Zweiniveausystem verschränkte Zustände, EPR-Paradoxon WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 11. Vorlesung Zweiniveausystem verschränkte Zustände, EPR-Paradoxon

Stern-Gerlach-Experiment Wenn sich ein Strahl von Elektronen (Silberatomen) durch ein inhomogenes Magnetfeld bewegt, spaltet der Strahl in zwei Teilstrahlen auf Das Experiment kann so erklärt werden, dass das Elektron einen Eigendrehimpuls besitzt, der die Werte annehmen kann

Zweiniveausystem Es gibt eine Vielzahl von Systemen, z.B. Elektronen oder Photonen, die man (näherungsweise) durch zwei Niveaus beschreiben kann Elektronspin: Spin zeigt nach oben oder unten Photonen: Horizontale oder vertikale Polarisation i.F. benutzen wir die Sprechweise „spin up“ and „spin down“

Zweiniveausystem : Wellenfunktion Wellenfunktion für „spin up“ und „spin down“ Allgemeine Form der Wellenfunktion, die normiert ist Normierung der Wellenfunktion

Zweiniveausystem : Wellenfunktion Wellenfunktion für „spin up“ und „spin down“ Allgemeine Form der Wellenfunktion, die normiert ist Wellenfunktion für „spin left“ und „spin right“

Zweiniveausystem : Blochkugel Alle Wellenfunktionen können auf der sogenannten Blochkugel dargestellt werden

Wie misst man Elektronenspin ? Ein Stern-Gerlach-Apparat, der den Elektronenspin in z-Richtung misst, wird durch folgenden Operator beschrieben „spin up“ und „spin down“ sind Eigenzustände dieses Messoperators

Wie misst man Elektronenspin ? Ein Stern-Gerlach-Apparat, der den Elektronenspin in x-Richtung misst, wird durch folgenden Operator beschrieben „spin right“ und „spin left“ sind Eigenzustände dieses Messoperators

Wie misst man Elektronenspin ? Was passiert, wenn man Elektronenspin in der „falschen“ Basis misst ? „spin right“ ist kein Eigenzustand von Stern-Gerlach-Experiment in z-Basis !!! John von Neumann hat 1932 eine Vorschrift gegeben, wie man in diesem Fall vorgehen muss

von Neumannsches Messpostulat Jedem Messapparat entspricht ein hermitescher Operator : (1) die Eigenenwerte dieses Operators sind immer reell (2) die Eigenfunktionen sind vollständig Ein Stern-Gerlach-Experiment in der z-Basis kann nur die Ergebnisse „spin up“ und „spin down“ liefern Die Betragsquadrat die Entwicklungskoeffizienten „spin up“ und „spin down“ liefern die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der zugehörige Eigenwert gemessen wird Im obigen Beispiel wird „spin up“ und „spin down“ mit jeweils 50% - iger Wahrscheinlichkeit gemessen

Messprozess : Zweiniveausystem Quantenmechanik gibt nur Wahrscheinlichkeit für bestimmte Messung Messung in z – Basis Messung Ergebnis +1 mit Wahrscheinlichkeit 50% Ergebnis -1 mit Wahrscheinlichkeit 50%

Messprozess : Heisenbergsche Unschärferelation Kann man gleichzeitig x- und z-Komponente von Spin bestimmen ? Spielt die Messreihenfolge eine Rolle ? Die beiden Messoperatoren vertauschen nicht ! Entsprechend der Heisenbergschen Unschärferelation gilt x- und z-Komponente von Spin können nicht gleichzeitig genau bestimmt werden !!!

Albert Einstein (1875 – 1955) „Gott würfelt nicht …“

Verborgene Parameter l Was ist, wenn das Ergebnis einer quantenmechanischen Messung gar nicht zufällig is t? Wenn „verborgene Parameter“ existieren, die das Ergebnis vorausbestimmen ? Weil wir l nicht kennen (vielleicht überhaupt nicht kennen können), sieht es so aus, als ob Ergebnis der Messung zufällig ist. In Wirklichkeit ist Ergebnis durch Wert von l vorbestimmt. Kann man irgendwie nachprüfen, ob es solcehe verborgenen Parameter tatsächlich gibt?

EPR Paradoxon Einstein, Podolsky und Rosen entwickelten folgendes Paradoxon, das die Quantenmechanik widerlegen soll Nehmen wir an, dass folgender Zustand von zwei Teilchen erzeugt werden kann Dieser Zustand wird als „verschränkt“ bezeichnet. Für ihn gilt: Es ist der Zustand von zwei Teilchen Er besitzt den Gesamtspin Null Der Spin der Teilchen a und b ist vollkommen unbestimmt Teilchen a und b haben stets antiparallele Spins

EPR Paradoxon Einstein, Podolsky und Rosen entwickelten folgendes Paradoxon, das die Quantenmechanik widerlegen soll Nehmen wir an, dass folgender Zustand von zwei Teilchen erzeugt werden kann Der Zustand ist auch in der x-Basis verschränkt !!!

