Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Elektrische Schaltungen I Diese Vorlesung diskutiert die mathematische Modellierung einfacher elektrischer linearer Schaltungen. Die Modellierung führt zunächst immer auf ein System impliziter Algebrodifferentialgleichungen, das dann durch horizontales sowie vertikales Sortieren auf einen Satz expliziter Algebro- differentialgleichungen zurückgeführt werden kann. Durch Elimination der algebraischen Variablen kann sodann eine Zustandsraumdarstellung gewonnen werden.

Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Inhaltsverzeichnis Die Komponenten und ihre Modelle Die Netzwerktopologie und ihre Gleichungen Ein Beispiel Horizontales Sortieren Vertikales Sortieren Zustandsraumdarstellung Umformung in die Zustandsraumdarstellung

Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Lineare Netzwerkkomponenten I Widerstände Kapazitäten Induktivitäten R i v a v b u C i v a v b u L i v a v b u u = v a – v b u = R·i u = v a – v b i = C· du dt u = v a – v b u = L· di dt

Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Lineare Netzwerkkomponenten II Spannungsquellen Stromquellen Erde U 0 = v b – v a U 0 = f(t) I 0 I v a v b u 0 u = v b – v a I 0 = f(t) V 0 V 0 V 0 - V 0 = 0 U 0 i v a v b U 0 |

Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Schaltungstopologie Knoten Maschen v a = v b = v c i a + i b + i c = 0 v a v b i a i b i c v c v a v b v c u ab u bc u ca u ab + u bc + u ca = 0

Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Ein Beispiel I

Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Regeln für Gleichungssysteme I Die Komponenten- und Topologiegleichungen enthalten eine gewisse Redundanz. So können z.B. sämtliche Potentialvariablen (v i ) ohne weiteres eliminiert werden. Die Stromknotengleichung für den Erdknoten ist redundant und wird nicht benötigt. Die Maschengleichungen werden nur benötigt, falls die Potentialvariablen eliminiert werden. Andernfalls sind die Maschengleichungen redundant.

Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Regeln für Gleichungssysteme II Falls die Potentialvariablen eliminiert werden, definiert jede Netzwerkkomponente zwei Variablen: den Strom (i) durch das Element und die Spannung (u) über dem Element. Somit werden zwei Gleichungen benötigt, um diese Variablen zu ermitteln. Eine der Gleichungen ist die konstituierende Gleichung des Elements selbst, die andere stammt von der Topologie.

Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Ein Beispiel II Komponentengleichungen: U 0 = f(t)i C = C· du C /dt u 1 = R 1 · i 1 u L = L· di L /dt u 2 = R 2 · i 2 Knotengleichungen: i 0 = i 1 + i L i 1 = i 2 + i C Maschengleichungen: U 0 = u 1 + u C u L = u 1 + u 2 u C = u 2 Das Netzwerk enthält 5 Komponenten Wir benötigen 10 Gleichungen in 10 Unbekannten

Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Regeln für horizontales Sortieren I Die Zeit t darf als bekannt angenommen werden. Die Zustandsvariablen (Variablen, die in abgeleiteter Form vorkommen) dürfen als bekannt angenommen werden. U 0 = f(t) u 1 = R 1 · i 1 u 2 = R 2 · i 2 i C = C· du C /dt u L = L· di L /dt i 0 = i 1 + i L i 1 = i 2 + i C U 0 = u 1 + u C u C = u 2 u L = u 1 + u 2 U 0 = f(t) u 1 = R 1 · i 1 u 2 = R 2 · i 2 i C = C· du C /dt u L = L· di L /dt i 0 = i 1 + i L i 1 = i 2 + i C U 0 = u 1 + u C u C = u 2 u L = u 1 + u 2

Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Regeln für horizontales Sortieren II Gleichungen, die nur eine Unbekannte enthalten, müssen nach dieser aufgelöst werden. Die so ermittelten Variablen sind nun bekannt. U 0 = f(t) u 1 = R 1 · i 1 u 2 = R 2 · i 2 i C = C· du C /dt u L = L· di L /dt i 0 = i 1 + i L i 1 = i 2 + i C U 0 = u 1 + u C u C = u 2 u L = u 1 + u 2 U 0 = f(t) u 1 = R 1 · i 1 u 2 = R 2 · i 2 i C = C· du C /dt u L = L· di L /dt i 0 = i 1 + i L i 1 = i 2 + i C U 0 = u 1 + u C u C = u 2 u L = u 1 + u 2

Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Regeln für horizontales Sortieren III Variablen, die nur in einer Gleichung auftreten, müssen aus dieser ermittelt werden. U 0 = f(t) u 1 = R 1 · i 1 u 2 = R 2 · i 2 i C = C· du C /dt u L = L· di L /dt i 0 = i 1 + i L i 1 = i 2 + i C U 0 = u 1 + u C u C = u 2 u L = u 1 + u 2 U 0 = f(t) u 1 = R 1 · i 1 u 2 = R 2 · i 2 i C = C· du C /dt u L = L· di L /dt i 0 = i 1 + i L i 1 = i 2 + i C U 0 = u 1 + u C u C = u 2 u L = u 1 + u 2

Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Regeln für horizontales Sortieren IV Alle Regeln können rekursiv angewandt werden. U 0 = f(t) u 1 = R 1 · i 1 u 2 = R 2 · i 2 i C = C· du C /dt u L = L· di L /dt i 0 = i 1 + i L i 1 = i 2 + i C U 0 = u 1 + u C u C = u 2 u L = u 1 + u 2 U 0 = f(t) u 1 = R 1 · i 1 u 2 = R 2 · i 2 i C = C· du C /dt u L = L· di L /dt i 0 = i 1 + i L i 1 = i 2 + i C U 0 = u 1 + u C u C = u 2 u L = u 1 + u 2

Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 U 0 = f(t) u 1 = R 1 · i 1 u 2 = R 2 · i 2 i C = C· du C /dt u L = L· di L /dt i 0 = i 1 + i L i 1 = i 2 + i C U 0 = u 1 + u C u C = u 2 u L = u 1 + u 2 U 0 = f(t) u 1 = R 1 · i 1 u 2 = R 2 · i 2 i C = C· du C /dt u L = L· di L /dt i 0 = i 1 + i L i 1 = i 2 + i C U 0 = u 1 + u C u C = u 2 u L = u 1 + u 2 U 0 = f(t) u 1 = R 1 · i 1 u 2 = R 2 · i 2 i C = C· du C /dt u L = L· di L /dt i 0 = i 1 + i L i 1 = i 2 + i C U 0 = u 1 + u C u C = u 2 u L = u 1 + u 2 Der Algorithmus wird fortgesetzt, bis jede Gleichung genau eine Variable definiert, die daraus ermittelt wird.

Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Regeln für horizontales Sortieren V Das horizontale Sortieren kann nun mittels symbolischer Formelmanipulation durchgeführt werden. U 0 = f(t) u 1 = R 1 · i 1 u 2 = R 2 · i 2 i C = C· du C /dt u L = L· di L /dt i 0 = i 1 + i L i 1 = i 2 + i C U 0 = u 1 + u C u C = u 2 u L = u 1 + u 2 U 0 = f(t) i 1 = u 1 /R 1 i 2 = u 2 /R 2 du C /dt = i C /C di L /dt = u L /L i 0 = i 1 + i L i C = i 1 - i 2 u 1 = U 0 - u C u 2 = u C u L = u 1 + u 2

Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Regeln für vertikales Sortieren Die Gleichungen sind unterdessen Zuweisungen. Sie können so sortiert werden, dass keine Variable verwendet wird, bevor sie definiert wurde. U 0 = f(t) i 1 = u 1 /R 1 i 2 = u 2 /R 2 du C /dt = i C /C di L /dt = u L /L i 0 = i 1 + i L i C = i 1 - i 2 u 1 = U 0 - u C u 2 = u C u L = u 1 + u 2 U 0 = f(t) u 1 = U 0 - u C i 1 = u 1 /R 1 i 0 = i 1 + i L u 2 = u C i 2 = u 2 /R 2 i C = i 1 - i 2 u L = u 1 + u 2 du C /dt = i C /C di L /dt = u L /L

Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Regeln für Gleichungssysteme III Alternativ kann sowohl mit den Spannungen wie auch mit den Potentialvariablen gearbeitet werden. In diesem Fall müssen zusätzliche Gleichungen für die Knotenpotentiale gefunden werden. Dabei handelt es sich um die Potentialgleichungen der Komponenten sowie um die Potentialgleichungen der Knoten. Diese Gleichungen sind im vorher gezeigten Verfahren ignoriert worden. Die Maschengleichungen sind in diesem Falle redundant und können ignoriert werden.

Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Ein Beispiel III v 1 v 2 v 0 Das Netzwerk enthält 5 Komponenten und 3 Knoten. Wir benötigen 13 Gleichungen in 13 Unbekannten. Komponentengleichungen: U 0 = f(t)U 0 = v 1 – v 0 u 1 = R 1 · i 1 u 1 = v 1 – v 2 u 2 = R 2 · i 2 u 2 = v 2 – v 0 i C = C· du C /dt u C = v 2 – v 0 u L = L· di L /dt u L = v 1 – v 0 v 0 = 0 Knotengleichungen: i 0 = i 1 + i L i 1 = i 2 + i C

Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Sortieren Das Sortieren geht gleich vor sich wie beim vorherigen Algorithmus. Der Sortieralgorithmus ist bereits rein informatisch abstrakt und hat nichts mehr mit dem elektrischen Schaltkreis zu tun. Somit kann die Modellierungsaufgabe in zwei Teil- aufgaben zerlegt werden: 1.Abbildung der physikalischen Topologie auf ein differential- algebraisches Gleichungssystem. 2.Umformung des Gleichungssystems in eine ausführbare Programmstruktur.

Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Zustandsraumdarstellung Lineare Systeme: Nichtlineare Systeme: dxdx dt = A · x + B · u y = C · x + D · u x(t 0 ) = x 0 ; dxdx dt = f(x,u,t) y = g(x,u,t) ; x(t 0 ) = x 0 x n u m y p x = Zustandsvektor u = Eingangsgrössenvektor y = Ausgangsgrössenvektor n = Anzahl Zustandsvariabeln m = Anzahl Eingangsgrössen p = Anzahl Ausgangsgrössen A n n B n m C p n D p m

Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Umwandlung in Zustandsform I U 0 = f(t) u 1 = U 0 - u C i 1 = u 1 /R 1 i 0 = i 1 + i L u 2 = u C i 2 = u 2 /R 2 i C = i 1 - i 2 u L = u 1 + u 2 du C /dt = i C /C di L /dt = u L /L du C /dt= i C /C = (i 1 - i 2 ) /C = i 1 /C - i 2 /C = u 1 /(R 1 · C) – u 2 /(R 2 · C) = (U 0 - u C ) /(R 1 · C) – u C /(R 2 · C) di L /dt = u L /L = (u 1 + u 2 ) /L = u 1 /L + u 2 /L = (U 0 - u C ) /L + u C /L = U 0 /L Für jede Gleichung, welche eine Zustandsableitung definiert, sub- stituieren wir die Variabeln auf der rechten Seite ihrer Definitions- gleichungen, bis die Zustands- ableitungen nur noch von Zustands- variabeln und Eingangsgrössen abhängig sind.

Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Umwandlung in Zustandsform II x 1 = u C x 2 = i L u = U 0 y = u C Wir setzen: x 1 = - R 1 · C R 2 · C [ ] x1x1 R 1 · C u x 2 = 1 L u y = x 1

Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Ein Beispiel IV

Anfang Präsentation 20. Oktober, 2004 Referenzen Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 3.Continuous System ModelingChapter 3 Cellier, F.E. (2001), Matlab code of circuit example.Matlab code of circuit example