Semantik und Pragmatik Übung 2 Modelle Frank Schilder

Einführung Die Aussagen- und Prädikatenlogik ist eine formale Beschreibungsprache zur Darstellung von semantischen Inhalten. Natürlich-sprachliche Sätze können durch Formeln der Aussagenlogik bzw. Prädikatenlogik beschrieben werden. Peter kommt nicht zur Vorlesung. ÿkommen(Peter,Vorlesung) Alle Vorlesungen sind interessant. "x vorlesung(x) Æ interessant(x)

Struktur der Übung Wie schreibt man ein PROLOG Programm, das Modelle erster Ordnung überprüft? Definition des Vokabulars Repräsentation der Modelle Darstellung der Formeln Spezifikation der Formel-Evaluierung Erster Ansatz Probleme Lösung

Logik erster Ordnung Warum Logik? Formale Beschreibung von Sachverhalten Entscheidungsverfahren: Wann ist eine Beschreibungen in einer Situation wahr oder falsch! Ziel: Entscheiden, ob bestimmte Beschreibungen in einer gegebenen Situation wahr oder falsch sind! Vorgehen: Formeln erster Ordnung erstellen und einen Evaluierungsprozeß entwickeln.

Fragen zur Aussagenlogik Was ist Erfüllbarkeit? Wie kann der Formalismus in PROLOG programmiert werden (Model Checker)? Was ist das Vokabular? Wie werden Modelle repräsentiert? Wie können Aussagen ausgewertet werden? Erste Grundvoraussetzung: Wir benötigen ein Vokabular bestehend aus n-stelligen Relationen und Konstanten (Namen): {(like,2),(cute,1),(bond,0)...}

Modelle Ein Modell M = (D,F) besteht aus zwei Teilen: Eine Ansammlung an Entitäten, auf die sich das Modell beziehen soll (die Domäne D). Eine Zuordnung, die uns genau sagt, wie die Symbole des Vokabulars zu interpretieren sind (die Interpretationsfunktion F ). Sei D = {d1,d2,d3,d4} Dann kann F wie folgt aussehen: F(bond) = d1,F(loren)=d2, F(pavarotti)=d3, F(likes)={(d1,d2),(d2,d3)}

Logik erster Ordnung Eine Sprache erster Ordnung ist definiert durch: Alle Symbole des Vokabulars (die nicht-logischen Symbole) Eine abzählbare Menge an Variablen x, y, z... Die Boolschen Konnektoren ¬ (Negation), & (Und),  (Oder)und  (Implikation). Die Quantoren (All-) und (Existenzquantor) Die Klammern ) und ( und das Komma.

Wohlgeformte Formeln Eine Formel ist wohlgeformt (well formed formula, wff ) nach der Definition: Alle atomaren Formeln sind wffs. Falls und  wffs sind, sind es auch ¬ ( &  und ( Falls  eine wff ist und x eine Variable, dann sind x  als auch x  wffs. Das sind alle wffs.

Logische Konzepte: Erfüllbarkeit Erfüllbarkeit ist definiert bezüglich einer Formel  einem Modell M = (D,F) und einer Wertzuweisungsfunktion g für Variablen Sei t ein Term, dann wird dieser Term interpretiert als F(t), falls t eine Konstante ist. als g(t), falls t eine Variable ist. Allgemein schreiben wir Ig/F(t)

Def. Erfüllbarkeit M,g R(t1,...,tn) gdw. (Ig/F(t1),...Ig/F(tn)) Œ F(R) M,g ¬  gdw. nicht M,g  M,g  &  gdw. M,g  und M,g  M,g    gdw. M,g  oder M,g  M,g    gdw. nicht M,g  oder M,g  M,g x  gdw. M,g‘ , für einige x- Varianten g‘ von g M,g x  gdw. M,g‘ , für alle x- Varianten g‘ von g

Freie und gebundene Variablen Variablen werden durch Quantoren gebunden: ¬ (gluecklich(x) x (male(x) & essen(x,ue-eier))) FREI GEBUNDEN Eine Formel ohne freie Variablen heißt Satz. Eine freie Variable ist analog zu einem Pronomen in dem folgenden Satz: Peter ißt sein drittes Ü-ei. Er ist glücklich.

