Planar Mechanical Systems In dieser Vorlesung werden planare mechanische (translatorische sowie rotatorische) Systeme behandelt. Die Ähnlichkeiten zwischen der mathematischen Beschreibungen solcher Systeme und derjenigen elektrischer Schaltkreise werden aufzeigen. Insbesondere wird gezeigt, dass die symbolischen Formel- manipulationsalgorithmen (Sortieralgorithmen), welche in der vorgängigen Vorlesung vorgestellt wurden, ohne jegliche Modifikation übernommen werden können. 20. Oktober, 2004

Inhaltsverzeichnis Lineare Komponenten der Verschiebung Lineare Komponenten der Rotation Das D’Alembert Prinzip Beispiel eines translatorischen Systems Horizontales Sortieren 20. Oktober, 2004

Lineare Komponenten der Verschiebung f 1 2 3 m·a = S (fi ) i Massen Reibungen Federn dv dt = a dx dt = v B f v 1 2 f = B·(v1 – v2 ) B f x 1 2 k f = k·(x1 – x2 ) 20. Oktober, 2004

Lineare Komponenten der Rotation J·a = S (ti ) i d dt = a d =  Trägheiten Reibungen Federn J  1 2  B  = B·(1 – 2 )  k  = k·( 1 – 2 ) 20. Oktober, 2004

Gelenke ohne Freiheitsgrad xa = x b = x c fa + f b + f c = 0 va = v b = v c aa = a b = a c x a b f c Knoten (Translation) Knoten (Rotation)  a b  c a =  b =  c a +  b +  c = 0 a =  b =  c aa = a b = a c 20. Oktober, 2004

Gelenke mit einem Freiheitsgrad x1  x2 y1 = y2 1 =  2 Prismatisch Zylindrisch Schere x 1 2  1 2 x1 = x2 y1 = y2 1   2  1 2 20. Oktober, 2004

Prinzip von D’Alembert Durch das Einführen einer Trägheitskraft: fm = - m·a kann das zweite Newton’sche Gesetz: m·a = S (fi ) i umgewandelt werden in ein Gesetz der Form: S (fi ) = 0 i 20. Oktober, 2004

Vorzeichenregeln d(m·v) fm = + dt fk = + k·(x – xNachbar ) fB = + B·(v – vNachbar ) x d(m·v) dt fm = - fk = - k·(x – xNachbar ) fB = - B·(v – vNachbar ) f m m f k f B 20. Oktober, 2004

1. Beispiel (translatorisch) Das System wird zwischen den einzelnen Massen auf-geschnitten, und es werden Schnittkräfte eingeführt. Das D’Alembert’sche Prinzip kann nun für jeden Körper einzeln formuliert werden. 20. Oktober, 2004

1. Beispiel fortgesetzt F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 20. Oktober, 2004

Horizontales Sortieren I F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2  20. Oktober, 2004

Horizontales Sortieren II F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2  20. Oktober, 2004

Horizontales Sortieren III F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2  20. Oktober, 2004

Horizontales Sortieren IV FI3 = F(t) - FBa - FBb FI2 = FBa - FBc - FB2 - Fk2 FI1 = FBb + FB2 - FBd - Fk1 = FI1 / m1 dv1 dt dx1 = v1 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2 = FI2 / m2 dv2 dx2 = v2 = FI3 / m3 dv3 dx3 = v3 F(t) = FI3 + FBa + FBb FBa = FI2 + FBc + FB2 + Fk2 FBb + FB2 = FI1 + FBd + Fk1 FI1 = m1· dv1 dt dx1 = v1 FI2 = m2· dv2 dx2 = v2 FI3 = m3· dv3 dx3 = v3 FBa = B1· (v3 – v2 ) FBb = B1· (v3 – v1 ) FBc = B1· v2 FBd = B1· v1 FB2 = B2· (v2 – v1 ) Fk1 = k1· x1 Fk2 = k2· x2  20. Oktober, 2004

Sortieralgorithmus Der Sortieralgorithmus funktioniert genau gleich wie bei den elektrischen Netzwerken. Er ist völlig unabhängig vom Anwendungs-gebiet. 20. Oktober, 2004

Referenzen Cellier, F.E. (1991), Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, Chapter 4. 20. Oktober, 2004