Anfang Präsentation 22. Dezember, 2004 Konvektive Massenflüsse I In der heutigen Vorlesung wollen wir uns dem Problem der konvektiven Massenflüsse zuwenden. Die irreversible Thermodynamik befasst sich mit rein thermischen Phänomenen sowie der Umwandlung von freier Energie in Wärme. Bei der reversiblen Thermodynamik ist die Situation dadurch kompliziert, dass sie häufig Massentransporte neben Energietransporten beschreibt.

Anfang Präsentation 22. Dezember, 2004 Übersicht Massenflüsse und EntropieflüsseMassenflüsse und Entropieflüsse Bewegte Flüssigkeit in einem RohrBewegte Flüssigkeit in einem Rohr Die WellengleichungDie Wellengleichung Der erzwungene FlussDer erzwungene Fluss Die TurbineDie Turbine Kompressoren und PumpenKompressoren und Pumpen Der WärmeflussDer Wärmefluss Materialtransportverluste

Anfang Präsentation 22. Dezember, 2004 Massenflüsse und Entropieflüsse Es gibt zwar Phänomene, die rein thermisch ablaufen. Es gibt aber keine Massenflüsse, die in Reinkultur ablaufen. Das Problem liegt daran, dass Massenflüsse immer auch ihr Volumen und ihre gespeicherte Wärme mittragen. Diese Grössen kann man daher nicht voneinander unabhängig betrachten. Die Wasserkreisläufe beim Biosphere II Projekt eignen sich gut als Beispiel. Die thermischen Phänomene des Wasserkreislaufs lassen sich ohne Berücksichtigung der Massenflüsse (oder zumindest der Volumenflüsse) nicht richtig beschreiben.

Anfang Präsentation 22. Dezember, 2004 Bewegte Flüssigkeit in einem Rohr I Wir wollen damit anfangen, das Fliessen von Flüssigkeiten oder Gasen in einer Leitung zu modellieren. Die Leitung kann in Segmente der Länge x geschnitten werden. Wenn mehr Flüssigkeit in ein Segment ein- als ausströmt, muss offensichtlich der Druck der Flüssigkeit im Segment steigen. Die Flüssigkeit wird komprimiert. q ein q aus p dp dt = c · ( q ein – q aus ) p q C : 1/c

Anfang Präsentation 22. Dezember, 2004 Bewegte Flüssigkeit in einem Rohr II Wenn der Druck am Eingang des Segments höher ist als am Ausgang, muss sich die Flüssigkeit beschleunigen. Dies rührt daher, dass Druck proportional ist zu Kraft, und Volumen proportional ist zu Masse. Somit ist dies ein induktives Phänomen. Es beschreibt die Trägheit der bewegten Masse. p ein p aus q dq dt = k · ( p ein – p aus ) I : 1/k q p

Anfang Präsentation 22. Dezember, 2004 Bewegte Flüssigkeit in einem Rohr III Somit lässt sich folgender Bondgraph ansetzen: C I CCC II q i-1 qiqi q i pipi p i+1 p i

Anfang Präsentation 22. Dezember, 2004 Kapazitäten und Induktivitäten Obwohl es sich bei der hydraulischen/pneumatischen Induktivität um das gleiche physikalische Phänomen handelt wie in der Mechanik, sind die Masseinheiten dennoch unterschiedlich. dp dt q = C · [C] = [ q] / [dp/dt] = m 3 ·s -1 N·m -2 ·s -1 = m 4 ·s 2 ·kg -1 dq dt p = L · [L] = [ p] / [dq/dt] = m 3 ·s -2 N·m -2 = kg·m -4 [ L·C ] = s ist immer noch eine Zeitkonstante

Anfang Präsentation 22. Dezember, 2004 Die Wellengleichung I Jedes Physikbuch verrät uns, dass die bewegte Flüssigkeit in einem Rohr der Wellengleichung genügt. Diskretisierung im Raum führt zu: 2 p t 2 = c 2 · 2 p x 2 d 2 p k d t 2 = · ( p k+1 – 2 · p k + p k-1 ) c 2 x 2 d 2 p k d t 2 = p k+1 – 2 · p k + p k-1 c x ( ) 2 ·

Anfang Präsentation 22. Dezember, 2004 Die Wellengleichung II Es bietet sich folgendes Ersatzschaltbild an: C iCiC L i L1 v i-1 v i L i L2 v i+1 v 0 = 0 dv i /dt = i C /C i C = i L1 – i L2 v i-1 – v i = L· di L1 /dt v i – v i+1 = L· di L2 /dt C·d 2 v i /dt 2 = di C /dt di C /dt = di L1 /dt – di L2 /dt v i-1 – v i = L· di L1 /dt v i – v i+1 = L· di L2 /dt (L · C) · = v i+1 – 2·v i + v i-1 d2vid2vi dt 2 c = x L·C

Anfang Präsentation 22. Dezember, 2004 Die Wellengleichung III Eine Kette aus solchen Gliedern entspricht tatsächlich dem vorgeschlagenen Bondgraphen: C LLLL C C... 0 C 1 I 0 C 0 C 0 C 1 I 1 I

Anfang Präsentation 22. Dezember, 2004 Der erzwungene Fluss I Ein erzwungener Fluss kann zunächst einmal als eingesetzte Flussquelle konzipiert werden C 1 I 0 C 0 C 0 C 1 I SF q qq Was geschieht mit der Energie an der Bruchstelle? Da es sich um denselben Fluss handelt, scheint es sinnvoll, die beiden Flussquellen zu vereinen.

