Chaos und Fraktale M. Bostelmann Michael Bostelmann

denn es ist besser organisiert. gewinnt meist Wo das Chaos das Chaos, auf die Ordnung trifft, denn es ist besser organisiert. Michael Bostelmann

Teil 1: Fraktale und ihre Dimension Unser Protagonist : Flohrian Michael Bostelmann

Flohrian ist verliebt Michael Bostelmann

Sie liebt mich ..., sie liebt mich nicht... Lieber nicht! Michael Bostelmann

Lieber was mit Springen ... Michael Bostelmann

Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A Flohrian zeichnet eine Strecke von A nach B. Dann stellt er sich in der Mitte auf. Er wirft eine Münze und springt nach folgender Regel: Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis B Michael Bostelmann

Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A Erster Wurf Zahl Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis B Michael Bostelmann

Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A Zweiter Wurf Zahl Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis B Michael Bostelmann

Dritter Wurf Kopf Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis B Michael Bostelmann

Liegt er in der rechten Hälfte, dann liebt sie ihn nicht. Flohrian nimmt sich vor, solange zu springen, bis er einen Punkt erreicht, auf dem er schon einmal war. Liegt dieser Punkt in der linken Hälfte der Strecke AB, dann wird seine Liebe erwidert. Liegt er in der rechten Hälfte, dann liebt sie ihn nicht. Im Falle der Mitte zählt der vorherige Punkt. Michael Bostelmann

Aufgabe 1 Die Strecke AB wird durch das Intervall [0;1] repräsentiert. Stelle eine Definitionsgleichung für die Folge (xn) der Sprünge auf mit x0 = 0,5. Hinweis: Der Übergang von xn auf xn+1 hängt natürlich vom Ergebnis des Münzwurfs ab. Xn+1 = Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis B Michael Bostelmann

Aufgabe 2 flohrian(n) Prgm Local k,p,x ClrDraw PtText "x",-.02,.54 Schreibe ein Programm flohrian(n) für den TI-92, das für n Sprünge die Markierungen setzt. flohrian(n) Prgm Local k,p,x ClrDraw PtText "x",-.02,.54 PtText "x",.98,.54 PtText "A",-.07,.6 PtText "B",1.03,.6 .5  x For k,1,n rand(2)  p If p>1 Then x/3  x Else 2/3+x/3  x EndIf PtOn x,.5 EndFor EndPrgm Michael Bostelmann

MUSTER!?! Da steckt doch Mathematik dahinter! Eine einfache Regel muss her! Lieber rechnen als springen! Michael Bostelmann

Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis B Kopf : x1 = 0,16666... x0 = 0,5 Zahl : x1 = 0,83333... Das gibt ja ganz eklige Perioden!!! Wegen dieser ständigen Division durch 3. ...mmmhhh... Michael Bostelmann

Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis B Im Dreiersystem sollte das viel einfacher sein! Michael Bostelmann

Was hat Flohrian so erschreckt? !!!Ach du Sch !!! reck Aufgabe 3 Was hat Flohrian so erschreckt? Michael Bostelmann

Offenbar hat er keine Chance einen Punkt zum zweiten Mal zu erreichen, denn im n-ten Sprung erreicht er eine Zahl, deren Periode in der (n+1)-ten Stelle nach dem Komma beginnt, die also verschieden von allen vorhergehenden Zahlen ist. “Ich hätte vielleicht doch nicht in der Mitte beginnen sollen.”, denkt er. Michael Bostelmann

Aufgabe 4 Bei welchen Startwerten hat Flohrian eine Chance, einen Punkt zum zweiten Mal zu erreichen? Abbrechende Tertialbrüche kommen offenbar nicht in Frage, weil sich die letzte, von Null verschiedene Stelle bei jedem Sprung um eine Position nach rechts verschiebt. Rein periodische Zahlen mit den Ziffern 0 und 2 bieten eine Chance, wenn sich durch entsprechende Sprünge eine neue Periode einschiebt. Beispiel: Michael Bostelmann

Eine maximal löchrige Menge Offenbar spielt hier eine Teilmenge des Intervalls [0; 1] eine Rolle, deren Elemente in der Tertialbruchdarstellung nur Nullen und Zweien aufweisen. Diese Teilmenge S wollen wir nun auf zwei verschiedene Arten schrittweise konstruieren. Mengentheoretisch Grafisch S0 = [0; 1] S1 = S0 \ {(0,z1z2z3...)3 / z1=1} S2 = S1 \ {(0,z1z2z3...)3 / z2=1} S3 = S2 \ {(0,z1z2z3...)3 / z3=1} Offenbar gilt Sn = S. Diese Menge ist nichts anderes als der Cantor-Staub, ein bekanntes Fraktal. Michael Bostelmann

