6 6 n ( ) ( ) n √a n • √b = √ a • b siehe Folie 12 Gibt es für diesen Sonderfall noch eine Methode, wie du die beiden Wurzeln so zusammen fassen kannst, dass mit einmaligem Wurzelziehen das Ergebnis erreicht wäre? √ a n ( ) Radizieren und Potenzieren heben sich auf! √ b n ( ) • = a • b a b = a • b • Mache einen Vorschlag, wie du die beiden Wurzeln unter einem Wurzelzeichen zusammenfassen könntest. Fertig? ... dann KLICK! Auf den folgenden Vorschlag kommt man am ehesten. Überlege, welche Idee dabei ausschlaggebend war! ... dann KLICK! ... und wieder: Radizieren und Potenzieren heben sich auf! Unsere Behauptung hat somit durch erlaubte algebraische Umwandlungen an der Gleichung zu einer wahren Aussage geführt. √8 • = 3 √216 = 3 6 Der Lösungsweg war in diesem Fall erfolgreich, und wenn wir die Idee verallgemeinern, dann kommen wir zu folgender Formulierung: Also war unsere Behauptung wahr. Regel 2: Wurzeln ? ? ? multipliziert man, indem man die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden zieht. Den gemeinsamen Wurzelexponenten behält man bei. mit gleichem Wurzelexponenten √a n • √b = √ a • b n 1

18 √a2 √a = Multiplikation von Wurzeln (Anwendung und Übung) √4 √16 =
Löse diese Aufgabe durch Eingabe in den Taschenrechner! Fertig? ... dann KLICK! Ideale Radikanden entstehen oftmals erst beim Multiplizieren. Die Anwendung der Regel Nr.2 zur Multiplikation von Wurzeltermen mit gleicher Wurzelhochzahl bringt manchmal überraschende Rechenvorteile: In Wirklichkeit löst sich diese Wurzel sehr angenehm: √4 3 • √ = √ = 4 3 Wenn du diese Aufgabe durch schrittweises Radizieren lösen willst, dann bekommst du es mit ‚üblen‘ Zahlen und durchs Runden mit einem ungenauen Ergebnis zu tun. 1, • 2, = 3, 3,9 Ermittle den Produktwert! Teilweises Radizieren Wenn du die Regel 2 rückwärts anwendest, dann kannst du viele Wurzeln zumindest teilweise ohne Rundungsfehler radizieren. Das hat z.B. beim Vereinfachen von Termen großen Brauchwert. Löse diese Aufgaben durch Anwendung der Multiplikationsregel! Fertig? ... dann KLICK! √5 • √5 = 5 x 12 3 6 2 a √x • √x = √75 = √25 • √3 = 5 • √3 √24 • √6 = √2000 = 3 √1000 • √2 = 3 10 • √2 3 √9 • √3 = 3 Löse diese Aufgaben durch rückwärtiges Anwendung der Multiplikationsregel! Fertig? ... dann KLICK! Weise nach, dass √12 • √18 = 3 √32 √2 = 4 = √16 √2 • Kürzen! = 4 √a2 3 √a = • Rückweg: Zurück unter die Wurzel bringen Wie hat der ursprüngliche Wurzelterm unter lediglich einem Wurzelzeichen geheißen? √2 • √8 = 4 1 9 √3 = √ 81 • 3 = √ 243 Hast du Fehler? Woran liegt‘s?

