Variationsformalismus für das freie Teilchen Thema: Variationsformalismus für das freie Teilchen

Vortragsteile: 1. Mathematische Methode für das Variationsproblem 2. Physikalische Anwendung der Variationsrechnung 3. Beispiel für eine Variationsaufgabe

1. Mathematische Methode für das Variationsproblem Ausgangssituation: Gegeben: Eine integrierbare Funktion F= F(y(x),y´(x)) Gesucht: Eine Funktion y= y(x), mit der Eigenschaft, daß das Wirkungsintegral extremal wird.

Lösung des Problems: Wir verfahren so, als würden wir die Lösung bereits kennen. Die Lösung des Problems sei y(x). Suche nun eine Gleichung zur Bestimmung von y(x):

Ansatz: Wähle die Parameterdarstellung als Gesamtheit aller physikalisch sinnvollen Wege. η(x) ist hierbei eine stetig differenzierbare Funktion, welche die Randbedingung η(x1) = η(x2) erfüllt

Man betrachte die folgende Skizze:

Die gesuchte Kurve ist somit y(x,0). Die Bedingung für einen Extremwert des Wirkungsintegrals ist: Setze nun die gewählte Parameterdarstellung in das Funktional F ein und werte das Wirkungsintegral aus:

Eingesetzt in die Extremwertbedingung ergibt: Man erhält: Eingesetzt in die Extremwertbedingung ergibt: y(x,a) ist nach Voraussetzung stetig differenzierbar in beiden Variablen, genau wie F(y(x),y`(x)) -> Differentiation kann in Integral gezogen werden.

Die ergibt dann: Man betrachte das Integral ziehe dieses auseinander

Partielle Integration des zweiten Integrals liefert: Mit der obigen Randbedingung verschwindet der ausintegrierte Term Man erhält somit:

Nach Voraussetzung war η(x) eine beliebige Funktion, also insbesondere nicht immer =0, somit muß gelten: Diese Gleichung ist die gesuchte Bestimmungsgleichung für y(x) (Euler– Lagrange- Gleichung), eine DGL 2.Ordnung.

Einfachere Schreibweise: Definiere Variation einer Funktion y(x): Variation δy(x) (für lim a -> 0):

Damit lassen sich Variationsprobleme formulieren als: Wobei in F jederzeit Zwangsbedingungen mittels Lagrange- Multiplikatoren miteinbezogen werden können.

2. Physikalische Anwendung der Variationsrechnung Vorbemerkungen: Betrachte freies Teilchen als Punktmasse Benötige für Beschreibung der Lage von N Massepunkten N Vektoren -> 3 N Koordinaten -> 3 N unabhängige Freiheitsgrade Massepunkte können durch Zwangsbedingungen „gekoppelt“ sein Reduktion der unabhängigen Freiheitsgrade um Anzahl der Zwangsbedingungen (holonom) Unabhängige Freiheitsgrade ≡ verallgemeinerte Koordinaten

Ableitungen der verallgemeinerter Koordinaten ≡ verallgemeinerte Geschwindigkeiten Zur Bestimmung der mechanischen Zustandes eines Systems wird die Angabe sämtlicher verallgemeinerter Koordinaten und Geschwindigkeiten benötigt Beziehung zwischen Koordinaten und Geschwindigkeiten = Bewegungsgleichung -> Bahngleichungen für Massenpunkte => Suche also Methode zum Aufstellen der Bewegungsgleichung

Ausgangspunkt: Hamilton- Prinzip/ Prinzip der kleinsten Wirkung: Jedes mechanische System ist durch bestimmte Funktion (Lagrange Funktion) charakterisiert. Annahme: System nimmt zu Zeitpunkten t= t¹ und t= t² Zustände q¹ bzw. q² ein. Bewegung des Systems zwischen den Lagen q¹ u. q² verläuft so, daß die Wirkung minimal wird

(„i“ ist hierbei ein Laufindex, der alle Freiheitsgrade durchläuft) Suche nun mit Variationsrechnung die Bestimmungsgleichung für die Bewegungsgleichung: Beim Hamiltonprinzip wird die Zeit nicht variiert, es gilt: δt = 0 (heißt: System durchläuft Bahnpunkt und variierten Bahnpunkt zur gleichen Zeit) Man geht nun vom Wirkungsintegral aus und führt die Variation entsprechend Kapitel 1 durch. Als Variation der Wirkung ergibt sich also: („i“ ist hierbei ein Laufindex, der alle Freiheitsgrade durchläuft)

(es sei an die Skizze in Kapitel 1 erinnert) Für die Variation der verallgemeinerten Koordinaten ergibt sich: Wobei wiederum die Randbedingung gelten muß. (es sei an die Skizze in Kapitel 1 erinnert)

Man ziehe das Integral auseinander und betrachte das zweite Integral Unter Verwendung der Tatsache, daß die Zeit eine Invariante ist, erhält man für die Variation der Wirkung (unter Verwendung der vereinfachten Schreibweise aus Kapitel 1) Man ziehe das Integral auseinander und betrachte das zweite Integral (riecht nach partieller Integration)

(im folgenden wird die Integration zur besseren Veranschaulichung nur für eine verallgemeinerte Koordinate ausgeführt) Für die Variation der verallgemeinerten Geschwindigkeiten gilt: Man setzt diese Identität in das zweite Integral ein, und integriert dieses partiell

Die partielle Integration liefert: Unter Verwendung der alten Randbedingung verschwindet der ausintegrierte Term wieder

Es folgt also für die Variation der Wirkung: Da die Variation der verallgemeinerten Koordinaten beliebig gewählt werde kann, muß gelten:

Erhalte die Lagrange- Gleichung Stellt die Bewegungsgleichung des Systems dar Ist System von s gewöhnlichen DGL`en 2. Ordnung Allgemeine Lösung enthält 2s frei wählbare Konstanten (Anfangsbedingungen) -> mechanisches Zustand dadurch vollständig festgelegt Bewegungsgleichungen invariant unter Multiplikation der Lagrange- Fkt. mit Konstanten (↔ Beliebigkeit der Maßeinheiten)

Bemerkung zur Lagrange- Fkt. u. Lagrange- Gl. Betrachte zwei Lagrange- Fkt.en, L u. L´, die sich nur durch eine totale zeitliche Ableitung einer beliebigen Funktion unterscheiden: Die Wirkung von L` ist dann: Man sieht, daß sich beide Wirkungen nur durch ein konstantes Zusatzglied unterscheiden.

Bei Variation der Wirkungen verschwindet das Zusatzglied Es gilt δS´=δS=0 => Form der Bewegungsgleichung invariant unter Addition einer totalen zeitlichen Ableitung einer beliebigen Fkt.

3. Beispielaufgabe: Kettenlinie Eine Kette von konstanter Dichte σ (Masse pro Längeneinheit: σ= dm/ ds) und der Länge l hängt im Schwerefeld zwischen zwei Punkten P¹ (x¹,y¹) und P² (x²,y²). Gesucht ist die Form der Kurve unter der Annahme, daß die potentielle Energie der Kette minimal wird.

Zusammenfassung Mechanisches System durch Lagrange- Fkt. L charakterisiert Hamilton –Prinzip: Bewegung verläuft so, daß Wirkung S extremal wird (Minimum) Variation δS ergibt über partielle Integration, Randbedingungen und Vertauschbarkeit von Variation und Differentiation die Lagrange- Gleichung Lagrange- Gleichung ↔ Bewegungsgleichung