Matrizen M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Marktforschung Ein Marktforschungsinstitut wird von einem Verlag damit beauftragt, das Kaufverhalten der Kunden von Fernsehzeitschriften zu untersuchen. Dies soll Hilfen für spätere Marketingentscheidungen liefern. M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Modell Vereinfachungen 2 Zeitschriften A und B die Gesamtzahl der Kunden bleibt konstant der Marktmechanismus bleibt konstant M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Daten Das Institut ermittelt mit Hilfe von Umfragen folgende Daten: Zeitschrift A hat 2000 Kunden Zeitschrift B hat 3000 Kunden pro Woche wechseln 20% der A-Kunden nach B pro Woche wechseln 5% der B-Kunden nach A M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Diskussion Wie entwickeln sich die Kunden-zahlen über einen längeren Zeitraum? irgendwann kaufen alle Kunden die Zeitschrift B die Kundenzahlen oszillieren es stellt sich ein Gleichgewicht ein M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Übergangstabelle M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Übergangsgraph M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Baumdiagramm M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Erste Prognose Nach zwei Wochen A: 1280 + 20 + 120 + 142,5 = 1562,5 B: 320 + 380 + 30 + 2707,5 = 3437,5 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Entwicklung Untersuchen Sie die Entwicklung der Kunden-zahlen über einen Zeitraum von 10 Wochen. Verwenden Sie Excel !!! M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Excel-Eingabe =B5*(1-$B$1)+C5*$B$2 =C5*(1-$B$2)+B5*$B$1 Kopieren Einfügen M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Excel-Ergebnis M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Excel-Grafik M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Die Kundenzahlen von A sinken, die von B steigen. Zwischenbilanz Die Kundenzahlen von A sinken, die von B steigen. Fragen Hält diese Tendenz an? Hat A irgendwann keine Kunden mehr? Was passiert, wenn A zu Beginn mehr (noch weniger) Kunden hat ? M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Dynasys Modell Definitionen Startwerte A:=2000 B:=3000 Ventile A_nach_B:=0.2*A B_nach_A:=0.05*B M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Dynasys Simulationsparameter M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Dynasys Zeitdiagramm M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Dynasys Simulation M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Dynasys Tabelle M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Dynasys Simulation M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Dynasys Simulation über 50 Wochen M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Dynasys Anfangswerte A=4000 ; B=1000 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Dynasys Anfangswerte A=0 ; B=5000 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Dynasys Zeitliche Abhängigkeit der Änderungsraten M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Dynasys Vergleich von A und dA bei gleicher Skalierung M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Dynasys Vergleich von A und dA bei ungleicher Skalierung M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Schematisierung Aneu : 0,8·2000 + 0,05·3000 Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche: Aneu : 0,8·2000 + 0,05·3000 Bneu : 0,2·2000 + 0,95·3000 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Schematisierung Aneu : 0,8·2000 + 0,05·3000 Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche: Aneu : 0,8·2000 + 0,05·3000 Bneu : 0,2·2000 + 0,95·3000 Matrix M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Schematisierung Aneu : 0,8·2000 + 0,05·3000 Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche: Aneu : 0,8·2000 + 0,05·3000 Bneu : 0,2·2000 + 0,95·3000 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Schematisierung Aneu : 0,8·2000 + 0,05·3000 Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche: Aneu : 0,8·2000 + 0,05·3000 Bneu : 0,2·2000 + 0,95·3000 Vektor M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Schematisierung = Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche: M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Schematisierung = Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche: M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Schematisierung = Berechnung der Kundenzahlen nach einer Woche: alter Kunden-vektor neuer Kunden-vektor Übergangs-matrix M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Definition Ein rechteckiges