§17 Produkte und Quotienten von Vektorräumen (17.1) Satz-Definition: U und V seien K-Vektorräume. Das mengentheoretische Produkt besitzt in natürlicher Weise eine K-Vektorraumstruktur durch: Für alle (u,v), (x,y) aus und t aus K sei (u,v) + (x,y) := (u+x,v+y) und t(u,v) := (tu,tv) . mit dieser Struktur heißt das (Vektorraum-) Produkt der Vektorräume u und V . (17.2) Bemerkungen: 1o ist uns bekannt und isomorph zu K2 . 2o Ebenso , isomorph zu Kn+m. 3o In hat man die Untervektorräume und mit den bemerkenswerten Eigenschaften:

Kapitel III, §17 i. W = W1 + W2 und und ii. jeder Vektor w aus W hat die eindeutige Darstellung w = w1 + w2 mit w1 aus W1 und w2 aus W2 . 4o Analog definiert man das (K-Vektorraum-) Produkt von endlich vielen K-Vektorräumen V1, V2, ... , Vn oder auch von beliebig vielen K-Vektorräumen. (17.3) Definition: Sei V ein K-Vektorraum mit Untervektorräumen V1 und V2 . V heißt dann die direkte Summe der V1 und V2 , wenn V = V1 + V2 und . Wenn U Untervektorraum von V ist, so heißt ein weiterer Untervek-torraum W von V ein Komplement von U (oder Komplementärraum), wenn V die direkte Summe von U und W ist. (17.4) Beispiele: 1o Zu einem Vektor x aus V = K2\{0} und U = Kx ist W = Ky genau dann Komplement, wenn {x,y} linear unabhängig ist.

Kapitel III, §17 2o {0} ist immer Komplement von V in V und vice versa. 3o Das Produkt ist die direkte Summe von und (vgl. 17.2.3o). 4o U sei Untervektorraum eines endlichdimensionalen Vektorraums V. Sei {b1, b2, ... , br} Basis von U, und seien {br+1, ... , bn} weitere Vektoren in V, so dass {b1, b2, ... , bn} Basis von V ist. Dann ist W := Span {br+1, ... , bn} ein Komplement von V. (17.4) Lemma: Ein Untervektorraum U eines Vektorraums V besitzt stets ein Komplement (das allerdings nicht eindeutig bestimmt ist). (17.5) Satz: Für Untervektorräume V1, V2 von V mit V = V1 + V2 sind die folgenden Aussagen äquivalent: 1o V ist die direkte Summe von V1 und V2 . 2o Jeder Vektor v aus V hat die eindeutige Darstellung v = v1 + v2 mit v1 aus V1 und v2 aus V2 . 3o Für alle v1 aus V1 und v2 aus V2 folgt aus v1 + v2 = 0 stets v1 = 0 und v2 = 0 .

Kapitel III, §17 Zur Untersuchung von Quotienten brauchen wir die durch einen Unterraum gegebene Äquivalenzrelation: (17.6) Lemma: U sei Untervektorraum von V . Dann gilt für Vektoren v uns w aus V: 1o Entweder v + U = w + U oder v + U und w + U haben keine gemeinsamen Elemente. 2o v + U = w + U ist gleichbedeutend mit . (17.7) Bemerkung: Durch für v und w aus V wird auf V eine Äquivalenzrelation definiert, d.h. für v,w,z aus V gilt: 1o v ~ v (~ ist reflexiv). 2o Aus v ~ w folgt w ~ v (~ ist symmetrisch). 3o Aus v ~ w und w ~ z folgt v ~ z (~ ist transitiv). Die Äquivalenzklassen von ~ sind die Mengen v + U , v aus V: Die Äquivalenzklassen v + U lassen sich auch verstehen als die affinen Räume in V mit U als Translationsraum.

Kapitel III, §17 (17.8) Satz-Definition: U sei Untervektorraum von V. Auf der Menge der Äquivalenzklassen gibt es eine natürliche Struktur eines K-Vektorraums: Für v,w aus V und t aus K setze (v + U) + (w + U) := (v + w) + U , t(v + U) := (tv) + U . Mit dieser Struktur heißt V/~ der Quotientenraum (oder Faktorraum oder Quotient) von V in Bezug auf U und wird mit V/U bezeichnet. (17.9) Satz: Die Abbildung heißt die kanonische Projektion. p ist linear und surjektiv. (17.10) Folgerung: Für einen Untervektorraum U von V gilt: (17.11) Beispiel: V sei der Q-Vektorraum der rationalen Cauchyfol-gen (V ist Untervektorraum von QN ), und U sei der Untervektorraum der rationalen Nullfolgen. Dann ist V/U isomorph zu R . (17.12) Kanonische Faktorisierung: Sei f eine lineare Abbildung von V nach W. Dann ist die natürliche Abbildung

Kapitel III, §17 ein wohldefinierter Isomorphismus von Vektorräumen. Mit der Inklusionsabbildung gilt Durch das folgende Diagramm wird diese Aussage illustriert: (17.12) Folgerungen: 1o Ein Epimorphismus f ist bis auf Isomorphie eine kano-nische Projektion: ist Isomorphismus. 2o Ein Monomorphismus ist bis auf Isomorphie eine Inklusion: ist Isomorphismus.