Anfang Präsentation 22. Dezember, 2004 Der erzwungene Fluss II... 0 C 1 I 0 C 0 C 0 C 1 I SF q qq p1p1 p2p2 Die Sache hat leider einen Haken: Die Energiebilanz ist verletzt! SE Ein Fluss kann nicht erzwungen werden, ohne dass dem System Energie zugeführt wird. Wir werden uns die Geschichte wohl noch etwas genauer ansehen müssen...

Anfang Präsentation 22. Dezember, 2004 Die Turbine I Wir wollen uns nun ansehen, was passiert, wenn dem Fluss, der aus anderen Gründen fliesst, eine Turbinenschaufel in den Weg gelegt wird. Der Druckunterschied auf beiden Seiten der Schaufel erzeugt eine resultierende Kraft, die sich in der Turbine in ein Drehmoment übersetzt. Somit ist das erzeugte Drehmoment proportional zur Druckdifferenz, und wir haben es somit mit einem Transformator zu tun. Falls die Turbine optimal ausgelegt ist, wird der Druckunterschied voll in das Drehmoment umgewandelt, das heisst, es bleibt nichts übrig für die Induktivität.

Anfang Präsentation 22. Dezember, 2004 Die Turbine II C I CCC TFI qiqi pipi p i+1 p i qiqi qiqi 1I :J R :B Der Druckunterschied pi führt zu einem Drehmoment. Dieses erzeugt eine Winkelgeschwindigkeit an der Turbine, die entsprechend den Fluss q i zurückinduziert.

Anfang Präsentation 22. Dezember, 2004 Kompressoren und Pumpen I Wir können nun die Geschichte umdrehen. Wir erzeugen mittels einer Gleichstrommaschine ein Drehmoment an der Turbine, die nun Kompressor oder Pumpe genannt wird. Diese induziert sodann den Fluss q i, der ein entsprechendes Druckgefälle bewirkt.

Anfang Präsentation 22. Dezember, 2004 Wasser- leitung Kompressor / Pumpe Gleichstrom- maschine Kompressoren und Pumpen II CICCC TF I qiqi pipi p i+1 p i qiqi qiqi 1 I :J R :B SE 1 I :L a R :R a GY u uiui m Die Gleichstrommaschine und die Pumpe ersetzen zusammen die gesteuerte Flussquelle, die wir zuerst vorgeschlagen hatten.

Anfang Präsentation 22. Dezember, 2004 Der Wärmefluss I Wir haben unterdessen verstanden, wie der Materialfluss modelliert werden kann. Das transportierte Material trägt aber immer seine Wärme mit sich. Bei der Modellierung thermischer Vorgänge ist es darum wesentlich, diese Wärmeflüsse, die nicht dissipativer Natur sind, korrekt zu erfassen. S. Speicher V, S q Wärmefluss Materialfluss S. S = V q S. = (S/V) · q

Anfang Präsentation 22. Dezember, 2004 Der Wärmefluss II Der resultierende Wärmefluss kann tatsächlich als gesteuerte Flussquelle dargestellt werden C I CCC TFI qiqi pipi p i+1 p i qiqi qiqi C th 0... SF0 0 0 C th S/V qiqi SiSi. SiSi. S ix. TiTi T i+1 Die Energieerhaltung ist hier nicht verletzt, da die Entropie nicht erhalten bleibt.

Anfang Präsentation 22. Dezember, 2004 Materialtransportverluste Flüssigkeits- und Gastransporte sind eigentlich immer verlustbehaftet C I CCC TFI qiqi pipi p i+1 p i qiqi qiqi C th 0... SF0 0 0 C th S/V qiqi SiSi. SiSi. S ix. TiTi T i+1 S/V RS

Anfang Präsentation 22. Dezember, 2004 Zusammenfassung Wir haben unterdessen gesehen, dass die Ursache konvek- tiver Wärmeströme im Materialtransport zu suchen ist. Der Materialtransport wird als Wellengleichung dargestellt, wobei erzwungene Flüsse (Pumpen, Kompressoren) an der geeigneten Stelle die Induktoren ersetzen. Der Wärmefluss ist eine Folge des Materialflusses und kann mittels gesteuerter internen Flussquellen modelliert werden. Reibungsverluste können nach Bedarf zuletzt noch ins Modell eingebracht werden.