Der Goldene Schnitt Ein Vortrag von Christine Reiber am 04.12.2006 Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007

Altes Rathaus in Leipzig Raffael „Sixtinische Madonna“ Da Vinci „Mona Lisa“

Der Goldene Schnitt Gliederung des Vortrags Einführung Definition 04.12.2006 Gliederung des Vortrags Einführung Definition Historisches Konstruktion Fraktale 5.1. Der Goldene Baum 5.2. Goldenes Dreiecksfraktal und Goldenes Quadratfraktal 5.3. Dimension des Fraktals Regelmäßiges Fünfeck 6.1. Konstruktion 6.2. Goldenes Dreieck 6.3. Goldener Schnitt im regelmäßigen Fünfeck 6.4. Falten Fibonacci-Zahlen 7.1. Linearisierung von Potenzen des Goldenen Schnittes 7.2. Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt 8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen 8.1. Architektur 8.2. Kunst 8.3. Körper des Menschen 8.4. Natur 9. Der Goldene Schnitt in der Schule Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

• Der Goldene Schnitt 2. Definition A C x y B 1 04.12.2006 2. Definition „Eine Strecke sei im Verhältnis des Goldenen Schnittes geteilt, wenn sich die beiden Teilstücke zueinander verhalten wie das längere Teilstück zur ganzen Strecke.“ • A C x y B 1 Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

Der Goldene Schnitt 2. Definition 04.12.2006 2. Definition spiegelt das Verhältnis kleinere/größere Seite (y/x) wider Der Kehrwert bestimmt das Verhältnis größere/kleinere Strecke (x/y) Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

• Der Goldene Schnitt 2. Definition A C x y B 1 ; ; Zur Wiederholung: 04.12.2006 2. Definition • A C x y B 1 y=1: ; Zur Wiederholung: x+y=1: ; Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

Der Goldene Schnitt 2. Definition 04.12.2006 2. Definition und sind die wichtigen Größen beim Goldenen Schnitt. Es handelt sich dabei um irrationale Zahlen. Der Goldene Schnitt ist eine Stetige Teilung, d.h. er ist beliebig oft wiederholbar Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

Der Goldene Schnitt 3. Historisches 04.12.2006 3. Historisches Um 450 v. Chr.: Hippasos von Metapont (Mitglied des Pythagoreer-Bundes)  Untersuchungen am regelmäßigen Fünfeck: Verhältnis Kantenlänge zu Diagonale nicht als Quotient von ganzen Zahlen darstellbar Erste genaue Beschreibung des Goldenen Schnittes durch Euklid (ca. 340 v. Chr.): „proportio habens medium et duo extrema“ Teilung im inneren und äußeren Verhältnis Euklid (365-300 v.Chr.) Ca. 1509: Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro: „De Divina Proportione“ – Göttliche Teilung/Göttliche Proportion Luca Pacioli (1445-1514) Martin Ohm führt 1835 den Begriff „Goldener Schnitt“ ein Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

Der Goldene Schnitt 4. Konstruktion T ? P • Q s 04.12.2006 4. Konstruktion T ? P • Q s x y gesucht: Teilpunkt T, der im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilt Gleichung: quadratische Ergänzung: Konstruktion mit Hilfe des Satz des Pythagoras Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

Der Goldene Schnitt 4. Konstruktion Um und ablesen zu können: 04.12.2006 4. Konstruktion Um und ablesen zu können: Für s=1 und s/2=1/2 ergibt die Hypotenuse Addieren bzw. Subtrahieren des Kreisradius: und Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

Der Goldene Schnitt 5. Fraktale Zur Wiederholung: 04.12.2006 5. Fraktale Zur Wiederholung: Fraktale sind Figuren, die Selbstähnlichkeiten aufweisen, das heißt bei denen Teilfiguren eine verkleinerte Kopie der Gesamtfigur sind. 5.1. Der Goldene Baum Haupteigenschaft vom Baumfraktal: Verzweigung Baumfraktal mit Stammlänge 1 und Verkleinerungsfaktor f=1/2 a) Ausgangslage; b) Fraktal Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

Der Goldene Schnitt 5. Fraktale 5.1. Der Goldene Baum 04.12.2006 5. Fraktale 5.1. Der Goldene Baum Verkleinerungsfaktor so wählen, dass keine Zwischenräume offen bleiben, aber Äste sich nicht überlappen -> positive Lösung: Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

Der Goldene Schnitt 5. Fraktale 5.1. Der Goldene Baum 04.12.2006 5. Fraktale 5.1. Der Goldene Baum Der Goldene Baum mit dem Verkleinerungsfaktor f=ρ Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

Der Goldene Schnitt 5. Fraktale 04.12.2006 5. Fraktale 5.2. Goldenes Dreiecksfraktal und Goldenes Quadratfraktal Goldenes Dreiecksfraktal mit f=ρ Goldenes Quadratfraktal mit f=ρ Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

Der Goldene Schnitt 5. Fraktale 5.3. Dimension des Fraktals 04.12.2006 5. Fraktale 5.3. Dimension des Fraktals Halbieren der Seitenlänge führt zu Teilquadraten  Bei einem Würfel dann Teilwürfel Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