19 √ √ √ √ √ √16 = 4 √ b √18 = √2 9 = Division von Wurzeltermen Übungen:
Versuche nun, dein Wissen auf die „Division von Wurzeltermen“ zu übertragen! Nicht hudeln! Gründlich reinknien! Fertig? ... dann KLICK! Im Verlauf der Folien 16 bis 18 hast du dich mit dem Thema „Multiplikation von Wurzeln“ beschäftigt. Ob du dir gründlich Gedanken gemacht hast, wirst du beim Bearbeiten der Aufgaben beurteilen können. Scheue dich nicht, wenn nötig immer wieder bei den vorangegangenen Folien Rat zu holen! Nach jeder gelösten Aufgabe KLICK! Du bekommst sofort Rückmeldung. Übungen: 6 √ab 3 √a = 6 √ab : 3 √a = √ 32 2 = √32 √ 2 = √16 = 4 √32 √2 = 4 = √16 √2 • Kürzen! √ a b a = 4 Kürzen! 2 √b = Vergleiche diesen Lösungsweg mit der entsprechenden Aufgabe von Folie 18 ! √ a b a = 2 √a b √ a = √ b • Kürzen! oder: Löse auch mit dem Rechenweg von Folie 18 6 √a 3 √a = √b √ 54 3 = IdentischeWurzeln kürzen! • 2 √b √54 √ 3 = √18 = √2 9 = √54 √3 = = √18 √3 • 3 √2 Kürzen! • = 3 √2 √ a2a a Kürzen! √a3 √ a = nächste Folie Wenn du die zurück liegenden Aufgaben anschaust, dann hättest du die Radikanden der Wurzeln auch schon kürzen können, als sie noch unter getrennten Wurzelzeichen standen. Bist du dir im Klaren darüber, dass du beim Lösen der Übungsaufgaben stillschweigend nach einer Regel verfahren bist? Steuere notfalls die folgende Folie kurz an! = a √147 √ = 7 Wenn du die 7 unter die Wurzel bringst, kommst du leichter auf die Lösung! √147 = √49 √ 3 1

20 √ √ √ √ ( ) ( ) ( ) Division von Wurzeltermen √a √ b √a √ b √a √ b √ a
Regel 3: Notiere nun für die Division den entsprechenden Eintrag in diesen gelben Merkkästchen! Fertig? ... dann KLICK! Du kannst dich an Folie 17 orientieren. Zwei Wurzeln ? ? ? dividiert man, indem man die Wurzel aus dem Quotienten der Radikanden zieht. Den gemeinsamen Wurzelexponenten behält man bei. mit gleichem Wurzelexponenten √ a b √a √ b = n Folie b √ a √a √ b = n Allgemeiner Beweis: zurück zu Folie Unsere Behauptung: Das nachfolgende Beweisverfahren ist für Lernende interessant, die sich für einen weiterführenden Mathe-Unterricht fit machen wollen: Erbringe den Nachweis für die allgemeine Gültigkeit der oben stehenden Formulierung! (Wenn nötig: Orientiere dich am Beweisverlauf auf Folie 17! ) Durch Klicken auf den Button kannst du das Beweisverfahren überspringen. Wir potenzieren beide Seiten der Gleichung mit n. ( ) n √ a b n ( ) n n √a √ b = √ a n ( ) √ b √ a b ( ) n n = siehe Folie 12 a Radizieren und Potenzieren heben sich auf! = a b b ... und wieder: Radizieren und Potenzieren heben sich auf! Nächste Folie Unsere Behauptung hat somit durch erlaubte algebraische Umwandlungen an der Gleichung zu einer wahren Aussage geführt. Willst du einsteigen? ... dann KLICK ins nebenstehende Rechteck! Also war unsere Behauptung wahr. 1

21 Division und Multiplikation von Wurzeln (Anwendung und Übung)
Bei Anwendung der Divisionsregel reicht oft einfaches Kopfrechnen: Oft ungenau und umständlich mit dem Taschenrechner: √ 12 3 = √12 √3 = 3,4641 √12 √3 = 1,7321 = 1, √4 = 2 Vergleiche! Löse zuerst die gestellte Aufgabe! ... dann KLICK! Rückmeldung kommt sofort. Zwei bedeutende und typische Fehler passieren im folgenden Lösungsverlauf. Findest du sie? 2 √ 16 = 3 √8 = 2 3 √16 √2 = , denn 23 = 8 18a2 + 27b2 b2 √ = 3 √18a2 + 27b2 √b2 = 16 √ 1 = Kürzen! 4 √2 √32 = 4 1 2 , denn (1/2)4 = 1/16 √9•2a2 + 9•3 = 3√3 3a√2 + √3 ) 3(a√2 + = ...zweimaliges Kürzen! 49yx4 √ 196x2y4y1 = 4x2y4 x4 √ = 14√x2y5 √49yx4 = Bei der folgenden Aufgabe kommst du am schnellsten zum Ziel, wenn du zuerst alle beteiligten Terme unter ein Wurzelzeichen bringst, ... dann kürzen und dann Wurzel ziehen. 1. Fehler: Einzelne Summanden (oder Teile davon) aus einer Summe darfst du nicht kürzen! x2 2xy2 = x 2y2 oder 2 x y2 Es gibt auch andere Lösungswege! 2. Fehler: Aus einer Summe darfst du nicht einzelne Summanden (oder Teile davon) radizieren! 2 √7x5 x√ 28 = 2 √7x4x x√4•7 = 2x2 √7x 2x√7 = x√x Richtiger Lösungsweg: 9 (2a2 + 3b2) b2 √ = √18a2 + 27b2 √b2 = • • p 2mn p23p 4m2•2n √ = 3p3 8m2n √ = p 2mn 2a2 + 3b2 b2 √ 3 Hier bekommst du durch Ausklammern ein Produkt. Teilweises Radizieren erlaubt! • ...dreimaliges Kürzen! 2pm 2mnp √3p √2n = n √2n √3p 1 Mehr geht nicht!

