Tumorbedingte Gefäßneubildung Differentialgleichungen in der Biomedizin SoSe 09 Philipp Schmauck

Avaskuläre Tumore: Avaskuläre Tumore: Nekrotischer Kern aufgrund von Nährstoffmangel Zwischenschicht aus ruhigen Zellen Außenschicht aus sich vermehrenden Zellen Gleichgewicht zwischen Mitose, Apoptose und der Auflösung von Tumorzellen in Abfallstoffe Tumor ist in seiner Größe beschränkt

Avaskuläre Tumore: Für weiteres Wachstum und Metastasierung benötigt der Tumor die Nährstoffversorgung durch einen Blutkreislauf Angiogenese: Wachstum von Kapillaren durch Sprossung aus einem bestehenden Kapillarsystem Endothelzellen an der Innenseite des Blutgefäßes spielen hierbei eine wichtige Rolle

Basement Membrane (BM/BL) Fibroblast Capillary Endothelial cells (EC) Extracellular Matrix(ECM)

EC werden stimuliert proteolytische Enzym auszuschütten 1. Tumor sondert angiogenetische Wachstumsfaktoren ab , hier Vascular Endothelial Growth Factor (VEGF) EC werden stimuliert proteolytische Enzym auszuschütten Enzym steuert Abbau BM EC durchdringen BM und migrieren in Richtung Quelle des VEGF Neue Kapillaren entstehen durch Proliferation (Vermehrung) und Migration (Wanderung) Es entsteht ein Kapillar-Netzwerk Dies geschieht bis das Kapillar-Netzwerk den Tumor erreicht, in ihn eindringt und ihn mit Nährstoffen versorgt Kapillare Tumor 2.

Geometrie des Problems G(x,y,t) g(x,t)

Biochemische Kinetik V + R ⇌ RV (k1, k-1) – Bindung VEGF (V) an EC Rezeptoren (R) RV → C + R (k2) – Produktion Proteolytische Enzym (C) und neuer Rezeptor (R) C + F → CF (k3) – Bindung Enzym an BM Rezeptoren (F) CF → F´ + C (k4) – Abbau der BM und Bildung Katalysator (F`) Fibronektin ist hier ein genereller Term für extrazelluläre Proteine

Anwendung Massenwirkungsgesetz x – Position an der Kapillarwand t – Zeit v – Konzentration des angiogenetische Faktor V r – Dichte der Rezeptoren R auf den EC l - Konzentration des Rezeptor-Komplexes RV n – Konzentration von EC f – Konzentration von Fibronektin

Anwendung Massenwirkungsgesetz Anwendung der MM-Kinetik auf 1. und 2. ergibt: Für 1. und 2.

Anwendung MM-Kinetik Anwendung der MM-Kinetik auf 3. und 4. ergibt: Für 3. und 4.

Zusätzliche Bedingungen Proteolytische Enzym zerfällt proportional zu seiner Konzentration Zerfallskonstante EC produzieren Fibronektin Logistische Funktion 2. Term ist ein logistische Differentialgleichung

Anfangsbedingungen l(x,0) = 0 - Am Anfang existiert kein Rezeptor-Komplex c(x,0) ≈ 0 - Am Anfang sind wenig proteolytische Enzyme vorhanden f(x,0)=fM(x) – Fibronektin Anfangswert ist gleich dem Wert in normalen Zellen v(x,0) – kann von uns beliebig vorgegeben werden Bestimmung von n(x,0) r(x,0) problematisch

Anfangsbedingungen

Anfangsbedingungen Annähernd konstant und der Wert ist relativ einfach zu ermitteln: Durchmesser Kapillare: 6-8 µM Durchmesser rote Blutkörperchen: 4-5 µM Dann können wir abschätzen: Dicke der EC 1 µM und Breite 10 µM Vernachlässigung der Dicke der BM Existieren 10-100 EC pro mm D.h. Länge der EC: 10-100 µM D.h. die volumenbezogene Dichte der EC: 1012 Zellen pro Liter Anzahl der Rezeptoren pro Zelle ist von der Ordnung: 105