Vorgehen Umsetzung einer formalen Beschreibung in ein PROLOG-Programm Verstehen des Unifikationmechanismus und des backtracking in PROLOG Erkennen von Schwierigkeiten bei der Implementation

Definition des Vokabulars Formal besteht ein Vokabular aus n-stelligen Relationen und Konstanten: {(like,2),(happy,1),(bond,0),(loren,0)} In PROLOG erfolgt die Darstellung als... Klauseln in der Datenbasis: relation(like,2). constant(loren). relation(eat,2). constant(bond). relation(boring,1).constant(pavarrotti). relation(cute,1). constant(peter). relation(happy,1). constant(ue-eier).

Repräsentation der Modelle Können alle Modelle dargestellt werden? Nein, da es unendlich viele gibt! Wie sieht die Darstellung der Domäne aus? Alle Elemente der Domäne erhalten einen Namen! Die Modelle sind exakt! Wie können finite und exakte Modelle repräsentiert werden? als Liste: [cute(bond), like(loren,bond)] Wieviele Individuen? Negatives Wissen? (z.B. ÿcute(loren))

Darstellung der Formeln Wie werden Variablen dargestellt? Wie werden Konstanten und Relationensymbole repräsentiert? Als PROLOG- Variablen: X oder _v als PROLOG-Atome happy(loren)

Formeln: Junktoren Wie werden die boolschen Junktoren dargestellt? als Operatoren (Neu: In SWI-Prolog 3.3.0 sind Operatoren lokal in dem Modul definiert!) :- op(900,yfx,user:(>)), op(850,yfx,user:(v)), op(800,yfx,user:(&)), op(750,fx,user:(~)). Wie werden die Quantoren repräsentiert? forall(X,cute(X)) und exists(Y,boring(Y))

Evaluierung der Formeln Die Formel enthält Fakten, die das Modell zur Verfügung stellt (z.B. glücklich(loren)): satisfy(Formula,Model):- member(Formula,Model). Der boolschen Junktoren & und v sind in model1.pl definiert als: satisfy(Formula1 & Formula2, Model):- satisfy(Formula1,Model), satisfy(Formula2,Model). satisfy(Formula1 v Formula2, Model):- satisfy(Formula1,Model); satisfy(Formula2,Model).

Evaluierung von negierten Formeln Die Negation wird mit Hilfe der PROLOG negation \+ überprüft: satisfy(~Formula, Model):- \+satisfy(Formula,Model). Entsprechend wird die Implikation (AÆB ∫ÿA⁄B) abgeprüft: satisfy(Formula1 v Formula2, Model):- satisfy(Formula2,Model); \+satisfy(Formula1,Model).

Testen der Modelle Die Modelle sind als als example/2 abgespeichert: example(1,[cute(bond), cute(loren)...]). example(2,[cute(loren),..]). Der Aufruf erfolgt mit evaluate/2: evaluate(Formula,Example):- example(Example,Model), satisfy(Formula,Model).

Problem 1 und Lösung Was passiert mit ?- evaluate(X,1). Das Programm landet in einer Unendlichkeits- Schleife Wieso? Lösung: Die Klausel evaluate/2 ändern und Variablen abfangen: evaluate(Formula, Example):- \+var(Formula), example(Example,Model), sem(Formular,Model).

Problem 2 Wir testen cute(X) für Modell 1: ?- evaluate(cute(X),1). X=bond; X=loren Wir testen ~cute(X) für Modell 1: PROLOG antwortet No! Grund: Negation as failure! Lösung? Instantiieren der PROLOG-Variablen mit den Konstanten aus dem Modell.

Problem 3 Was passiert mit Anfragen, die Symbole beinhalten, die nicht im Modell sind? ?- evaluate(happy(goldfinger),1). Die Antwort ist No. Aber die Anfrage nach ?- evaluate(~happy(goldfinger),1). wird mit Yes beantwortet! Lösung? Überprüfen der Wohlgeformtheit der Formel

Zusammenfassung Umsetzung eines Formalismus mittels PROLOG: Repräsentation des Vokabulars Evaluierung der Formeln Probleme entstanden durch Variablen Negation as failure Unbekannte Konstanten Lösung der Probleme durch Abprüfen der Wohlgeformtheit der Ausdrücke!

Quellen Literatur: Uwe Schöning. Logik für Informatiker. Spektrum Akad. Verlag, Oxford, 1995, Kapitel 1. L.T.F. Gamut. Logic, Language, and Meaning, Vol. 1, Chicago Press, 1991, chapter 2. Sourcecode für exampleModels.pl/model1.pl: /home/wsv_1/schilder/SemPrag/Models