22 (√a) = √an (√a) = √an ? = ( ) ( ) Potenzieren von Wurzeln n √2 ? √2
Allgemeine Schreibweise: (√a) = n √an n Im Verlauf von Folie 12 sind wir zum Ergebnis gelangt, dass Potenzieren und Radizieren entgegengesetzte Rechenarten sind, die sich gegenseitig aufheben. Wie lautet das Ergebnis links bzw. rechts? Die Befehle zum Hinweg (Potenzieren) und zum Rückweg (Radizieren) sind gleich mächtig. Also landen wir stets wieder beim Ausgangswert a. Folie (√a) = m n √an m Überprüfe mit zwei Zahlenbeispielen, ob diese Aussage jetzt auch noch stimmt! ... dann KLICK! ? = Formuliere eine allgemeinere Schreibweise, indem du den Wurzelexponenten ‚m‘ nennst und den Exponenten beim Potenzieren ‚n‘ belässt! dann KLICK! Die allgemeinere Schreibweise stimmt offensichtlich noch immer. (Beweis fehlt!) ( ) 6 Der Rechenbefehl zum Potenzieren ist in unserem Beispiel mächtiger als der zum Radizieren. Deshalb verwundert es nicht, dass im Ergebnis nicht mehr der Radikand a (hier 2) entsteht. √ ? 3 Weshalb führen Potenzieren und Radizieren nicht mehr zum Radikanden a (hier 2)? √2 3 oft ungenau = 6 oft günstig ( ) 6 Ob du zuerst die mte Wurzel ziehst und dann mit n potenzierst (linkeSeite), oder ob du zuerst mit n potenzierst und dann die mte Wurzel ziehst (rechte Seite), das führt zum gleichen Ergebnis. √64 3 ∼1,26 = 4, 4 = 4 Potenzieren Waren deine zwei Zahlenbeispiele richtig? Kläre für dich evtl. Fehler! Radizieren 2 Endergebnis 4 oder Endergebnis 4 Radizieren 64 ∼1, Potenzieren Regel 4: Regel 4: Eine Wurzel kann man mit einem Exponenten n potenzieren, Wie lautet die Regel 4 für das Potenzieren von Wurzeln? Eine Wurzel kann man mit einem Exponenten n potenzieren, oder rechte Seite indem man zuerst den Radikanden a mit dem Exponenten n potenziert und dann die mte Wurzel zieht. linke Seite indem man zuerst die mte Wurzel zieht und dann den Wurzelwert mit dem Exponenten n potenziert 1