Anfangsbedingungen Und wir können schreiben:

Bewegung der EC Kapillarwand ist eindimensionales Gitter EC sind gleichverteilt, berühren sich nicht und sind angeordnet an Referenzpunkt nh W - Kontrollsubstanz τ´n± (W) - Wahrscheinlichkeit eines Schrittes einer EC von n zu n+1, n-1 nn(t) - Wahrscheinlichkeitsdichte der Verteilung der EC an Position n zur Zeit t Berücksichtigung einer Wartezeit

Bewegung der EC Änderung von nn(t): Teilchen die von (n±1)h nach nh hinzu wandern Teilchen die von nh nach (n±1)h abwandern Erwartete Wartezeit eines Teilchens in n bis es n wieder verlässt: Wahrscheinlichkeitsdichte ist gleich der Dichte der EC; durchschnittliche Wartezeit ist gleich Erwartungswert geometrische Verteilung

Bewegung der EC Kontrollsubstanz beinhaltet die Effekte von VEGF auf die Zellen: W=(…,W-n-1/2, W-n, W-n+1/2,…) Wn=Wn(c,f) c – proteolytische Enzym: Abbau BM f – Fibronektin: Bestandteil BM

Bewegung der EC Annahme: Entscheidung „when to move“ ist unabhängig von der Entscheidung „ where to move“. D.h. Wartezeit in n ist konstant: Annahme: τ± hängt nur von benachbarten Kontrollsubstanzen ab:

Bewegung der EC

Taylorentwicklung

Taylorentwicklung

Bewegung der EC Setze τ(W(f,c))=τ1(c)τ2(f) – Auswirkung von Protease und Fibronektin auf EC: EC wandern in Gebiete mit hoher Protease Konzentration EC wandern in Gebiete mit geringer Fibronektin Konzentration Vermeidung von Singularität (ln(τ) und Ableitung):

Numerische Simulation

Numerische Simulation 2 1 (1-cos(2pix)) ist größer 0 und kleiner 2 und für x€[0,1] genau eine Spitze

Numerische Simulation n(x,t) D=3,6*10-5 α1=0,001 α2=1,0 γ1=1,2 n β1=1,0 β2=0,001 γ2=1,2 v λ1=73,0 υ1=0,007 m=100 ν0=15 c f β=0,222 λ2=19,0 v1=1,28

Numerische Simulation Unmittelbarer Fibronektin Abbau in 0,44 < x < 0,56 Abbau ca. Kapillar Durchmesser von ~6μM

Numerische Simulation EC Bewegung Andeutung Kapillare Sprossung

Numerische Simulation Höchste Konzentration in 0,44 < x < 0,56 Rapide Abnahme des Wachstumfaktors

Numerische Simulation Proteolytische Enzyme konvergieren zu „steady-sate“

Angiostatin Angiogenese Hemmer: Natürliches Protein Hemmt Bildung neuer Blutgefäße Direkter Hemmstoff für Protease Angiostatin stimuliert EC zur Produktion eines Hemmstoffes Klinische Untersuchung für die Krebstherapie

Biochemische Kinetik V + R ⇌ RV (k1, k-1) – Bindung VEGF (V) an EC Rezeptoren (R) RV → C + R (k2) – Produktion Proteolytische Enzym (C) und neuer Rezeptor (R) Direkter Inhibitor: A + CA ⇌ CI – Proteolytische Enzyme (CI) gehemmt vom Angiostatin (A) und Fibronektin abbauende Enzyme (CA) A ist Katalysator für Fibronektin Abbau

Biochemische Kinetik [CI]=ve[A][CA] – Indirekter Inhibitor: A + RA ⇌ ARA (k3,k-3) – Rezeptor Protein (RA) auf EC bindet mit Angiostatin ARA → I+RA (k4) – Protease Inhibitor (I) produziert von EC in Reaktion auf Angiostatin [CI]=ve[A][CA] 3.1 ist im Gleichgewicht

Biochemische Kinetik CA + F ⇌ CAF (k5, k-5) – Bindung Enzym an Fibronektin Rezeptoren (F) CAF → CA + F´ (k6) - Abbau Fibronektin und Bildung Katalysator (F`) [C]=[CA]+[CAF]+[CI] 3.1 ist im Gleichgewicht

Anwendung Massenwirkungsgesetz Indirekter Inhibitor

Anwendung MM-Kinetik

Anwendung MM-Kinetik

Anwendung MM-Kinetik

Anwendung Massenwirkungsgesetz c(x,t), C(x,y,t) – Konzentration Protelytisches Enzym ca(x,t), Ca(x,y,t) – Konzentration Aktive Protease ci(x,t), Ci(x,y,t) – Konzentration gehemmte Enzyme ia(x,t), Ia(x,y,t) – Konzentration Protease Inhibitor f(x,t), F(x,y,t) – Konzentration Fibronektin a(x,t), A(x,y,t) – Konzentration Angiostatin n(x,t), N(x,y,t) -EC Dichte v(x,t), V(x,y,t)- Konzentratin Angiogenetischer Faktor

Chemischer Transport in der Kapillaren

Chemischer Transport in der Kapillaren

Chemischer Transport in der ECM Konzentrationsgradient beschreibt den Konzentrationsunterschied

Chemischer Transport in der ECM

Chemischer Transport in der ECM

Chemischer Transport in der ECM

Zellbewegung Bewegung der EC an der Kapillarwand:

Zellbewegung Θ: Proliferation (N-N0)/N0 Ca

ECM-Kapillar Transmission Verbindung ECM-Transport-Gleichung mit den Kapillar-Transport-Gleichungen:

Numerisch Simulation

Numerisch Simulation

Numerische Simulation

Numerische Simulation ~1-2mm vom Limbus(EC) entfernt Sprossung nach vier Tagen Vaskulär nach weniger als 7 Tagen, ca. 0,5mm Wachstum pro Tag Tumor mit 6mm Entfernung: avaskuläres Wachstum 0,1-0,2 mm pro Tag Kapillare wuchsen mit 1 mm pro Tag am Anfang

Numerische Simulation Z-Achse: EC-Dichte Kapillarwachstum ohne Angiostatin (Distanz Tumor zu Kapillaren 25microns) Wachstumfaktor braucht 3,49h für Durchquerung der ECM

Numerische Simulation Z-Achse: Fibronektin-Dichte Abbau von Fibronektin in der ECM, Bildung eines Tunnels

Numerische Simulation Z-Achse: EC-Dichte EC-Ausbreitung nach der Gabe von Angiostatin (T=4,45h) Kein Abbau, aber wenig/keine Gefäßneubildung

Eigenschaften Zellbewegung Blow-up:

Eigenschaften Zellbewegung

Eigenschaften Zellbewegung

Eigenschaften Zellbewegung

Eigenschaften Zellbewegung

Eigenschaften Zellbewegung

Blow-up von P für N=2, D=0,04

Eigenschaften Zellbewegung Definition: P(x,t) aggregiert, wenn es gegen einen nicht-konstanten stationären Zustand konvergiert für t endlich oder unendlich Massetransport entlang von Charakteristiken: ut+ux=0 hat die Lösung u(x,t)=f(x-t) und die Lösung ist entlang der Charakteristiken x-t=konstant

Eigenschaften Zellbewegung

w fixiert Neigungen der Charakteristiken in R1 haben selbes Vorzeichen, Massentransport in R2 E(x,t) Vorzeichenwechsel Masse in R3 bleibt dort (Grenze: E1(x,t))

Für w0 groß und t klein

Für w0 klein und positiv, P(x,0)=1+εcos(2πx) Nur zwei Regionen R0 und R1, „blow-up“ an Scheitelpunkt

Für w0 größer und positiv, treten regionen R2 und R3 auf Nur zwei Regionen R0 und R1, „blow-up“ an Scheitelpunkt

Schocks können zu Aggregation führen Ohne Dämpfunfgsterm können sich in t>0 Schocks entlang der Charakteristiken bilden: Charakteristiken konvex p´=u0´´(x)>0 Charakteristiken konkav p0´=u0´´<0 Schocks können zu Aggregation führen