Beweiser für quantifizierte Boolesche Ausdrücke - QUAFFLE Universität Bremen Fachbereich 3 Beweiser für quantifizierte Boolesche Ausdrücke - QUAFFLE Arman Allahyari-Abhari

Leitfaden Grundlagen (SAT) Grundlagen (QBF) QUAFFLE-Algorithmik Performance Zusammenfassung

Formalismen (SAT) Eine CNF hat die Form: , wobei als Klausel bezeichnet wird und eine Disjunktion von Literalen ist, also die Form hat. Ein Literal ist eine Variable in positiver oder negativer Phase.

SAT-Problem Sei eine Boolesche Formel f in CNF gegeben. Das Erfüllbarkeitsproblem (kurz: SAT) stellt die Frage, ob es eine Belegung gibt, so dass f = 1 ist. SAT ist NP-Vollständig (Cook, 1971) Hohe Laufzeitkomplexität Erst: Davis-Putnam-Algorithmus (Mem. Blowup) Später: Davis-Logemann-Loveland (CPU)

Algorithmus von Davis, Logemann & Loveland (SAT) Gegenüber DP-Algorithmus wesentlich geringerer Speicherbedarf Modularer Aufbau (gut erweiterbar) Neuer Flaschenhals: CPU Reiner DLL-Algorithmus für aktuelle Probleme noch zu langsam

Fortschritte in SAT Basis: DLL-Algorithmus (Dann: GRASP, Chaff, BerkMin) Verbesserungen: Learning durch Konflikte (CBE) Verbessertes Backtracking (FDA, CDB) Optimierte Boolean Constraint Propagation Bessere Entscheidungsheuristiken (VSIDS) Database Management (Clause Aging/Deletion, …) Restarts …

Formalismen (QBF) Eine quantifizierte Boolsche Formel (QBF) hat die Form: , wobei eine aussagenlogische Formel mit den Variablen ist. Im Folgenden wird in KNF vorliegen. ist entweder ein Existenzquantor oder ein Allquantor . Die Quantifizierungsreihenfolge ist zwingend einzuhalten

Formalismen (QBF) #2 Da und , können gleichquantifizierte Variablen mit der selben Priorität in disjunkten Mengen zusammen-gefasst werden: Für den Quantor haben alle in enthaltenen Variablen das Quantifizierungs-Level j.

Augmented CNF Ein cube ist eine Konjunktion von Literalen: Eine ACNF ist eine mit (redundanten) cubes erweiterte Darstellung der CNF für QBF: Wenn ein erfüllt ist, dann ist auch die CNF erfüllt

Besondere Klauseln/Cubes Eine tautology clause ist eine Klausel, die beide Phasen einer Variablen enthält (Klausel erfüllt) Ein empty cube ist ein Cube, der beide Phasen einer Variablen enthält (Cube unerfüllbar)

Weitere Definitionen/Konventionen E(C) und E(S) stellen die Menge der existenziellen Literale und U(C) und U(S) die der universellen Literale in der Klausel C bzw. dem Cube S dar. Existenzielle Literale werden durch a,b,c, usw. und Universelle duch x,y,z, usw. dargestellt

Zusammenhang von SAT & QBF SAT ist spezieller Fall von QBF, da SAT-Probleme implizit nur Existenz-Quantoren enthalten Entwicklung im Bereich SAT ist in den letzten Jahren weit fortgeschritten (DP, DLL, GRASP, Chaff, BerkMin) Ziel: SAT-Techniken erweitern, so dass diese auch auf QBF anwendbar sind

QUAFFLE – Ein QBF-Solver Release: Sept. 2002 Authoren: L. Zhang, S. Malik (Chaff) Webseite: http://www.princeton.edu/~chaff/quaffle.html Benchmarks: http://www.qbflib.org Schwerpunkt: effizientes Learning

Davis-Logemann-Loveland für QBF Die Branch-Prozedur muss die Reihenfolge der Quantifizierungen einhalten Die deduce-Prozedur muss eine erweiterte Implikationsregel nutzen Wurde nun eine erfüllende Belegung gefunden, so ist die Suche nicht beendet: Beide Branches von universellen Variablen müssen erfüllt sein Backtrack, Flip und weiter