23 √ √ √ √ √ √ √ √5 √ √a √a √ √ √ √3 √ √ ( ) Radizieren von Wurzeln √a
Was würden diese Überlegungen für unser Zahlenbeispiel und die anfängliche allgemeine Schreibweise bedeuten? Fertig?... dann KLICK! In den Rechenbeispielen haben wir immer ‚schöne‘ Potenzwerte verwendet, die zu glatten Ergebnissen führten. Probiere ruhig aus, ob die Regeln auch bei beliebigen Zahlen mit deren irrationalen Zahlenergebnissen gelten! oder ‚Wurzel aus Wurzel‘ Überprüfe durch die Probe, indem du rückwärts potenzierst! Fertig?... dann KLICK! Wir hatten auf der vorigen Folie die Zahl a. Daraus zogen wir die mte Wurzel. Denke dir ein Zahlenbeispiel aus. Fertig?... dann KLICK! ( ) n √a m √ 3 Diese haben wir mit n potenziert. √729 2 = √27 3 = 3 Denke rückwärts! Jetzt wollen wir das Gegenteil mit dieser Zahl a und ihrer mten Wurzel anstellen. ( ) 3 •3 denn: 32 = 32 = = 729 Potenzen werden potenziert, indem man die Hochzahlen multipliziert und dann den Potenzwert berechnet. Bedenke, dass Faktoren vertauschbar sind! √ n Wie heißt die Potenzregel, die hier zum Tragen gekommen ist? Fertig?... dann KLICK! Da die Faktoren vertauschbar sind, müsste man auch die Exponenten der Potenz bzw. der Wurzel vertauschen können! √a m Wir wollen ein zweites Mal radizieren. Das wäre die ‚Wurzel aus einer Wurzel‘! √ n √ m √ 2 Auch hier ist der allgemeine Beweis etwas aufwändig! √a m √a n √729 3 = √9 2 = = 3 ( ) 2 •2 Fasse diese formelhafte Schreibweise in Worte! Fertig?... dann KLICK! denn: 33 = 33 = = 729 Die Reihenfolge, in der man die Wurzeln zieht, ist beliebig vertauschbar. Häufige Anwendung: 1. Aus einer Doppelwurzel eine einfache Wurzel herstellen: Regel 5 rückwärts √ 2 √ 3 √5 3 √ n √a n m √a m n √a n √ m = • • √25 3 = √25 2 Regel 5: √a m = = √ 3 √ 2 √3 2 √27 2 √27 3 Fasse diese formelhafte Schreibweise in Worte! Fertig?... dann KLICK! = = Man kann eine Doppelwurzel radizieren, indem man die Wurzelexponenten multipliziert und dann in einem Schritt radiziert. 2. Beseitigung der Doppelwurzel: Welche zweite Vermutung hätte sich auch noch aus unserem Rechenbeispiel ergeben können? Fertig?... dann KLICK! √ 3 √729 2 √729 6 = = 3 √ 4 √256 2 √256 8 1 Erst, wenn du die Symbole der formelhaften Schreibweise in Worte übersetzen kannst, verstehst du deren Sinn. = = 2

24 Übungen / Anwendungen √2 √2 √2 (√2 ) = √26 = (√2 ) = √29 = (√2 ) =
Auf dieser Folie sollen die bisherigen Erkenntnisse vertieft werden. Gleichzeitig dienen die Überlegungen der gedanklichen Vorbereitung auf dier nächste Folie. Übungen / Anwendungen Folie Zuerst wollen wir uns drei Aufgaben-Blöcke mit Wurzelrechnungen herrichten, an denen wir dann weitergehende Überlegungen anstellen werden. Verwende –wenn nötig- den Taschenrechner! Die Ergebnisse (Wurzelwerte) werden im Wert deutlich ansteigen. Denn: Die Radikanden werden durch die ansteigenden Exponenten deutlich mächtiger. Die Entwicklung der Aufgaben-Blöcke ist nicht zufällig! Der erste Aufgabenblock ist bereits gelöst. Berechne jetzt die Wurzelwerte! Überprüfe die Ergebnisse mit ... KLICK! 2 = √2 3 6 9 12 Wie werden sich die Ergebnisse (Wurzelwerte) entwickeln? Mache eine grobe Voraussage mit Begründung! Begründe die Richtigkeit der Ergebnisse! Potenzieren und Radizieren sind entgegengesetzte Rechenoperationen. Wir hatten deshalb immer das Bild vom Hin- und Rückweg vor Augen. 2 = √2 3 6 9 12 Probe (Gegenrechnung): Potenzrechnen 3 4 8 16 = 22 = 23 = 24 ,denn (22) = 26 3 ,denn (23) = 29 Regel Nr. 6 3 ,denn (24) = 212 √2 3 6 9 2 = 12 Berechne jetzt die Wurzelwerte! Überprüfe die Ergebnisse mit ... KLICK! Die Ergebnisse (Wurzelwerte) werden im Wert deutlich verlieren. Denn: die Wurzelexponenten werden durch die ansteigenden Werte deutlich mächtiger. Wurzeln: Regel Nr. 4 Wie werden sich die Ergebnisse (Wurzelwerte) entwickeln? Mache eine grobe Voraussage mit Begründung! 2 1 (√2 ) = 1,4142 1,2599 1,1892 6 2 √26 = = √2 2 1 ,denn 23 3 1 3 1 (√2 ) = 9 3 √29 = = √2 ,denn 23 = √2 4 1 4 1 (√2 ) = 12 3 √212 = Die Inhalte dieser Folie musst du nicht auf Abruf auswendig können aber verstehen Wir wollen damit weiter arbeiten. ,denn 23 1 Prüfe nach!

