Transversalen im Dreieck Transversalen sind besondere Linien im Dreieck man unterscheidet dabei diese 4 Arten: Mittelsenkrechte Winkelhalbierende Seitenhalbierende Höhe

Inhalt Mittelsenkrechte und Umkreis Winkelhalbierende und Inkreis Definition der Mittelsenkrechten Eigenschaften der Mittelsenkrechten Umkreis Winkelhalbierende und Inkreis Definition Eigenschaften Inkreis Seitenhalbierende und Schwerpunkt Höhe Überblick

Mittelsenkrechte Auf der Mittelsenkrechten der Strecke [AB] liegen alle Punkte, die von A und B gleichweit entfernt sind. mAB Jeder Punkt der Mittelsenkrechte ist der Mittelpunkt eines Kreises, der durch A und B geht. A B

Eigenschaften der Mittelsenkrechte Die Mittelsenkrechte Geht durch die Mitte der Strecke Steht senkrecht auf der Strecke Ist Symmetrieachse der beiden Punkte Ist Symmetrieachse der Strecke

Der Umkreis eines Dreiecks Der Schnittpunkt M der beiden Mittelsenkrechten mAB und mAC ist einerseits von A und B gleichweit entfernt, anderseits aber auch von A und C. C mAB mAC Also ist M auch von B und C gleichweit entfernt. Die Mittelsenkrechte mBC geht also auch durch M. M M ist also der Mittelpunkt des Kreises durch A, B und C. Dieser Kreis ist der Umkreis des Dreiecks ABC. A mBC B

Winkelhalbierende Auf der Winkelhalbierenden w des Winkels  liegen alle Punkte die von den beiden Schenkeln des Winkels gleiche Abstände haben. w Jeder Punkt der Winkelhalbierenden ist der Mittelpunkt eines Kreises, der die beiden Schenkel a und b berührt b  A c

Eigenschaften der Winkelhalbierenden Die Winkelhalbierende Geht durch den Scheitelpunkt des Winkels Halbiert das Winkelfeld Ist Symmetrieachse der beiden Schenkel Ist Symmetrieachse des Winkelfeldes

Der Inkreis im Dreieck C Der Schnittpunkt O der beiden Winkelhalbierenden w und w ist einerseits von b und c gleichweit entfernt, anderseits aber auch von a und c.  w Also ist O auch von a und b gleichweit entfernt. Die Winkelhalbierende w geht also auch durch O. a w b O ist also der Mittelpunkt des Kreises, der c, b und a berührt. Dieser Kreis ist der Inkreis des Dreiecks ABC. O   A c w B

Die Seitenhalbierenden im Dreieck Die Seitenhalbierenden gehen jeweils durch einen Eckpunkt und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Die Seitenhalbierenden sa, sb und sc schneiden sich im Schwerpunkt S des Dreiecks. (Physikalische Bedeutung: Punkt, auf dem man das Dreieck balancieren kann.) Daher nennt man die Seitenhalbierenden auch Schwerlinien. C Ma sc Mb S sb B sa Mc A

Die Höhen im Dreieck Die Höhen gehen jeweils durch einen Eckpunkt und stehen auf der gegen-überliegenden Seite senkrecht. Die Höhen ha, hb und hc schneiden sich im Höhenschnittpunkt H, der keine besondere geometrische Bedeutung hat. C hc ha hb H B A

Eigenschaften der Transversalen im allgemeinen Dreieck Geht durch den Eckpunkt Geht durch den Seitenmittel-punkt Steht auf der Seite senkrecht Halbiert den Winkel Mittel-senkrechte ja Seiten-halbierende Höhe Winkel-halbierende