Das Pascalsche Dreieck

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Präsentation transkript:

Das Pascalsche Dreieck Diese Präsentation wurde von Prof. H.-O-Peitgen, Universität Bremen, entworfen.

Blaise Pascal Das Pascalsche Dreieck 1653 1623 - 1662

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Nur 1’sen. Summiere auf: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 Natürliche Zahlen 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 Natürliche Zahlen. Summiere auf: 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 1 1 Dreieckszahlen 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 1 1 1 2 1 Tetraeder Zahlen 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 Hockey Schläger 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Zeilensummen 1 1 1 2 1 1 2 4 1 2 1 3 1 3 3 8 1 1 4 6 4 16 1 1 5 10 10 5 1 32 1 6 15 20 15 6 1 64 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 Beweis? 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Potenzen von (a+b) 1 2 3 Beweis? 1 a+b a2+2ab+1b2 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 a+b a2+2ab+1b2 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 a3 +3 a2 b+3ab2+1b3 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 Beweis? 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Potenzen von (1+x) 1 2 3 Beweis? 1 1+x 1+2x+1x2 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 1+x 1+2x+1x2 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 1+3x+3x2+1x3 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 Beweis? 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Potenzen von 11 1 11 121 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Koordinatensystem n 1 2 c(n,k) 1 3 2 4 3 5 4 k 5 1 1 1 c(n+1,k) = Koordinatensystem n 1 1 2 c(n,k) 1 1 1 3 c(n+1,k) = c(n,k) + c(n,k-1) 2 1 2 1 4 c(n,0) = 1 1 3 3 3 1 c(n,n) = 1 5 1 4 6 4 1 4 k 1 5 10 10 5 1 5 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1

1 + 2 = 3

3 + 3 = 6

6 + 4 = 10

10 + 5 = 15

15 + 6 = 21

1

1 + 3 = 4

4 + 6 = 10

10 + 10 = 20