25 √a √a √an Wurzelexponenten kürzen / erweitern √2 √2 √2 √2 √22+3 √25
Bedenke: Eine Wurzel mit dem Exponenten 1 ist keine Wurzel mehr. Sie ist eine „Scheinwurzel“. Kannst du dir in der ersten Aufgabe auch eine Wurzelschreib-weise für das Ergebnis 2 vorstellen? ... dann KLICK! Für die folgenden Überlegungen verwenden wir zunächst den dritten Aufgaben-Block der vorigen Folie. √2 3 6 9 2 = 12 3 1 6 2 9 12 4 / 1 √2 Denke immer daran, dass die Exponenten 1 und der Wurzelexponent 2 nicht wirklich geschrieben werden! Betrachte und vergleiche jeweils die Aufgabe und ihr Ergebnis! ... dann KLICK! 2 1 1, 1, 1, = √2 Wir haben drei Wurzelwerte in Form von unendlichen Dezimalzahlen erhalten. Welche Vorstellung wird beim Betrachten der Exponenten-Paare wach? ... dann KLICK! = √2 3 1 Dann haben wir festgestellt, dass diese irrationalen Zahlen den Werten bestimmter Wurzeln entsprachen. = √2 4 1 Wir fühlen uns an eine Bruchschreibweise und an das Kürzen erinnert. Was hier so trocken und unwichtig erscheint, bekommt beim Berech-nen von Wurzeln oder beim Umgang mit alge-braischen Gleichungen eine große Bedeutung! Die Wurzel mit kleineren Exponenten ist besser zu bearbeiten. Regel 6: Wenn im Wurzelexponenten und im Exponenten des Radikanden ein gemeinsamer Faktor f enthalten ist, dann ist das Kürzen erlaubt (wie du es von Bruchzahl kennst). Kürzen Beispiel: √a m•f n•f Kürzen! √a m•f n•f √an m Erweitern • √2 3 = 2 oder √2 6 2 • 3 = Wenn das Kürzen erlaubt ist, dann muss auch das Erweitern erlaubt sein. √22+3 6 = √25 6 Erweitern Die nächste Folie wird wichtige Anwendungs- und Übungsaufgaben bieten. Der Wert einer Wurzel ändert sich dabei nicht! Anwendung: Durch Erweitern können wir zwei Wurzeln gleichnamig machen. 1