Davis-Logemann-Loveland für QBF //Variable entscheiden //Implikation //Konfliktbehandlung //Behandlung von //SAT–Fällen //Ende des Implikationsdurchlaufs //Terminierung

Konflikt-/SAT-Behandlung analyse_conflict() sucht die am Konflikt beteiligte existenzielle Variable mit dem höchsten decision level, flippt diese und gibt das decision level zurück analyse_SAT() sucht die universelle Variable mit dem höchsten decision level, flippt diese und gibt das decision level zurück

Wichtig Regeln auf Klauseln lassen ausschließlich Folgerungen auf existenzielle Literale zu Regeln auf Cubes lassen ausschließlich Folgerungen auf universelle Literale zu

Konfliktregel für non-tautology clauses Gilt für eine non-tautology clause C (1) (alle existenziellen Literale haben den Wert 0) (2) (kein universelles Literal hat den Wert 1) dann ist C eine conflicting clause (aktueller Zweig unerfüllbar).

Implikationsregel für non-tautology clauses Gilt für eine non-tautology clause C mit Literal a (1) alle existenziellen Literale außer a haben den Wert 0, a ist unzugewiesen. (2) kein universelles Literal hat den Wert 1. Wenn ein solches Literal unzugewiesen ist, ist sein Quantifizierungs-Level größer als das von a. dann muss a den Wert 1 haben.

Satisfying rule für non-empty cubes Gilt für einen non-empty cube S (1) alle universellen Literale haben den Wert 1 (2) kein existenzielles Literal hat den Wert 0. dann muss der Klausel-Term erfüllt sein. Wegen redundanz ziehen beide Regeln für cubes auch

Implikationsregel für non-empty cubes Gilt für einen non-empty cube S mit Literal x (1) alle universellen Literale außer x haben den Wert 1, x ist unzugewiesen. (2) kein existenzielles Literal hat den Wert 0. Wenn ein solches Literal unzugewiesen ist, ist sein Quantifizierungs-Level größer als das von x. dann muss x den Wert 0 zugewiesen bekommen (Immer universelle Variablen), damit der Zweig abgeschnitten wird (SAT-Learning). Implikation bei klauseln zu 1 und bei cubes zu 0

Conflict Driven Learning Ziel: Gemachte Fehler (falsche Branches) in Form von neuen Klauseln festhalten, um so den Suchraum zu verringern Verbesserung der analyse_conflict()-Routine Lernen durch Resolution der beteiligten Klauseln

Resolution Gegeben seien zwei Klauseln und . enthält die Literale und die Literale . Die Literale und gehören der selben Variablen an, haben aber verschiedene Phasen. Durch Anwendung von Resolution erhält man eine neue Klausel . Erzeugte Klausel redundant zu C1 und C2. -> neue Klausel kann zur Klauseldatenbank hinzugefügt werden, ohne Formel bezüglich Ihrer Erfüllbarkeit zu verändern.

Conflict Driven Learning //Konflikt- diagnose

SAT-basiertes Lernen Wenn erfüllende Belegung für Klausel-Term gefunden, nicht unbedingt Lösung der QBF (Allquantoren) Problem: SAT-Ansätze fokussieren auf Konflikte. Keine Technik für erfüllende Belegungen, die Allquantoren nicht erfüllen, zu lernen. Neuer Ansatz: Satisfiability-Directed Learning

Cube-Generierung Wenn erfüllende Belegung für Klausel-Term gefunden, diese als cube an die ACNF anfügen: Beispiel: ist erfüllende Belegung. Zugehörigen cube in die ACNF einfügen: Heuristiken entscheiden, welche hinzugef. werden

Cube-Generierung //Cube-Generator //SAT-Analyse

Perfomance (1) - Quaffle im Vergleich mit anderen QBF-Solvern

Performance (2)

Zusammenfassung Tritt ein Konflikt auf, wird eine Klausel gelernt, die unerfüllbare Zweige abschneidet Tritt ein SAT-Fall ein, wird ein Cube gelernt, der erfüllbare Zweige abschneidet Satisfiability-Directed-Learning nur für Instanzen sinnvoll, die viele erfüllbare Zweige mit vielen universellen Quantoren haben.

Vielen Dank!