Der Goldene Schnitt 5. Fraktale 5.3. Dimension des Fraktals 04.12.2006 5. Fraktale 5.3. Dimension des Fraktals Dimension des Goldenen Baumes: Verkleinerungsfaktor:  Dimension ist irrational Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

Der Goldene Schnitt 6. Regelmäßiges Fünfeck 6.1. Konstruktion 04.12.2006 6. Regelmäßiges Fünfeck 6.1. Konstruktion 6.2. Goldenes Dreieck Spitzes Goldenes Dreieck mit den Basiswinkeln 72° und dem Spitzenwinkel 36° Winkelhalbierende eines Basiswinkels trennt vom ganzen Dreieck ABC ein dazu ähnliches Dreieck DAB ab Restdreieck BCD: Stumpfes Goldenes Dreieck Setzt man a=1, ergibt sich durch Ähnlichkeit von ABC und DAB: Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

Der Goldene Schnitt 6. Regelmäßiges Fünfeck 04.12.2006 6. Regelmäßiges Fünfeck 6.3. Goldener Schnitt im regelmäßigen Fünfeck Regelmäßiges Fünfeck – zusammengesetzt aus einem spitzen und zwei stumpfen Goldenen Dreiecken Seiten und Diagonalen stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

Der Goldene Schnitt 6. Regelmäßiges Fünfeck 04.12.2006 6. Regelmäßiges Fünfeck 6.3. Goldener Schnitt im regelmäßigen Fünfeck Außerdem gilt: Zwei Diagonalen, die sich nicht in einer Ecke des Fünfecks schneiden, teilen einander im Goldenen Schnitt. Für den Beweis benötigen wir folgende Merkmale eines regelmäßigen Fünfecks: Die Größe jedes Innenwinkels ist 108° Alle Diagonalen haben dieselbe Länge Jede Seite ist parallel zu der ihr „gegenüberliegenden“ Diagonalen Q ist Schnittpunkt der Diagonalen und Strahlensatz: Mit und : Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

Der Goldene Schnitt 6. Regelmäßiges Fünfeck 04.12.2006 6. Regelmäßiges Fünfeck 6.3. Goldener Schnitt im regelmäßigen Fünfeck Bleibt zu zeigen, dass gilt: zeigen, dass ein Parallelogramm ist Merkmal c): Seite und „gegenüberliegende“ Diagonale sind paralell Parallelogramm und es gilt: Somit folgt: Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

Der Goldene Schnitt 7. Fibonacci-Zahlen 04.12.2006 7. Fibonacci-Zahlen 7.1. Linearisierung von Potenzen des Goldenen Schnittes Heranmultiplizieren von : Allgemein folgt durch Multiplizieren mit : Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

Der Goldene Schnitt 7. Fibonacci-Zahlen 04.12.2006 7. Fibonacci-Zahlen 7.1. Linearisierung von Potenzen des Goldenen Schnittes sind die Fibonacci-Zahlen, für sie gilt: mit und Analog: Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

Der Goldene Schnitt 7. Fibonacci-Zahlen 04.12.2006 7. Fibonacci-Zahlen 7.2. Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt Mit Hilfe der Linearisierungsformeln können wir eine explizite Darstellung der Fibonacci-Folge bestimmen: Mit :  Formel von Binet Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

Der Goldene Schnitt 7. Fibonacci-Zahlen 04.12.2006 7. Fibonacci-Zahlen 7.2. Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt Mit und somit und für : Goldener Schnitt kann durch den Quotienten zweier aufeinanderfolgenden Fibonacci- Zahlen angenähert werden Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

Der Goldene Schnitt 8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen 04.12.2006 8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen 8.1. Architektur Altes Rathaus in Leipzig Turm teilt die Vorderfront des Rathauses im Goldenen Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

Der Goldene Schnitt 8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen 04.12.2006 8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen 8.2. Kunst Raffaels „Sixtinische Madonna“ Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

Der Goldene Schnitt 8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen 04.12.2006 8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen 8.2. Kunst Leonardo da Vincis „Mona Lisa“ Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

Der Goldene Schnitt 8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen 04.12.2006 8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen 8.3. Körper des Menschen Leonardo da Vinci: Ästhetische Proportionen des Menschen, z.B. teilt der Nabel den Menschen im goldenen Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

Der Goldene Schnitt 8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen 04.12.2006 8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen 8.4. Natur Sonnenblume Blütenstand nach dem Goldenen Schnitt angeordnet → optimale Nutzung der Sonnenstrahlen Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber

Der Goldene Schnitt 9. Der Goldene Schnitt in der Schule 04.12.2006 9. Der Goldene Schnitt in der Schule In der 9. Klasse als „Mathematische Exkursion“ (Lambacher Schweizer) Im Lehrplan der 9.Klasse: Reelle Zahlen (irrationale Zahlen) Satz des Pythagoras Strahlensätze Quadratische Gleichungen Ähnliche Figuren Verschiedene Themen des Lehrplans werden im „Goldenen Schnitt“ verarbeitet Anschauliche Verwendung der gelernten Theorie Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber