Betafunktion und optische Parameter Kapitel 9 Betafunktion und optische Parameter Rüdiger Schmidt (CERN) – Darmstadt TU - 2010, version 2.3

Was bisher geschah.... Fokussierung damit Teilchen nicht auseinanderlaufen und gegen die Vakuumkammer laufen Geometrische (schwache) Fokussierung nur in horizontaler Ebene - reicht nicht aus Daher: Fokussierung mit Quadrupolen (Linsen) Magnetische Quadrupole fokussieren nur in einer Ebene Zwei Quadrupole fuer Fokussierung in beiden Ebenen Beschreibung der Teilchenbewegung mit Transformationsmatrizen Differentialgleichung für Teilchenbewegung in einem Quadrupol – ähnliche Resultate wie beim harmonischer Oszillator F0D0 Zelle (QF, Drift, QD, Drift, QF)

Vor-und Nachteile der Bahnberechnung mit Matrizen Für jedes Teilchen lässt sich die Bahn mit Matrizen berechnen Diese Methode ist notwendig, und mit Hilfe von Computerprogrammen prinzipiell "relativ" einfach Für viele Fragenstellungen ist diese Methode zu komplex Was passiert, wenn ein Teilchen im Magneten 122 um einen Winkel von 0.01 mrad abgelenkt wird? Über die Bewegung eines Vielteilchensystems lässt sich nur wenig aussagen Daher wird ein neuer Formalismus eingeführt: Betatronfunktion und Betatronschwingung

Übersicht Differentialgleichung für die Teilchenbewegung II Betafunktion Betatronschwingung Phasenellipse und Twiss Parameter Strahlgrösse Berechnung der Betafunktion Arbeitspunkt Closed Orbit Dispersion Momentum Compaction

Differentialgleichung im Beschleuniger Es werden nur Quadrupolfelder betrachtet Das Quadrupolfeld in einer Ebene ist in der Regel stückweise konstant (entweder 0, oder konstant mit einem Wert k)

Differentialgleichung der Teilchenbewegung

Lösungsweg

Betafunktion und Betatronschwingungen Es ist noch keine Aussage gemacht worden, wie man Betatronfunktion und Betatronphase ausrechnet

Zur Illustration ein Beispiel: „kontinuierliches“ Quadrupolfeld

Betafunktion für die Teilchenbewegung im "kontinuierlichen" Quadrupolfeld (Bewegung nur in einer Ebene stabil!)

Vergleich mit dem harmonischen Oszillator x Bei gegebener Energie des Teilchens ist die maximale Auslenkung umgekehrt proportional zur Rückstellkraft (Federkonstante). Je grösser die Kraft, desto kleiner die Auslenkung F(x) x

Betafunktion und Betatronschwingungen

Phasenellipse – allgemeiner Fall x’ x

Phasenellipse – im Zentrum eines Quadrupols oder im Fokus x’ x

Betatronschwingungen für viele Teilchen Eigenschaft der Teilchen Eigenschaft des Beschleunigers Eigenschaft der Teilchen Maximale Amplitude eines Teilchens an einer Position s

Betatronschwingungen für viele Teilchen Strahlgrösse an der Position s: Die Strahlemittanzen x und z sind statistische Grössen Bild aus K.Wille

Beispiel für Teilchenverteilung im Strahl

Optische Funktionen entlang einer Zelle QD B2 B2 B1 B1 QF B1 B1 B2 B2 QD von E.Wilson, Vorlesung 2001

Beispiel: Low Beta Insertion (z.B. für hohe Luminosität im Collider) Beta-Funktion Gespiegelte Beta-Funktion Quadrupol Fokus Quadrupol

Layout of insertion for ATLAS and CMS Hier ist der Querschnitt eines LHC Dipolmagneten schematisch dargestellt. Sie sehen die beiden Strahlroehren mit der Richtung des Ablenkfeldes, einaml nach unten und einmal nach oben. Um die Stromkabel sind Metallklammern angebracht, um die Kraefte aufzunehmen. Ausserhalb dieser Klammern sehen Sie einen Eisenzylinder, in dem die Feldlinien verlaufen.

