Graphen Kombinatorik, Zufall, Algorithmen Konstantinos Panagiotou kpanagio@math.lmu.de http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~kpanagio/GraphsSS12.php
Organisatorisches Klausur Freitag, 27. Juli, 10-12, B 005 Open Book Keine elektronische Hilfsmittel (Handy etc.) Jede(r) kann teilnehmen (unabhängig vom Doodle)
Evaluation 27 Teilnehmer
Gesamteindruck Ca. Hälfte der Bögen: keine Angabe Sonst:
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Mein Standpunkt Beweise aufschreiben (= mathematische Gedanken zu formulieren) ist wichtig Aber: Das ist eine fortgeschrittene Vorlesung! Sie können das schon! [Beweis: die Lösungen zu den Übungsaufgaben.] Ebenso wichtig: Intuition und Denken Zukunft: ich werde die Bilder nicht weglassen, aber (noch) mehr technische Details zeigen Verweise auf Literatur
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Janson‘s Ungleichungen Ω eine endliche Menge, 𝑅 eine zufällige Teilmenge mit Pr[𝑟∈ 𝑅]= 𝑝 𝑟 für alle 𝑟∈Ω Hier: 𝑅 = 𝐸 𝐺 𝑛,𝑝 , 𝑝 𝑟 =𝑝 𝐴 𝑖 ⊆Ω, i∈𝐼 𝐵 𝑖 ist das Ereignis 𝐴 𝑖 ⊆𝑅 𝑋 𝑖 ist die Indikatorvariable für 𝐵 𝑖 , 𝑋= 𝑖∈𝐼 𝑋 𝑖 Möchte Schranken für Pr[𝑋=0]
Janson‘s Ungleichungen (II) Wir schreiben: 𝑖 ~𝑗 falls 𝐴 𝑖 ∩ 𝐴 𝑗 ≠∅ Sei 𝜇= 𝑖∈𝐼 𝔼[ 𝑋 𝑖 ] ∈𝐼 Δ= 𝑖~𝑗, 𝑖≠𝑗 𝔼[ 𝑋 𝑖 𝑋 𝑗 ] Falls 𝔼 𝑋 𝑖 ≤𝜖, dann gilt: Pr 𝑋=0 ≤ exp −𝜇+ Δ 2 1−𝜖 Pr 𝑋=0 ≤ exp − 1−𝜖 𝜇 2 Δ
Unabhängige Mengen Satz 5.2. Es gibt ein ℓ so dass mhw ℓ−1≤𝛼 𝐺 𝑛,𝑝 ≤ℓ ℓ−1≤𝛼 𝐺 𝑛,𝑝 ≤ℓ Hier ist ℓ= 1−𝑜 1 2log 𝑏 𝑛, und 𝑏= 1 1−𝑝 Wir haben sogar mehr gezeigt: 𝔼 𝑋 ℓ−2 = 𝑛 2−𝑜(1) 𝔼[ 𝑋 𝑆 𝑋 𝑆 ′ ] =𝔼 𝑋 ℓ−2 2 𝑛 −2+𝑜(1) , wobei die Summe über alle 𝑆, 𝑆 ′ geht, so dass 𝑆≠ 𝑆 ′ 𝑆∩ 𝑆 ′ ≥2
Greedy Färben, die 2. R = [n] Wiederhole: Färbe 𝑆 𝑖 mit Farbe 𝑖 Sei 𝑆 𝑖 eine maximale unabhängige Menge in 𝐺 𝑛,𝑝 [𝑅] 𝑅 =𝑅∖ 𝑆 𝑖 bis 𝑅 <𝑛/ log 2 𝑛 Färbe 𝑆 𝑖 mit Farbe 𝑖 Färbe alle Knoten in 𝑅 mit anderen Farben