26 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Anwendungen und Übungen √8 √3 √6 √8 √6 √8 √6 √8
Erweitere den Bruch mit ! Entwickle dann weiter bis zum Ergebnis: Zum Vergleich ...KLICK! √8 2 √3 Rationalmachen des Nenners: √6 √8 = √6 √8 • = √6 √8 • = 2 √16 8 √3 • = 8 √3 4• = 2 √3 Bei Brüchen sollte man –wo möglich- die Nenner immer von Wurzeln befreien! 8 √48 = √14 √8 = √14 √8 • = 2 √16 8 √7 • = 8 √7 4• = 2 √7 8 √112 = Prüfe, ob dieses Ergebnis stimmt! √256 = 6 Verfahre entsprechend der obigen Aufgabe! Entwickle dann weiter bis zum Ergebnis: Zum Vergleich ...KLICK! 2 √7 Kürzen! 2√2 3 6 √28 = Zweiter Lösungsweg: Kürzen! √14 √8 = √7 √4 √2 • = 2 √7 √24 = 3 √23•21 = 3 Es gibt (hier) aber auch einen zweiten Lösungsweg. ... oben auch. Wenn du es versucht hast, KLICK! ?= √23 •√2 = 3 √27 √32 = √27 √32 • = √3•9•2•16 32 = 32 √3•2 3•4• = 8 3√6 Welches ist der schnellste Weg? Das Ergebnis: Zum Vergleich ...KLICK! 8 3√6 Der Trick mit dem 3. Binom: √8 - √5 3 Zweiter Lösungsweg: √27 √32 = √9•3 √16•2 = √3 √2 3• = 4• √3 √2 3• = 4• • √3 √2 3• = 4• • 2 8 3√6 ( ) ( ) • √8 + √5 √8 - √5 3 = ( ) oder: Wir erweitern den Bruch mit dem Term: √8 + √5 Dieser Term und der Nenner müssen jedoch in Klammern gesetzt werden. (Strichrechnung!) ( ) ( ) 6 √c = 3 ( ) 6 √c = 3 Kürzen! Schneller: Kürzen! √c6 = 3 Zum Überprüfen ...KLICK! Bedenke: Eine Wurzel mit dem Exponenten 1 ist keine Wurzel mehr. Sie ist eine „Scheinwurzel“. Da hättest du ja auch gleich kürzen können! √c2 = 1 2 Im Nenner steht jetzt ein Beispiel für einen 3. Binom: Dessen Lösung hat keine Wurzel mehr: Also hat der Nenner den Wert 3. Sofort können wir kürzen. 3 = √8 + √5 ( ) c2 c2 Kürzen! √8 - √5 ( ) • √8 + 3 Kürzen! √8 + √5 ( ) 3 √c = 6 ( ) 3 √c = 6 ( ) 3 √c = Potenzieren und Radizieren heben sich auf! Du kannst es aber auch als Kürzen verstehen. Kürzen! c2 1

27 √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ ( ) Potenzen mit einem Bruch ??? als Hochzahl √7
Lange haben wir warten müssen: Nach jeder gelösten Aufgabe: Zur Kontrolle ...KLICK! Schreibe die Wurzelterme als Potenzen! Potenzen mit einem Bruch als Hochzahl ??? √7 2 3 = 7 3 2 = Nach jeder Aufgabe: Zur Kontrolle ...KLICK! 71,5 √c4 = 6 c 4 6 = c 2 3 An den Beginn unserer Überlegungen stellen wir eine ganz ‚normale‘ Wurzel : √zy = x z y x 5 2 3 √ 2 5 √ 3 √ 3 = 1 2 5 3 = 2 5 v 1 2 = √v = Wir haben gelernt, dass man die beiden Exponenten durch die selbe Zahl dividieren d.h. ‚kürzen‘ darf. (Folie 25) √9 = 3 √32 = 3 3 2 1 2 (a2 + b2) Der Wert der Wurzel ändert sich dabei nicht. √a2 + b2 Aus einer Summe darfst du nicht teilweise radizieren! Allgemein: Durch die sinnvolle Wahl der Kürzungszahl 5 entsteht der Wurzelexponent 1. Das ist wieder eine ‚Scheinwurzel‘. m n 7 √ 1 = 3 7 1 oder 3 ( ) a √ n m √ a √ a = 3 √7-1 = 7 1 3 - Zeige für die , dass man diese Herleitung auch allgemein formulieren kann! Zum Vergleich ...KLICK! a √ n m 1 n m a = n m = e2 √ 32 = 5 2√e-2 5 = 2e 2 - 5 2e-0,4 = Jetzt erinnern wir uns vielleicht an eine Frage, die beim Potenzrechnen (Folie 13) aufgetaucht ist. Wir konnten sie zum dortigen Zeitpunkt nicht beantworten. Schreibe mit dem Wurzelzeichen! 5 2 3 √52 3 Wie können wir Potenzen verstehen, deren Exponent eine Bruchzahl ist? 9 1 2 = √9 = 2 90,5 = 3 Alle Wurzeln können wir als Potenzen mit gebrochener Hochzahl verstehen (und schreiben). (3v) 2 3 √(3v)2 3 a √ n m Somit sind alle rationalen Zahlen ℚ als Exponenten von Potenzen erlaubt. ( Folie 9) 3 v 2 3 a = n m √v2 3 1 b 4 5 = 5 √b4 1 b-0,8 = 1 Da wir auch die ganzen Zahlen in unechte Brüche verwandeln können, sind alle Potenzen als Wurzeln darstellbar.

