Einführung in die Informationsverarbeitung Teil Thaller Stunde V: Wege und warum man sie geht Graphen. Köln 14. Januar 2016

Das Problem 2

A* Algorithmus: Schluß 3

Ausgangspunkt I Möglichkeit möglichst vieler derartiger Probleme auf eine einzige Klasse von Vorgehensweisen zurück zu führen. 4

Ausgangspunkt II: 5

Abstraktion IV 6

„Ein Graph“ Knoten (Vertex, Nodes) Kanten (Edges) 7

Definition des Problems Ein Graph G heißt Eulerscher Graph, falls es einen geschlossenen einfachen Kantenzug gibt, der jede Kante von G enthält. Ein solcher Kantenzug heißt dann Eulerscher Kantenzug. 8

„Lösung“ des Problems Sei G ein zusammenhängender Graph. Genau dann ist G ein Eulerscher Graph, wenn jeder Knoten von G geraden Grad hat. 9

Ziele der Graphentheorie in der Informatik (1) Erlaube Aussagen über auf Graphen zurückführbare inhaltliche Probleme. 10

Kopf: (2) Beschreibe direkt die Eigenschaften von Listen, die wir am Tag 2 als eine der grundlegenden Datenstrukturen kennengelernt haben. Schwanz: Ziele der Graphentheorie in der Informatik Atom 1 Atom 2 Atom 3 11

Definitionen I Einfacher, ungerichteter Graph. Auch „schlichter Graph“. 12

Definitionen … Ist G ein Graph, so sagt man allgemein v ist Knoten (bzw. Ecke) von G, wenn v zu V(G) gehört. Ferner sagt man, falls G ungerichteter Graph ohne Mehrfachkanten ist und e zu E(G) gehört, e ist eine ungerichtete Kante von G, gerichteter Graph ohne Mehrfachkanten ist und e zu E(G) gehört, e ist eine gerichtete Kante von G, ungerichteter Graph mit Mehrfachkanten ist und E(G)(e) > 0, e ist eine ungerichtete Kante von G, gerichteter Graph mit Mehrfachkanten ist und E(G)(e) > 0, e ist eine gerichtete Kante von G. 13

Definitionen II Einfacher, gerichteter Graph. Kanten hier: „gerichtete Kanten“, Bögen oder Dikanten. 14

Definitionen III Ungerichteter Graph mit Mehrfachkanten, auch „Multigraph“. 15

Definitionen IV Knotengefärbter Graph. 16

Definitionen V Kantengefärbter Graph. 17

Definitionen VI Ein verbundener - oder zusammenhängender - Graph. 18

Definitionen VII Ein unverbundener - oder unzusammenhängender - Graph. 19

Definitionen VIII Ein Graph mit einer Schleife 20

Definitionen IX Ein Graph mit einem Zyklus. 21

Definitionen IX Ein Graph mit einem Zyklus. 22

Beziehung: Graphen und Matrizen K2K2 K3K3 K4K4 K1K1 23

Beziehung: Graphen und Matrizen K2K2 K3K3 K4K4 K1K

Konzept Isomorphie I 25

Konzept Isomorphie II 26

Konzept Isomorphie III 27

Konzept Isomorphie IV Zwei Graphen G 1 und G 2 sind isomorph, wenn es eine umkehrbar eindeutige Beziehung zwischen den Ecken von G 2 gibt derart, dass die Anzahl der Verbindungskanten zweier Ecken von G 1 gleich der Anzahl von Verbindungskanten der entsprechenden Ecken von G 2 ist. 28

Anwendung Isomorphie Nachteil: Überschneidungen, Diagramm daher potentiell verwirrend. 29

Anwendung Isomorphie Vorteil: Keine Überschneidungen, Diagramm daher klarer. 30

Weitere Begriffe Grade: Anzahl der Kanten von und zu einem Knoten / allen Knoten. Eingangsgrade und Ausgangsgrade. Maximale / Minimale Eingangsgrade / Ausgangsgrade. 31

Weitere Begriffe Verbundenheit: Ein Graph ist n-verbunden, wenn n Kanten entfernt werden können, ohne dass er unzusammenhängend wird. 32

Beispiel 33

Verbindungen 34

Verbindungen 35

Verbindungen 36

Verbindungen 37

Verbindungen 38

Travelling salesman 39 Besuche jede Stadt, aber keine zweimal – auf möglichst kurzem Weg.

Travelling salesman 40 “Brute force” Anzahl der Permutationen: (7-1)!/2 = 360

Travelling salesman 41 “Branch and Bound” Anzahl der Permutationen < “Brute Force”

Travelling salesman 42 “Nearest Neighbour” Ergebnis abhängig vom Startknoten

Weitere Begriffe Durchmesser: Ein Graph hat den Durchmesser n, wenn der längste nicht- zyklische Kantenzug zwischen zwei Knoten n Knoten durchläuft. 43

Weitere Begriffe 44 Ein ungerichteter, zusammenhängender Graph ohne Zyklen heisst Baum. D.h., die schwarzen Pfeile im nebenstehenden Diagramm definieren Zeiger nach unserer früheren Definition. Die roten Linien repräsentieren die Kanten im repräsentierten Graphen.

Anwendungen … 45 Semantisches Netz

Anwendungen … 46 P2P Netzwerk

Anwendungen … 47

Anwendungen … 48

Anwendungen … 49 ed-visualization-topic-shifts

Anwendungen … 50

Literatur Im empfohlenen Lehrbuch (Gumm / Sommer, Einführung in die Informatik, Oldenbourg, ) Kapitel 4. Dazu gehörige Programme (Kapitel 4) zum Download. 51

Vielen Dank!