Komplexität und Phasenübergänge

Präsentation zum Thema: "Komplexität und Phasenübergänge"—  Präsentation transkript:

1 Komplexität und Phasenübergänge
Automatic Problem Solving Institut für Informatik Universität Potsdam WS 05/06 Thomas Hofmann

2 Komplexität Ressourcenaufwand (Rechenschritte oder Speicherplatzbedarf) des besten Algorithmus für ein gegebenes Problem wächst mit Länge der Eingabegrösse n, aber wie? Skalierbarkeit Polynomialzeit: was rechentechnisch praktisch möglich ist Einteilung in Komplexitätsklassen wichtigste Frage der Komplexitätstheorie NP≠P

3 Satz von Cook SAT ist NP vollständig
alle Probleme aus NP lassen sich in polynominaler Zeit auf das SAT-Problem reduzieren Beweisidee NP-Probleme sind auf einer nichtdeterministischen Turing-Maschine in polynominaler Zeit lösbar Turing-Maschine durch aussagenlogische Formeln beschreiben ist genau dann erfüllt wenn die Maschine eine Lösung findet Konstruktion geht in Polynominalzeit

4 Beweismethode DNF A = p v Q v S
Q : zu jedem Zeitpunkt kann es nur einen aktiven Zustand geben S : jedes Feld kann nur ein Symbol aufnehmen p : ist wahr wenn ein Feld zu einem bestimmten Zeitpunkt ein bestimmtes Symbol enthält B,C,D : setzen p,Q und S durch E : sorgt für richtige Startbedingungen F,G,H : sorgen dafür das die Werte richtig aktualisiert werden

5 NP = P ? P Probleme sind mit deterministischen Turing Maschinen in p. Zeit lösbar, NP nichtdeterministisch in p. Zeit lösbar P ≤ NP aber ist auch P ≥ NP? wenn ein Problem aus NP in P, dann alle NP-vollständige Probleme lassen sich vermutlich nicht effizient lösen

6 Phasenübergänge Motivation:
Goldberg(1979); SAT ist im Durchschnitt in O(n²) lösbar NP: worst case scenarios Bestimmung von „average cases“ and „hard cases“ Qualität des Generierungsverfahren der Formelmenge und deren Bezug zu realen Problemen analytisch ist es nicht beweisbar, (n → ∞)

7 Generierungsverfahren
Formellänge K, Zeilen M, Variablen N, Zeilen / Variablen c zufällig generierte Formeln in CNF random K-SAT random mixed-SAT costant probability model (P) random [k,l]-SAT kritischen Wert für c (L/N) Davis-Putnam procedure

8 easy-hard-easy pattern and over- / underconstrained
„the hardest area for satisfiability is near the point where 50% of the formulars are satisfiable“ [4] S.461

9 SAT-Solver mit konstanter Formellänge

10 3-SAT mit unterschiedlicher Variablenanzahl

11 Schlussfolgerung scharfe Transition bei der Erfüllbarkeitsfrage
an diesem Übergang liegen die schwerstlösbaren Probleme Schwierigkeiten bei gemischter Klausellänge crossover-point Übertragbarkeit der Ergebnisse auf andere SAT-Solver

12 Quellen- und Abbildungsverzeichnis
[1] Stephen A. Cook; „The complexity of Theorem-Proving Procedures“; 1971 [2] Ian P. Gent and Toby Walsh; „The SAT Phase Transition“;1994 [3] David G. Mitchell and Hector J. Levesque; „Some Pitfalls for Experimenters with Random Sat“; 1995 [4 ] David G. Mitchell, Bart Selman and Hector J. Levesque; „Hard and Easy Distributions of SAT Problems“; 1992 Internetquellen: Abbildungen: S.9 und S.10 [3] S S.4, S.6 S.8 [4] S.462