28 √a ( ) = a √(a)n = (√a) √ √ an = a √a2 + b2 + c2 √2 √3 √b2 - 4ac d =
cos 45° = 1 2 √2 sin 45° = sin 60° = √3 cos 30° = tan 30° = 3 tan 60° = x1,2 = -b ± √b ac 2a A = a2 4 d = √a2 + b2 + c2 Die Regeln zum Wurzelrechnen im Überblick Regel 1a: Nur identische Wurzel-Terme kann man addieren oder subtrahieren. Regel 1b: Identische Wurzeln werden addiert / subtrahiert, indem man ihre Vorzahlen (Koeffizienten) addiert / subtrahiert. Die Wurzel-Terme werden übernommen! Wurzelexponent Null ist und bleibt zukünftig verboten. √a n ( ) = a √(a)n = (√a) Daraus folgt: Potenzieren und Radizieren sind Gegenrechnungen. Potenzieren einer Wurzel an = a √ Radizieren einer Potenz Regel 2: Wurzeln ? ? ? multipliziert man, indem man die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden zieht. Den gemeinsamen Wurzelexponenten behält man bei. √a n • √b = √ a • b mit gleichem Wurzelexponenten √ n Regel 3: Zwei Wurzeln ? ? ? dividiert man, indem man die Wurzel aus dem Quotienten der Radikanden zieht. Den gemeinsamen Wurzelexponenten behält man bei. a b √a √ b = mit gleichem Wurzelexponenten 1 28

29 √an (√a) √a √an √2 √a2 + b2 + c2 √a √b2 - 4ac √ √3 = d = A = x1,2 =
cos 45° = 1 2 √2 sin 45° = sin 60° = √3 cos 30° = tan 30° = 3 tan 60° = x1,2 = -b ± √b ac 2a A = a2 4 d = √a2 + b2 + c2 √an m = Regel 4: Eine Wurzel kann man mit einem Exponenten n potenzieren, indem man zuerst den Radikanden a mit dem Exponenten n potenziert und dann die mte Wurzel zieht. indem man zuerst die mte Wurzel zieht und dann den Wurzelwert mit dem Exponenten n potenziert oder (√a) n 1 3 √a n m m √ n = Die Reihenfolge, in der man die Doppelwurzeln zieht, ist beliebig vertauschbar. • Man kann eine Doppelwurzel radizieren, indem man die Wurzelexponenten multipliziert und dann in einem Schritt radiziert. m n Regel 5 rückwärts Regel 5: Erweitern Regel 6: Wenn im Wurzelexponenten und im Exponenten des Radikanden ein gemeinsamer Faktor f enthalten ist, dann ist das Kürzen erlaubt (wie du es von Bruchzahlen kennst). √a m•f n•f Kürzen! oder √an m 1

30 DAS HERON-VERFAHREN Heron von Alexandria
Im Verlauf der Folie 8 haben wir durch Ausprobieren (Schachtelungs-verfahren) den Wert der √3 zu bestimmen versucht. Hier wollen wir etwas systematischer drangehen. Dem dient das sog. ‚Heron-Verfahren‘. Dein Wissen aus der Geometrie wird zur Hilfe herangezogen. A = 7 cm2 Heron von Alexandria war ein griechischer Mathematiker, der etwa von 10 n. Chr. bis 70 n. Chr. lebte. Er war neben Archimedes einer der ersten Physiker und Mechaniker. a = √7 Heron geht schrittweise vor. Immer legt er Wert darauf, dass die Fläche von 7 cm2 erhalten bleibt. Dieses wandelt er dann rückwärts wieder in ein flächengleiches Quadrat. Im ersten (groben) Schritt stellt er ein Rechteck her, das 7cm lang und 1 cm breit ist. Die Berechnung von Länge und Breite engt systematisch von oben und unten den Bereich ein, in dem der Wert der √7 liegen muss. A = 7 cm2 1

