6. Lange Nacht der Mathematik Vom unendlich Kleinen Vom Ganzen zum Fraktal Thomas Westermann 6. Lange Nacht der Mathematik Hochschule Karlsruhe, 7.5.2010 Was ergibt ? Was ergibt ? Was ergibt ? Was ergibt ?
Von Eisblumen …
… und anderen Formen Blumenkohl Blitz Blutgefäße der Niere
Ganze Zahlen 1, 2, 3; viele 1, 2, 3, 4, ... , 9, 10, 11, ... usw. Prinzip der natürlichen Zahlen: 1. Sie beginnen bei 1. 2. Zu jeder Zahl gibt es einen Nachfolger. Es gibt viele natürliche Zahlen N = {1, 2, 3, 4, ...} natürliche Zahlen Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} ganze Zahlen
Gebrochene Zahlen Q = {p/q: p Z und q N} gebrochenrationale Zahlen Problem: Was bleibt einem noch übrig, wenn man von seiner Hälfte ein Drittel abgeben muss? Lösung: TV-Quiz: Was erhält man, wenn man 50 durch einhalb teilt? a) 25 b) 50 c) 75 d) 100 BW-Antwort:
Noch mehr Zahlen? a b Pythagoras a2 + b2 = c2 c d 2 = 12 + 12 = 2 Beispiel:
Wenn keine gebrochenrationalen Zahlen, was dann?? Was sind dies für Zahlen? Gebrochenrational? mit p und q teilerfremd? p2 = 2 q2 p2 ist gerade p ist gerade p = 2 m 4 m2 = 2 q2 q2 = 2 m q ist gerade NEIN! Wenn keine gebrochenrationalen Zahlen, was dann??
Zahlenfolgen (an) n N = a1, a2, a3, a4, ..., an, ... 1.) Explizites Bildungsgesetz: n 1 2 3 ... 10 100 1000 an 0 1.5 0.666 ... 1.1 1.01 1.001 CAS 2.) Rekursives Bildungsgesetz konvergente Folgen: an a: besitzen Grenzwert a divergente Folgen: besitzen keinen Grenzwert
Reelle Zahlen Reelle Zahlen = {gebrochenrationale Zahlen und Grenzwerte aller konvergenten Zahlenfolgen}
Berechnung von
Von kantiger Form zu glatter Struktur Berechnung von Von kantiger Form zu glatter Struktur
Kreis: Von kantig zu rund Eigenschaften: - Anzahl der Linien geht gegen Unendlich - Länge der Einzellinien geht gegen Null - Umfang bleibt endlich! - Fläche bleibt begrenzt!
Kochsche Schneeflocke Von kantig zu kantiger Kochsche Schneeflocke CAS
Kochsche Schneeflocke
Zusammenfassung: Anzahl der Seiten Seitenlänge Umfang Fläche 3 a 3a 3 4 n = 2 3 4 4 n 3 4n An-1 +3 4n-1 A0 + A0 A0 +3 A1 +3 4
Kochsche Schneeflocke Eigenschaften: - Anzahl der Linien geht gegen Unendlich - Umfang geht gegen Unendlich - Fläche bleibt begrenzt! Geometrische Eigenschaften - Gebilde entsteht durch eine Iteration (Rekursion) - Besitzt bei beliebiger Vergrößerung immer noch Feinstruktur - Selbstähnlich - Bei unendlichem Umfang doch beschränkter Flächeninhalt Objekte, welche die obigen Eigenschaften besitzen bezeichnet man als Fraktale (lat. fractus = gebrochen).
Sierpinski-Dreieck
Fraktale Dimension Umfang pro Dreieck: Gesamtumfang: Fläche pro Dreieck: Gesamtfläche: Was unterscheidet die Kochsche Scheeflocke vom Sierpinski-Dreieck? Fraktale Dimension
Fraktale Dimension Skalierungsfaktor s=1/3 Anzahl der selbstähnlichen Teile N=3 Skalierungsfaktor s=1/3 Anzahl der selbstähnlichen Teile N=9 Skalierungsfaktor s=1/2 Anzahl der selbstähnlichen Teile N=8 Allgemein: N: Anzahl der Teile s: Skalierungsfaktor
Berechnung der fraktalen Dimension Skalierungsfaktor s=1/3 Anzahl der selbstähnlichen Teile N=4 Skalierungsfaktor s=1/2 Anzahl der selbstähnlichen Teile N=3 Skalierungsfaktor s=1/3 Anzahl der selbstähnlichen Teile N=2
Mandelbrot-Menge Iterationsvorschrift Man startet immer mit z0=0. Die Konvergenz der Iteration hängt nur vom Parameter c ab. CAS Die Mandelbrot-Menge besteht aus der Menge von c-Werten, bei denen die Iterationswerte nach einer bestimmten Anzahl von Durchgängen (z.B. 100) einen vorgegebenen Betrag (z.B. 2) noch nicht überschritten haben.
Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!! Die fraktale Beschreibung liefert uns ein Modell, um Formen, Muster und Erscheinungen in unserer realen Welt adäquat mathematisch zu beschreiben. Mit etwas Phantasie und Intuition findet man so Zugang zu virtuellen Welten, imaginären Größen und komplexen Zusammenhängen, die ohne die Fraktale nicht möglich wären … … und man findet auf diesem Weg nicht nur gebrochene Zahlen, sondern sogar gebrochene Dimensionen!! Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!! Und noch eine schöne Nacht!!
Ende