Wendepunkte Johannes-Kepler- Gymnasium Hinweis für den Lehrer: Eingangsfolie. Die Schüler nehmen Platz

Weitere markante Punkte? Wendepunkte. Lernangebot Weitere markante Punkte? Wendepunkte. Das Krümmungsverhalten eines Graphen.

Notwendige Bedingung: f‘(x0) = 0 f(x)= -2/3x3 +10x²+22x –20 Wie finden wir Hoch-/Tiefpunkte? f’(x)= -2x²+20x+22 Notwendige Bedingung: f‘(x0) = 0 Hinreichende Bedingung: f‘(x) = 0  VZW der ersten Ableitung -/+ TP +/- HP oder f’’(x)= -4x+20 f’’(x0) > 0 TP f’’(x)= -4x+20 f’’(x0) < 0 HP

f(x) = 1/20(x4 + 3x³- 10x²- 24x) f‘(x) = 1/20(4x³ + 9x²- 20x - 24) f‘‘(x) = 1/20(12x² + 18x – 20) notwendige Bedingung: f‘(x0) = 0 1/20(4x³ + 9x²- 20x - 24) = 0 mögliche Extremstellen bei: x = -3,2237; x = -0,9617; x = 1,9354 hinreichende Bedingung: f‘(x) = 0 und f‘‘(x)  0 f‘‘(-3,2237) = +2,33 > 0  Tiefpunkt f‘‘(-0,9617) = - 1,31 < 0  Hochpunkt f‘‘(1,9354) = +2,99 > 0  Tiefpunkt

Mit Derive

Anwendungsaufgabe: Kurvenlage Die beste Linie, längs der ein Rennfahrer sein Motorrad durch einen Rennkurs steuern kann, heißt Ideallinie. An welchen Stellen muss ein Rennfahrer seine Kurvenlage wechseln, wenn die Ideallinie durch f(x)= –0,05x4 + 1,2x² + 2 beschrieben wird (–5 ≤ x ≤ 5) ?

Die Stellen mit minimaler/maximaler Steigung heißen Wendestellen, Krümmung Perspektivwechsel Wendepunkte Hoch- und Tiefpunkte Die Stellen mit minimaler/maximaler Steigung heißen Wendestellen, denn dort wendet man beim Entlangfahren auf der Kurve den Lenker um: Übergang von Rechtskrümmung in Linkskrümmung oder umgekehrt.

Links- und Rechtskrümmumg Rechtskrümmung: Linkskrümmung: Steigung (also f’) nimmt ab Steigung (also f’) nimmt zu Vorzeichen von f’’ ist negativ Vorzeichen von f’’ ist positiv

Wendepunkt Wendestelle Wendepunkte Wendepunkt Wendestelle Die Lage der Wendepunkte gibt Auskunft über den Verlauf des Graphen, da diese Punkte Bereiche entgegengesetzter Krümmung voneinander trennen.

Alle Ableitungen . Wie finden wir Wendestellen? . f‘(x) Maximale Geschwindigkeit wird an der Maximumstelle der ersten Ableitung erreicht. . f‘‘(x) Also wenn: f’’(x) = 0 und VZW der zweiten Ableitung . oder f‘‘‘(x) f’’(x)=0 und f’’’(x)  0

Alle Ableitungen Wo ist die Geschwindigkeit am höchsten? f(x)= –0,05x4 + 1,2x² + 2 Maximale Geschwindigkeit wird an der Maximumstelle der ersten Ableitung erreicht. f’(x)= -0,2x³ + 2,4x f’’(x)=0 und VZW der zweiten Ableitung f’’(x)= -0,6x² + 2,4 oder f‘‘‘(x) = -1,2x f’’(x)=0 und f’’’(x)  0

Bei der Frage nach den Wendepunkten hat sich „alles um eine Ableitung Zusammenfassung Bei der Frage nach den Wendepunkten hat sich „alles um eine Ableitung verschoben“: Man betrachtet f’(x) statt f(x), f’’(x) statt f’(x), f’’’(x) statt f’’(x) und VZW der zweiten Ableitung statt VZW der ersten Ableitung. Notwendige Bedingung für mögliche Wendestellen: f’’(xw) = 0 Hinreichende Bedingung Nr. 1: f”(xw) = 0 ∧ VZW von f” Hinreichende Bedingung Nr. 2: f’’(xw) = 0 ∧ f’’’(xw) ≠ 0

Zu welchem Zeitpunkt ist das Tempo des Läufers maximal? Beispielaufgabe Zu welchem Zeitpunkt ist das Tempo des Läufers maximal? Weg-Zeit-Diagramm für einen 100m-Sprinter. Strecke in m t in sec s(t)=0,0056t4 – 0,2t3 + 2,4t2

Notwendige Bedingung für mögliche Wendestellen: s’’(t)= 0 Lösung s(t)=0,0056t4 – 0,2t3 + 2,4t2 Notwendige Bedingung für mögliche Wendestellen: s’’(t)= 0 0,0672t²-1,2t + 4,8 = 0 Ergebnis: t1 ≈ 6,049 t2 ≈ 11,808 sind die möglichen Wendestellen Genauere Prüfung mit der hinreichenden Bedingung: s’’(t)=0 ∧ s’’’(t)≠0 s’’’(6,049) = -0,3870144 < 0 also max. Geschwindigkeit für t1= 6,049s (relatives Maximum der Geschwindigkeit) s’’’(11,808) = 0,3869952 > 0 also min. Geschwindigkeit für t2 = 11,808s (relatives Minimum der Geschwindigkeit)

Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

Die Fragen Wie finde ich Wendepunkte? Wie finde ich heraus, ob ein Graph an einer Stelle eine Links- oder eine Rechtskrümmung besitzt?

LBS S. 148 Nr. 8b Stunde 1 2 BASICs LBS S. 148 Nr. 2a, b AB A2 Aufgaben Stunde 1 2 BASICs LBS S. 148 Nr. 2a, b AB A2 LBS S.148 Nr. 4h, 5f TOPs AB A1, A3 LBS S. 148 Nr. 8a LBS S.148 Nr. 9 LBS S. 151 Nr. 10  LBS S. 148 Nr. 8b