31 √7 HERON (an + ) ‘sches Schachtelungsverfahren √7 Länge verringern:
A = 7 cm2 a0=7 cm b0 =1cm Breite vergrößern: Mittelwert der Länge und Breite (jeweils des vorangehenden Rechtecks) Fläche durch die verkürzte Länge A = 7 cm2 a1 b1 A a1 7 4 = a1 = a0 + b0 2 7 + 1 2 = = 1,75 b1 = = 1,75 = 4 aufgelöste Flächenformel √7 = 4 A = 7 cm2 a2 b2 A a2 2,875 7 = a2 = a1 + b1 2 4 + 1,75 2 = ≈ 2,43 b2 = = 2,43478 = 2,875 = 2,875 A = 7 cm2 a3 b3 A a3 2,655 7 = a3 = a2 + b2 2 2, ,43 2 = b3 = ≈ 2,63664 ≈ 2,655 ≈ 2,64 ≈ 2,655 an+1 = an + bn 2 A = 7 cm2 A an A an bn = an+1 = an + 2 Ziel: 2 1 (an ) A an a = b = an+1 = n n √7 ≈ 2, 1 eingeschachtelt

32 Wie kann man so was vermeiden?
Welche Gefahr droht? Wie kommt so was? Wie kann man so was vermeiden? Beim Lernen errichten wir ein Wissenshaus! Stelle es auf ein solides Fundament! Risse im Fundament musst du vermeiden! Wie geht das? Auf der nächsten Folie wird einiges erklärt. 1 33

33 Verändertes Verhalten
© 2014 Gernot Mühlbacher Wie soll ich mir einen Lernvorgang vorstellen? All dein Wissen und alle Erfahrungen, die du bisher gemacht hast, sind in deinem Gehirn gespeichert. Ohne Abspeichern läuft nichts! So entsteht dein ‚Bewusstsein‘. Es ist das Ergebnis vorangegangener Lernschritte. Lernen beginnt ja schon mit der Geburt! Lernen ist (nur) dann ein erfolgreicher Vorgang, wenn es zu einer (möglichst bleibenden) Änderung deines Verhaltens führt. Beispiel: Beim Fangen eines Balles öffnest du deine Hände und beugst die Ellenbogen. Dieses Verhalten erlernst du zum Beispiel durch Hinweise und häufiges Üben im Training des Handballvereins. Vergleiche die Aussagen im Text mit der bildlichen Darstellung! auf dem bestehenden Bewusstsein (Wissen, Erfahrung) aufbauend durch Verknüpfung mit neuen Reizen (Informationen) Ein neuer LERNSCHRITT Neue Informationen Umwelt z.B. Unterricht zeigt sich in Form von: neuem Wissen, neuen Erfahrungen, neuen Fertigkeiten, neuen inneren Haltungen / Einstellungen Verändertes Verhalten Ver- knüp- fung und / oder Frage: Was müssen wir tun, um zu einer möglichst bleibenden Verhaltensänderung, also zu erfolgreichem Lernen zu gelangen? Lernen ist mehr als nur Verstehen! Der neu erkannte Sachverhalt (das neu erworbene Wissen) wird immer wieder hinterfragt und bearbeitet und erst durch dieses Wiederholen gefestigt. Wenn diese Vernetzung unterbleibt, dann kann kein weiteres Lernen darauf aufbauen. Der neue Lernschritt ist erst abgeschlossen, wenn das neue Wissen und die neuen Erfahrungen im bisher bestehende Bewusstsein fest eingebunden (gespeichert) sind. 2

34 Kurz erklärt Kommt es zu einem Feuchte- oder Leitungswasserschaden, sind wir der ERSTE Experte am Schadenort. Wir leiten ERSTE Maßnahmen im Rahmen der Ursachenermittlung/-analyse und Schadenminderung ein. Wir treffen ERSTE Entscheidungen, wie mit der jeweiligen Situation unserer Empfehlung nach umzugehen ist und liefern unabhängig von Nachgewerken ERSTE Ergebnisse, Details zum Schadenausmaß und Einschätzungen zur weiteren Vorgehensweise. Auszüge aus START vor

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