Kapitel 10 Multikollinearität Exakte Multikollinearität Beinahe Multikollinearität

Exakte Multikollinearität Unser Modell lautet y = Xb + u, Dimension von X: n x k Annahme : rg(X) = k Wenn sich eine oder mehrere Spalte von X als Linearkombinationen anderer Spalten darstellen lassen („Rangabfall“) spricht man von exakter oder perfekter Multkollinearität. Es gilt dann: rg(X) < k bzw. rg(X‘X) < k Der OLS Schätzer b = (X‘X)-1X‘y kann nicht berechnet werde, da die Inverse von (X‘X) nicht existiert. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (10)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (10) Exkurs: Matrizen Sei A eine quadratische Matrix k x k. Folgende Aussagen sind äquivalent: rg(A) = k V A hat vollen Rang V A ist regulär V det(A) ≠ 0 V A-1 existiert V alle Eigenwerte von A λ(A) ≠ 0 oder rg(A) < k V A hat nicht vollen Rang k V A ist singulär V det(A) = 0 V A-1 existiert nicht V ein Eigenwert von A ist null Hackl, Einführung in die Ökonometrie (10)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (10) Bsp. 1: Konsumfunktion C = b0 + b1 Ya + b2 Ye + b3 Yt + u C: Privater Konsum Ya: Einkommen aus unselbständiger Erwerbstätigkeit Ye: Einkommen aus Besitz und Unternehmung Yt: gesamtes Einkommen (Yt =Ye + Ya) Die Matrix der unabhängigen Variablen X hat die Dimension (n x 4), aber rg(X) = rg(X‘X) = 3. Yt , Yt =Ye + Ya, läßt sich als Linearkombination der anderen Variablen darstellen. Man sagt auch: Der Parameter b3 ist nicht identifiziert. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (10)

Bsp. 2: Nicht identifizierte Parameter C = a + b1 Ya + b2 Ye + u Ang. ist liegt lineare Abhängigkeit vor: Ye = c Ya Das Modell reduziert sich daher zu C = a + (b1 + cb2 )Ya + u = a + g Ya + u OLS-Schätzer für g = b1 + cb2 kann problemlos berechnet werden, nicht aber für b1 und b2. Man sagt: g ist identifiziert, b1 und b2 sind nicht identifiziert. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (10)

Numerisches Bsp zur exakten Multikollinearität In der folgenden X Matrix sind 2 Spalten identisch. Es wurde irrtümlich eine x-Variable zweimal in die Regression aufgenommen. rg(X‘X) = 2 < 3 det(X‘X) = 0 Die Inverse (X‘X)-1 kann nicht berechnet werden. Die Korrelation zwischen 2-ter und 3-ter Spalte von X ist 1! Das OLS Problem ist nicht lösbar. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (10)

Beinahe Multikollinearität Unser Modell lautet y = Xb + u, Dimension von X: n x k Die Annahme rg(X) = k ist erfüllt aber: Eine oder mehrere Spalten von X können sich beinahe exakt als Linearkombinationen anderer Spalten darstellen lassen. det(X‘X) ~ 0 … Die Determinante ist beinahe null. Einige Regressoren korrelieren sehr hoch. Fragestellungen: Welche Konsequenzen hat beinahe Multikollinearität? Möglichkeiten zur Identifikation von Multikollinearität Verhinderung von Multikollinearität Hackl, Einführung in die Ökonometrie (10)

Bsp. beinahe Multikollinearität (1) Die Datenmatrix X wird nur geringfügig abgeändert. Die Inverse von (X‘X) existiert nun, weist aber sehr große Werte auf. (2) Die Datenmatrix X wird deutlich abgeändert. Die Elemente der Inversen von (X‘X) sind freundlich. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (10)

Beinahe Multikollinearität und t-Statistik Die t-Statistik zum OLS Schätzer von bi im Modell y = Xb + u ist Der t-Wert zum i-ten Koeffizient ist der geschätzte Wert dividiert durch seinen Standardfehler. Der Standardfehler errechnet sich aus dem i-ten Hauptdiagonalelement der Matrix (X‘X)-1. s2 ist die geschätzte Fehlervarianz. Je größer das Hauptdiagonalelement, desto kleiner der t-Wert. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (10)

