Semantik von Prolog & Unifikation

Semantik von Prolog & Unifikation
Prolog Grundkurs WS 99/00 Christof Rumpf

GK Prolog - Semantik, Unifikation
Syntax & Semantik Die Syntax einer Sprache beschreibt die Menge der wohlgeformten Ausdrücke, die zu dieser Sprache gehören. Die Semantik einer Sprache beschreibt, wie die Ausdrücke der Sprache interpretiert werden sollen. GK Prolog - Semantik, Unifikation

Semantik von Prolog Die Semantik eines Prolog-Programms wird beschrieben durch die Menge aller beweisbaren Anfragen, die nicht zusammengesetzt sind, d.h. aus einem einfachen Beweisziel bestehen und keine Variablen enthalten (ground goals). GK Prolog - Semantik, Unifikation

Intention und Realität
M sei die Menge aller Abfragen, die ein Programmentwickler gerne abgeleitet hätte. P sei ein Prolog-Programm. M(P) sei die Menge aller Abfragen, die auf Basis von Programm P ableitbar sind. GK Prolog - Semantik, Unifikation

Korrektheit und Vollständigkeit
P ist korrekt: M(P)  M P ist vollständig: M  M(P) P ist vollständig und korrekt: M = M(P) GK Prolog - Semantik, Unifikation

Programmentwicklung Programmieren in Prolog ist ein kreativer Prozeß mit dem Ziel M(P) = M. Leider lassen sich Korrektheit und Vollständigkeit von Programmen i.d.R. nur annähernd durch Testen überprüfen. GK Prolog - Semantik, Unifikation

Berechenbarkeit Ein Problem ist entweder berechenbar oder nicht berechenbar. Ein Problem gilt als berechenbar, wenn es mit einem Berechnungsverfahren (Algorithmus) gelingt, das Problem in endlich vielen Schritten zu lösen. GK Prolog - Semantik, Unifikation

Churchsche Hypothese Die Klasse der intuitiv berechenbaren Funktionen stimmt genau mit der Klasse der Funktionen überein, die durch eine Turing-Maschine berechnet werden können. (sinngemäß nach Alonzo Church, 30er Jahre) GK Prolog - Semantik, Unifikation

Turing-Maschine Schreib- unendliches Band Lesekopf x y z # endliche Kontrolleinheit GK Prolog - Semantik, Unifikation

Halteproblem, Entscheidbarkeit
Es gibt kein allgemeines Verfahren, das für eine gegebene Turing-Maschine entscheidet, ob sie bei der Berechnung des Problems hält. Prolog ist äquivalent zur Turing-Maschine. GK Prolog - Semantik, Unifikation

Komplexität Die berechenbaren Probleme lassen sich abhängig vom verwendeten Algorithmus in verschiedene Komplexitätsklassen einteilen. Das Maß für die Komplexität ist die Anzahl benötigter Berechnungsschritte abhängig von der Eingabegröße (Anzahl der involvierten Objekte). GK Prolog - Semantik, Unifikation

Komplexitätsklassen Problem: Sortieren einer Liste mit n Elementen. Komplexität (Wachstum): n linear geht nicht n log n logarithmisch sehr gut n2 quadratisch gut 2n exponentiell schlecht GK Prolog - Semantik, Unifikation

Effizienz Die Klasse P der Verfahren, deren Komplexität durch ein Polynom beschränkt ist, gelten als effizient. Die ineffizienten Verfahren liegen in der Klasse NP. Polynom: aknk + ak-1nk a1n + a0, ai, n, k  N GK Prolog - Semantik, Unifikation

Effizienz in der Praxis
Von manchen (enscheidbaren) Problemen sagt man, daß es keine effizienten Verfahren zu ihrer Lösung gibt (z.B. SAT, TSP). Andererseits kann man Probleme, für die es effiziente Verfahren gibt, auch ineffizient lösen. Solche Verfahren nennt man naive Verfahren (z.B. Permutationssortieren). GK Prolog - Semantik, Unifikation

Die (Term-)Unifikation ist eine Operation auf Termen. : T  T  T  T Entweder gelingt die Unifikation mit dem Ergebnis, daß die beiden Terme dann gleich sind, oder sie scheitert. GK Prolog - Semantik, Unifikation

Unifikationsoperator
Anfragen ?- p(a,X) = p(Y,b). X = b Y = a yes ?- p(a,X) = p(b,Y). no Prolog hat ein eingebautes Prädikat =/2, das dann beweisbar ist, wenn die Unifikation der Terme gelingt. Variablen werden substituiert (instantiiert). GK Prolog - Semantik, Unifikation

Substitution Eine Substitution ist eine endliche Menge von Paaren xi = tj, wobei gilt: xi sind Variablen ti sind Terme xi  xj für alle i  j (eindeutige Belegung) xi kommt nicht in tj vor, für jedes i und j (zyklische Terme, Occur-check) GK Prolog - Semantik, Unifikation

Unifikator Ein Unifikator zweier Terme ist eine Substitution, die die beiden Terme identisch macht. Der allgemeinste Unifikator (MGU) enthält nur die Paare in der Substitution, deren Elemente aus den beiden Termen kommen. GK Prolog - Semantik, Unifikation

Instanz Ein Term A ist eine Instanz von Term B, wenn es eine Substitution  gibt, so daß A = B  z.B. A = vater(abraham, isaac) B = vater(X , Y )  = {X=abraham, Y=isaac} GK Prolog - Semantik, Unifikation

Unifikation von Variablen
Prolog-Variablen sind mit beliebigen Termen unifizierbar, also mit Variablen Atomen Zahlen Strukturen GK Prolog - Semantik, Unifikation

Atome und Zahlen Atome und Zahlen sind jeweils nur mit syntaktisch identischen Atomen und Zahlen (sowie mit Variablen) unifizierbar. a = a yes isaac = isaac yes isaac = isaaac no 1 = 1 no 2.4 = 2.4 yes 1 = 1.0 no GK Prolog - Semantik, Unifikation

Strukturen Strukturen sind unter den folgenden Bedingungen miteinander unifizierbar: Die Namen der Funktoren sind identisch. Die Argumentanzahl ist identisch. Das i-te Argument der einen Struktur ist mit dem i-ten Argument der anderen Struktur unifizierbar. GK Prolog - Semantik, Unifikation

Beispiele I _ = X X = Y a(X,Y,Z) = a(Q,U) a(X,Y,Z) = a(W,P,t) a(b(C)) = b(a(C)) f1(f2(f3,f4),f5(f6,X,Y),g)= f1(A,f5(B,f7,f8),H) GK Prolog - Semantik, Unifikation

Beispiele II X = X X = f(X) X = f(Y), X = Y X = a, X = b X = a; X = b GK Prolog - Semantik, Unifikation

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