Crossing angle for multibunch operation Focusing quadrupole for beam 1, defocusing for beam 2 High gradient quadrupole magnets with large aperture (US-JAPAN) Total crossing angle of 300 mrad Beam size at IP 16 mm, in arcs about 1 mm

LHC IR5 insertion

LHC IR5 insertion

TI8 3 km lange Transferlinie zwischen SPS und LHC

TI 8: Beam spot at end of line

Strahlprofil im LEP Beschleuniger - Synchrotronlicht

Gemessenes Strahlprofil im LHC Beschleuniger –Beam 2

Gemessenes Strahlprofil im LHC Beschleuniger –Beam 1

Arbeitspunkt Der Q-Wert gibt die Anzahl der Schwingungen der Teilchen pro Umlauf an Die Q-Werte für die Bewegung in der horizontalen Ebene und in der vertikalen Ebene sind im allgemeinen unterschiedlich Durch eine leichte Änderung der Quadrupolstärken ändern sich die Q-Werte Der Q-Wert ändet sich mit der Energie der Teilchen - für Teilchen mit grösserer Energie ist der Q - Wert kleiner, da die Fokussierung schwächer ist

Arbeitspunkt – LHC bei 3.5 TeV

Quadrupolaufstellfehler und Teilchenbahnen Idealbahn gestörte Bahn fehlaufgestellter Quadrupolmagnet und Einfluss auf die Teilchenbahn

Teilchenschwingungen und ’closed orbit’ Kick und Betatronschwingungen Idealbahn Ringbeschleuniger Magnetfehler und closed orbit Idealbahn Ringbeschleuniger

Transformationsmatrix für Teilchenkoordinaten

Berechnung des closed orbit ( = 0)

Closed Orbit für einen Ringbeschleuniger Wenn an einer Stelle des Beschleunigers der Strahl zusätzlich abgelenkt wird, und der Ablenkwinkel: ist der closed orbit:

Horizontaler und vertikaler Orbit bei LHC

Orbit Swiss Light Source, PSI

Einfluss der Impulsabweichung: Dispersion Verschiedene Teilchen haben einen unterschiedlichen Impuls. Die Impulsabweichung liegen im allgemeinen bei 10-4 – 10-2 vom Sollipuls.

Differentialgleichung für die Dispersion

Lösung der Dispersionsbahn Die Lösung für die Dispersion ergibt sich aus drei Termen: Im Unterschied zur Betatronmatrix ergibt sich eine Dispersion, wenn ein Teilchen ohne Dispersion und Dispersionsableitung in einen Ablenkmagneten läuft

Matrix für die Dispersion Um die Dispersionbahn mit einer Matrix zu beschreiben, sind 3 Terme notwendig:

Dispersionsbahn in einem Ablenkmagneten x0 = 0 x’0 = 0 x1 = 2.91 mm x’1 = 3.83 mrad Beispiel für einen Ablenkmagneten mit einer Länge von 1.5 m und einem Ablenkradius von  = 3.82 m

Dispersionsfunktion am LHC bei 1.18 TeV, Strahl 1

Bahnverlängerung – Momentum Compaction Ein Teilchen mit Impulsabweichung läuft auf einer anderen Bahn um, deren Länge im allgemeinen unterschiedlich von der Länge der Sollbahn ist. Der momentum compaction factor wird als relative Längenänderung für Teilchen mit Impulsabweichung definiert:  Es lässt sich zeigen, dass für den momentum compaction factor gilt: Die Bahnlänge für eine Teilchen mit Impulsabweichung ist :

Transformation der Betatronfunktion

Transformation der Betafunktion durch eine Driftstrecke

Betatronfunktion für Kreisbeschleuniger

Berechnung der optischen Funktionen

Zusammenfassung: Lösungsweg Differentialgleichung für die Teilchenbahn Ansatz von neuen Funktionen, der Betafunktion und der Phase Ein Teilchen macht harmonische Schwingungen in einem neuen Koordinatensystem Man kann die Betamatrix mit Hilfe der bekannten Übertragunsmatrizen transformieren, dadurch kann man die Betamatrix um den ganzen Kreisbeschleuniger transformieren Man berücksichtigt die Periodizitätsbedingung nach einem Umlauf Damit kann man die Betafunktion errechnen