EPR Paradoxon Wenn Alice und Bob die z-Komponenten messen sind sie immer antikorreliert. Wenn Alice und Bob die x-Komponenten messen sind sie immer antikorreliert. Bob Alice Teilchen b Teilchen a

Quantenmechanik ist unvollständig !? EPR Paradoxon Wenn Alice und Bob die z-Komponenten messen sind sie immer antikorreliert. Wenn Alice und Bob die x-Komponenten messen sind sie immer antikorreliert. Bob Alice Teilchen b Teilchen a Messung von sz an Teilchen a Teilchen b muss entgegengesetzten Spin besitzen Messung von sx an Teilchen b Teilchen a muss entgegengesetzten Spin besitzen x- und z-Komponente des Spins eines Teilchens können gleichzeitig bestimmt werden ( widerspricht Heisenbergscher Unschärferelation ) Quantenmechanik ist unvollständig !?

EPR Paradoxon Nils Bohr: Messung reduziert Wellenfkt. !!! Bohr widersprach Einstein und meinte, dass es durch die Messung des Spins zu einem Kollaps der Wellenfunktion kommt Bob Alice Q: Informationsübertragung mit Überlichtgeschwindigkeit !? Nils Bohr: Messung reduziert Wellenfkt. !!! A: Nein, es wird keine Information übertragen ! ( Ergebnis des Experiments zufällig ) „ … spooky action at a distance“

Verborgene Variablen versus Kollaps der Wellenfunktion Q: Kann man entscheiden, welches der beiden Modelle richtig ist ?

John Bell, 1964: „Wenn es verborgene Variablen gäbe, so hätte dies messbare Konsequenzen !“

Bellsche Ungleichung Nehmen wir zuerst an, dass die Theorie der verborgenen Variablen richtig ist. Wir können dann eine Korrelationsfunktion definieren P( l ) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die verborgenen Variablen … l l Bob Alice Teilchen b Teilchen a Für E gelten allgemein folgende Schranken

Bellsche Ungleichung Bell konnte folgendendes zeigen : In einer lokalen – verborgenen – Variablentheorie gilt für die Größe die Ungleichung Diese Ungleichung kann in der Quantenmechanik verletzt werden !!!

Bellsche Ungleichung Bell konnte folgendendes zeigen : In einer lokalen – verborgenen – Variablentheorie gilt für die Größe die Ungleichung Beweis : q.e.d.

Bellsche Ungleichung Nun untersuchen wir dieselbe Messabfolge in der Quantenmechanik Quantenmechanik Operator für Messung in z – Basis Operator für Messung in q – Basis

Bellsche Ungleichung Nehmen wir an, dass zuerst Alice den Zustand in der qa – Basis misst Quantenmechanik Verschränkter Zustand Was passiert bei Messung in qa und qb Basis ? Eigenwert und Eigenzustand

Bellsche Ungleichung : Messung Zuerst misst Alice … Messung von Alice Wellenfunktion von Bob Messung liefert entweder +1 oder -1 (mit jeweils 50% Wahrscheinlichkeit) Entwicklung der Zustände nach Eigenzuständen von Bob‘s Messapparat

Bellsche Ungleichung : Messung Zuerst misst Alice und dann Bob Messung von Alice Wellenfunktion von Bob Entwicklung der Zustände nach Eigenzuständen von Bob‘s Messapparat

Bellsche Ungleichung : Messung Wahrscheinlichkeit für unterschiedliche Messabfolgen Wahrscheinlichkeit für Messergebnisse

Bellsche Ungleichung : Korrelationsfunktion Wir können nun dieselbe Korrelationsfunktion wie bei der Theorie der verborgenen Variablen berechnen Bellsche Ungleichungen sind verletzt !!! Wahrscheinlichkeit für Messergebnisse

Bellsche Ungleichung : Experiment Bell hat somit ein Experiment vorgeschlagen, mit dem man überprüfen kann, ob die Theorie der verborgenen Variablen oder die Quantenmechanik richtig ist Bob Alice Teilchen b Teilchen a Experimenteller Aufbau A. Aspect et al., Experimental Tests of Realistic Local Theories via Bell's Theorem, Phys. Rev. Lett. 47, 460 (1981).

Bellsche Ungleichung : Experiment Verschränkte Photonen können durch nichtlineare Prozesse (parametric down con- version) erzeugt werden Zeilinger Gruppe

Bellsche Ungleichung : Experiment M. A. Rowe et al., Experimental violation of a Bell's inequality with efficient detection, Nature 409, 791 (2001). S Vorhersage der Quantenmechanik richtig … keine lokalen verborgenen Parameter !!!

EPR Paradoxon : Konsequenzen Die Messung an einem Teil einer verschränkten Wellenfunktion, hat zu demselben Zeitpunkt (!?) einen Einfluß auf die Wellenfunktion an einer anderen Stelle des Universums !!!