Algebraische Gleichungen Setzt man zwischen zwei Terme T1 und T2 ein Gleichheitszeichen, so entsteht eine Gleichung! Lösungsmenge Alle Einsetzungen für die Variable aus der Grundmenge G, die eine Glei- chung zu einer wahren Aussage machen, bilden die Lösungsmenge L. Idee dieser Präsentation Es werden ein paar unterschiedliche Musterbeispiele vorgestellt und gerade korrekt vorgelöst!

1. Lineare Gleichungen Beispiel 1: Grundaufgabe: Ohne Klammern 14x – 6 + 5x + 15 = 3x + 22 + 13x – 7 Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!

Musterlösung Beispiel 1: 14x – 6 + 5x + 15 = 3x + 22 + 13x – 7 I TU 19x + 9 = 16x + 15 I - 16x 3x + 9 = 15 I – 9 3x = 6 I : 3 x = 2 L = {2}

1. Lineare Gleichungen Beispiel 2: Grundaufgabe: Mit Klammern (ohne Produkt) 15x – (12 + 11x) + (23 – 3x) = 12 Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!

Musterlösung Beispiel 2: 15x – (12 + 11x) + (23 – 3x) = 12 I TU 15x – 12 – 11x + 23 – 3x = 12 I TU x + 11 = 12 I – 11 x = 1 L = {1}

1. Lineare Gleichungen Beispiel 3: Grundaufgabe: Mit Klammern (mit Produkt) 6(7-x) + 9 = 2(x+19) – 7(x-2) – (2x-11) Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!

Musterlösung Beispiel 3: 6(7-x) + 9 = 2(x+19) – 7(x-2) – (2x-11) I TU 42 – 6x + 9 = 2x + 38 – 7x + 14 – 2x + 11 I TU 51 – 6x = -7x + 63 I + 7x x + 51= 63 I - 51 x = 12 L = {12}

1. Lineare Gleichungen Beispiel 4: Grundaufgabe: Mit Klammern (Produkt von Summen) 2(x + 1)(x + 3) + 8 = (2x + 1)(x + 5) Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!

Musterlösung Beispiel 4: 2(x + 1)(x + 3) + 8 = (2x + 1)(x + 5) I TU 2(x2 + 3x + x + 3) + 8 = 2x2 + 10x + x + 5 I TU 2x2 + 6x + 2x + 6 + 8 = 2x2 + 11x + 5 I TU 2x2 + 8x + 14 = 2x2 + 11x + 5 I - 2x2 8x + 14 = 11x + 5 I – 8x 14 = 3x + 5 I – 5 9 = 3x I : 3 3 = x L = {3}

1. Lineare Gleichungen Beispiel 5: Grundaufgabe: Mit Klammern (Binomischen Formeln) (x – 11)2 – (x – 20)2 = (2x + 1)2 – (2x)2 Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!

Musterlösung Beispiel 5: (x – 11)2 – (x – 20)2 = (2x + 1)2 – (2x)2 I TU x2 – 22x + 121 – (x2 – 40x + 400) = 4x2 + 4x + 1 – 4x2 I TU x2 – 22x + 121 – x2 + 40x – 400 = 4x + 1 I TU 18x – 279 = 4x + 1 I – 4x 14x – 279 = 1 I + 279 14x = 280 I : 14 x = 20 L = {20}

1. Lineare Gleichungen Beispiel 6: Grundaufgabe: Mit Brüchen (Zahl im Nenner: Typ 1) Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!

Musterlösung Beispiel 6: x/4 – x/6 = x/2 – 1/5 I GN 15x/60 – 10x/60 = 30x/60 – 12/60 I * GN (=60) 15x – 10x = 30x – 12 I TU 5x = 30x - 12 I – 5x 0 = 25x - 12 I + 12 12 = 25x I : 25 12/25 = x L = {12/25}

1. Lineare Gleichungen Beispiel 7: Grundaufgabe: Mit Brüchen (Zahl im Nenner: Typ 2) Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!

Musterlösung Beispiel 7: (3x+8)/5 – (7x-4)/8 = (5x+12)/16 – (9x-16)/20 I GN? 16(3x+8)/80 – 10(7x-4)/80 = 5(5x+12)/80 – 4(9x-16)/80 I * GN (=80) 16(3x+8) – 10(7x-4) = 5(5x+12) – 4(9x-16) I TU 48x + 128 – 70x + 40 = 25x + 60 – 36x + 64 I TU - 22x + 168 = - 11x + 124 I + 22x 168 = 11x + 124 I - 124 44 = 11x I : 11 4 = x L = {4}

2. Lineare Ungleichungen Beispiel 8: Grundaufgabe: Ungleichung 1 (G = Z) 3 (2x – 1) – 2 (x + 3) < 5x - 3 Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!

Musterlösung Beispiel 8: (G = Z) 3 (2x – 1) – 2 (x + 3) < 5x - 3 I TU 6x – 3 – 2x – 6 < 5x – 3 I TU 4x – 9 < 5x – 3 I - 4x - 9 < x – 3 I + 3 - 6 < x L = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2,…}

2. Lineare Ungleichungen Beispiel 9: Grundaufgabe: Ungleichung 1 (G = Z) (x – 1)(x + 1) > (x – 1)2 + 2 Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!

Musterlösung Beispiel 9 (G = Z): (x – 1)(x + 1) > (x – 1)2 + 2 I TU x2 – 1 > x2 – 2x + 1 + 2 I TU x2 – 1 > x2 – 2x + 3 I – x2 - 1 > - 2x + 3 I + 2x 2x - 1 > 3 I + 1 2x > 4 I : 2 x > 2 L = {3, 4, 5, 6, …}

2. Lineare Ungleichungen Beispiel 10: Grundaufgabe: Ungleichung 3 (G = Z) (5x – 1)(2x + 3) – (2x + 1)2 ≥ 6x (x + 1) Versuche die Lösungsmenge zu bestimmen!

Musterlösung Beispiel 10 (G = Z): (5x – 1)(2x + 3) – (2x + 1)2 ≥ 6x (x + 1) I TU 10x2 + 15x – 2x – 3 – (4x2 + 4x + 1) ≥ 6x2 + 6x I TU 10x2 + 13x – 3 – 4x2 – 4x – 1 ≥ 6x2 + 6x I TU 6x2 + 9x - 4 ≥ 6x2 + 6x I – 6x2 9x - 4 ≥ 6x I – 6x 3x – 4 ≥ 0 I + 4 3x ≥ 4 I : 3 x ≥ 4/3 L = {2, 3, 4, 5,…}

3. Gemischte Übungen 1. 3x - 15 = 2x - 15 2. (x+3)2 = (x-3) (x-6) Gesucht: Lösungsmenge L!?

3. Gemischte Übungen Lösungsmengen: 1. L = {0} 2. L = {3/5} 3. L = {4}