Nichts als Staub Die Cantor-Menge hat die Eigenschaft, dass sie völlig zerstäubt ist, d.h. keine zwei verschiedenen Elemente hängen zusammen. Oder anders ausgedrückt, zwischen zwei verschiedenen Elementen aus S finden wir immer ein Element nicht aus S. Dies lässt sich leicht zeigen. Seien p und q zwei verschiedene Elemente aus S und o.B.d.A p<q. Die erste Nachkommastelle, an der sich p und q in der Tertialdarstellung unterscheiden, sei an der n-ten Position. Dann hat p dort eine 0 und q eine 2. Sei r die Zahl, die bis zur (n-1)-ten Nachkommastelle mit p und q übereinstimmt und dann an der n-ten Stelle eine 1 hat, dann ist r nicht aus S und p<r<q. Wie man leicht sieht, trifft Flohrian bei seinen Sprüngen mit dem Startwert 0,5 nie ein Element aus S, denn jede Position enthält immer die Periode mit 1, die sich jedoch immer weiter nach hinten schiebt. Aber er kommt immer näher an S heran. In gewissem Sinne konvergiert die Menge seiner Markierungen gegen S. Michael Bostelmann

Selbstähnlichkeit Ein zentraler Begriff im Zusammenhang mit Fraktalen ist die Selbstähnlichkeit oder auch Skaleninvarianz. Der Cantor-Staub eignet sich gut, um diesen Begriff zu verdeutlichen. Wir greifen hierzu auf den bekannten Ähnlichkeitsbegriff aus der Mittelstufengeometrie zurück: Zwei Figuren heißen ähnlich, wenn sie durch eine zentrische Streckung in kongruente Figuren überführt werden können. Nehmen wir zum Beispiel das linke Drittel von S, also S* = { (0,0z2z3...)3 / ziÎ{0;2} } und strecken es mit dem Faktor 3. Dann erhalten wir 3·S* = { 3·(0,0z2z3)3 / ziÎ {0;2} } = { (0,z2z3...)3 / ziÎ {0;2} } = S Die Menge S ist zu einem echten Teil ihrer selbst ähnlich – eben selbstähnlich. Michael Bostelmann

Eine neue Interpretation des klassischen Dimensionsbegriffs Michael Bostelmann

2. Dimension Michael Bostelmann

3. Dimension Michael Bostelmann

Verallgemeinerter Dimensionsbegriff Verkleinert man ein Objekt mit dem Faktor k und passt das verkleinerte Objekt n-mal in das ursprüngliche Objekt, so heißt die Zahl d mit k d = n die Dimension des Objekts. Es ist also d = logkn Michael Bostelmann

Die Dimension des Cantor-Staubs Bei der Selbstähnlichkeit haben wir gesehen, dass wir das erste Drittel S* des Cantor-Staubs erhalten, wenn wir die Menge S im Maßstab 1:3 verkleinern. S* passt zweimal in S, da das mittlere Drittel leer ist. Für die Dimension d gilt dann: 3d = 2 oder d = log32 = 0,6309... Die Dimension ist also nicht ganzzahlig, sondern gebrochen - eben fraktal. Michael Bostelmann

Ein naher Verwandter des Cantor-Staubs Vor einigen Jahren wurde im Bundeswettbewerb-Informatik folgende Aufgabe gestellt (sinngemäß): Ein Goldgräber erhält einen Claim, der die Form eines gleichseitigen Dreiecks hat. Da er keine Ahnung hat, wo er mit dem Graben anfangen soll, sucht er sich zunächst einen beliebigen Punkt aus. Um den nächsten Grabungsort zu finden, wählt er einen der drei Eckpunkte beliebig aus und bestimmt den Mittelpunkt zwischen diesem Eckpunkt und seiner momentanen Position. Dies wiederholt er immer wieder. Ein entsprechendes Programm sollte die Grabungsorte für n Grabungen grafisch darstellen. Aufgabe 5 Schreibe ein Programm für den TI-92, das für n Grabungen die Grabungsorte markiert. Michael Bostelmann

Das Goldgräber-Programm PtOn x,y For k,1,n rand(3) !p (x+det(px[p]))/2!x (y+det(py[p]))/2!y EndFor EndPrgm gold(n) Prgm Local k,p,x,y FnOff : PlotsOff : ClrDraw setGraph("axes","off") 0!xmin : 100!xmax 0!ymin : 100!ymax [[20][80][50]] !px [[5][5][90]] !py 50!x:50!y Line det(px[1]),det(py[1]),det(px[2]),det(py[2]) Line det(px[2]),det(py[2]),det(px[3]),det(py[3]) Line det(px[1]),det(py[1]),det(px[3]),det(py[3]) Michael Bostelmann

Das Sierpinski-Dreieck Aufgabe 6 Berechne die fraktale Dimension des Sierpinski-Dreiecks Verkleinert man das Sierpinski-Dreieck im Maßstab 1:2, so passt es 3-mal in das ursprüngliche Dreieck. Es ist also 2d = 3 also d = log23 = 1,5849... Michael Bostelmann