Hoch korrelierte Regressoren, beinahe Multikollinearität Ordnung von X: n x k X‘X ist eine nahezu singuläre Matrix Invertieren von X‘X liefert sehr große Werte Wegen Var{bt} = s2 (Xt’Xt)-1 sind die Standardabweichungen der Schätzer sehr gross Die t-Werte sind klein, die Macht der t-Tests ist reduziert Unter der Annahme, dass unser Modell korrekt spezifiziert ist, bedeuten die zu niedrigen t-Werte, dass im geschätzten Modell eine Variable als nicht signifikant ausgewiesen wird, obwohl sie es sein sollte. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (10)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (10) Konsumfunktion für 1980-2009 Datensatz DatS01 (Konsum und Einkommen) C = b0 + b1 YDR + b2 MP + b3 t + u C: Privater Konsum YDR: verfügbares Einkommen der Haushalte MP: privates Geldvermögen t : Zeit (linearer Trend) Hackl, Einführung in die Ökonometrie (10)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (10) Konsumfunktion, Forts. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (10)

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (10) Konsumfunktion, Forts. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (10)

Ursachen von Multikollinearität Häufige Ursachen für beinahe Multikollinearität sind - gemeinsame Trends, oder - zu viele erklärende Variable, die fast dasselbe messen. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (10)

Eigenschaften der Schätzer unter Multikollinearität Unter der Ann das wahre Modell ist y = Xb + u, gilt mit b = (X’X)-1X’y : E(b) = b und Var{b} = s2 (X’X)-1 unter den üblichen Eigenschaften des Fehlers u. b ist der beste erwartungstreue Schätzer. In kleinen Stichproben ist allerdings die Matrix (X‘X)-1 schlecht konditioniert, d.h. sie kann sehr große Werte aufweisen. Somit können sehr große Standardfehler (Insignifikanzen beim t-Test) auftreten, obwohl alle Variable im Modell eingeschlossen sein sollten. Das Problem schwächt sich mit zunehmendem Stichprobenumfang ab. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (10)

Ein Maß für Multikollinearität Ri2 ist das Bestimmtheitsmaß der Regression der Variablen Xi als abhängige Variable auf alle Spalten von X ohne der Variablen Xi („Hilfsregression“) Ri2 ≈ 1: Xi ist gut durch eine lineare Funktion der anderen erklärenden Variablen darstellbar. Xi wird zur Erklärung nicht benötigt. Ri2 << 1: Xi ist nicht gut durch eine lineare Funktion der anderen erklärenden Variablen darstellbar. Xi enthält neue Info. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (10)

Indikatoren für Multikollinearität Bestimmtheitsmaße Ri2 der Hilfsregressionen VIFi (variance inflation factors) Determinante der Matrix der Korrelationskoeffizienten der Regressoren (ein Wert nahe bei Null zeigt Multikollinearität an) Konditionszahl (condition number) k von X‘X: lmax (lmin) ist maximaler (minimaler) Eigenwert von X‘X; ein großer Wert (>20) von k ist Hinweis auf Multikollinearität Hackl, Einführung in die Ökonometrie (10)

Indikatoren für Multikollinearität Effekt des Hinzufügens eines Regressors auf se(bi): Der Regressor ist relevant: se(bi) wird kleiner; Er ist multikollinear: se(bi) wird größer Hackl, Einführung in die Ökonometrie (10) 18

Hackl, Einführung in die Ökonometrie (10) Die Größen VIFi und Ri2 variance inflation factor von bi VIFi ≈ 1: Ri2 ≈ 0, Corr{Xi,Xj} ≈ 0 für alle i ≠ j; Es liegt sicher kein Problem mit Multikollinearität vor. VIFi sehr groß für mindestens ein i: Ri2 ≈ 1 Xi ist lineare Funktion der Spalten von X ohne Xi. Es liegt möglicherweise Multikollinearität vor. REGEL: Ist VIFi > 9 so ist mit Multikollinearität durch die Variable Xi in Stichproben mit Umfang n=50 zu rechnen. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (10)

Maßnahmen bei Multikollinearität Vergrößern der in die Schätzung einbezogenen Datenmenge Eliminieren der für Multikollinearität verantwortlichen Regressoren Bei gemeinsamen Trends: Spezifikation des Modells in Differenzen statt in Niveauwerten Berücksichtigen von Information über Struktur der Parameter Siehe das Simulationsbeispiel zur Ermittlung der Verteilung der geschätzten Parameter in kleinen Stichproben unter Multikollinearität. (multicoll.prg) Hackl, Einführung in die Ökonometrie (10)