Zahlenschema mit n Reihen und m Spalten heißt (n x m)-Matrix. Eine (n x 1)- bzw. (1 x m)-Matrix heißt auch Spaltenvektor bzw. Zeilenvektor M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Multiplikation Für das Produkt einer 2x2-Matrix mit einem 2x1-Vektor definieren wir M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Symbolisierung Für Vektoren verwenden wir Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber, für Matrizen Großbuchstaben. Anfänglicher Kundenvektor: Übergangsmatrix: M = Damit ergibt sich M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Eingabe bei Derive Eingabe Anzeige Zeilenvektor [1,2,3] Spaltenvektor [1;2;3] Matrix [1,2,3;4,5,6] M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Berechnung mit Derive Eingabe des anfänglichen Kundenvektors und der Übergangsmatrix. Initialisierung des Kundenvektors k. Berechnung des neuen Kundenvektors Eingabe abschließen durch Mausklick auf Approximieren. Keinesfalls die Enter-Taste verwenden!!! M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Berechnung mit Derive Durch mehrmaliges Klicken mit der Maus auf Approximieren erhält man eine Folge von Kundenvektoren, die die zeitliche Entwicklung des Kundenstamms zeigt. M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Iteration ® Bei der iterativen Berechnung von z.B. k2 haben wir gerechnet Sollte man das vielleicht auch so berechnen können? Dazu müsste eine Multiplikation von Matrizen definiert werden. M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Matrizenmultiplikation ® Wir berechnen k1 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Matrizenmultiplikation ® und dann k2 Das sollte dann M2 sein M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Matrizenmultiplikation Damit ergibt als Definition für die Multiplikation von zwei 2x2-Matrizen: M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Prognose Damit können wir nun Prognosen für beliebige Zeiträume auch ohne Iteration berechnen. Nach 10 Wochen: M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Berechnung mit Derive Eingabe Vereinfachen ergibt M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Berechnung mit Derive Eingabe Vereinfachen ergibt M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Berechnung mit Derive Eingabe Vereinfachen ergibt M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Stabiler Kundenvektor ® Offenbar beschreibt der Vektor ks= eine stabile Situation bzw. ein dynamisches Gleichgewicht. ® ® Mathematisch bedeutet dies ® Mit Hilfe dieser Gleichung sollte sich ks auch direkt berechnen lassen. M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Berechnung von ks ® ® Aus folgt Und daraus das LGS 0.8x + 0.05y = x 0.2x + 0.95y = y bzw. -0.2x + 0.05y = 0 0.2x - 0.05y = 0 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Berechnung von ks -0.2x + 0.05y = 0 0.2x - 0.05y = 0 Dieses LGS ist jedoch nicht eindeutig lösbar! Wir müssen aber auch noch x + y = 5000 berücksichtigen. Damit ergibt sich das LGS 0.2x - 0.05y = 0 x + y = 5000 mit der eindeutigen Lösung x=1000 und y=4000 M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Lösung mit Derive Eingabe Mit Mausklick auf „Eingeben und Vereinfachen“ erhält man die Lösung M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Ergebnis Die Kundenverteilung stabilisiert sich. ® Der stabile Kundenvektor ks lässt sich mit Hilfe der Gleichung M·ks=ks und der konstanten Kundensumme berechnen. ® ® Insbesondere ist das LGS nicht von einer speziellen Anfangsverteilung der Kunden abhängig. Also ist auch der stabile Kundenvektor unabhängig von der Anfangsverteilung der Kunden! M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Grenzmatrix Untersucht man mit Derive Potenzen der Überführungsmatrix, so stellt man fest, dass auch hier eine Stabilisierung stattfindet. Offenbar gilt mit der Grenzmatrix MG. M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Grenzmatrix Die Grenzmatrix überführt den Anfangsvektor direkt in den stabilen Vektor. Sowohl die Grenzmatrix als auch der stabile Vektor sind von einer speziellen Anfangsverteilung unabhängig. Statt der Gesamtzahl der Kunden (5000) kann man auch von einer Gesamtmenge von 100% bzw. 1 ausgehen. M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Grenzmatrix Der Anfangsvektor kann dann in der Form geschrieben werden. M. Bostelmann - Neuhäusel 2005

Grenzmatrix Durch Multiplikation mit der Grenzmatrix erhält man die erste bzw. zweite Spalte dieser Matrix: Daraus folgt: Die Spalten der Grenzmatrix stellen den stabilen Vektor dar. M. Bostelmann - Neuhäusel 2005