Entscheidungstheorie Teil 4: Prognosemodelle Prof. Dr Entscheidungstheorie Teil 4: Prognosemodelle Prof. Dr. Steffen Fleßa Lst. für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre und Gesundheitsmanagement Universität Greifswald 1

Gliederung Prognosemodelle 1 Grundlagen Werte- und Zielsystem Konzepte der Entscheidungstheorie Prognosemodelle 4.1 Statistische Prognosemodelle 4.1.1 Gleitende Durchschnitte 4.1.2 Exponentielle Glättung 4.1.3 Ökonometrische Modelle 4.1.4 Neuronale Netze 4.2 Prognostizierende Modelle 4.2.1 Netzplantechnik 4.2.2 Markov-Modelle 4.2.3 System Dynamics 4.3.4 Simulation 4.3 Expertenprognosen

Prognose-Dilemma „Prognosen sind schwierig, besonders wenn sie die Zukunft betreffen.“ (zugeschrieben Karl Valentin, Mark Twain, Winston Churchill u.a.) „Ein Prognostiker ist ein Mann, der in lichten Momenten düstere Ahnungen hat“. (Tennessee Williams)

4 Prognosemodelle Einordnung Grundproblem: Unsicherheit der Zukunft Entwicklung von Umweltzuständen Wirkungszusammenhänge Folge: Modelle sind wirkungsdefekt Gegenmaßnahme: Prognose Definition: Modelle zur Ermittlung bzw. Vorhersage von Informationen über unsichere, zukünftige Sachverhalte. Prognosen liefern Planungsinformationen

Prognosen: Typologie Umweltprognosen: Prognosen über zukünftige Entwicklungen von Problemdaten Entwicklungsprognose: Teilmenge der Umweltprognosen: Prognose eines Umweltzustandes, der vom Entscheider nicht beeinflusst werden kann Wirkungsprognosen: Prognose von Wirkungszusammenhängen zwischen Parametern und Handlungsalternativen

Prognosen: Typologie (Forts.) Ergebnisprognosen: Prognose über den Endzustand eines Systems bei Wahl einer bestimmten Handlungsalternative. Oftmals werden für das Ergebnis bestimmte Wahrscheinlichkeiten angegeben. Prognosen über zukünftige Handlungsalternativen: Vorhersage der technischen, sozialen, politischen oder kulturellen Entwicklung, die neue Handlungsalternativen entstehen oder alte unmöglich werden lässt Prognosen über zukünftig zu verfolgende Ziele: Prognose über Veränderungen des Zielsystems

Prognosen: Typologie (Forts.) Prognosen im engeren Sinne: Umwelt-, Wirkungs- und Ergebnisprognosen Zeithorizont von Prognosen: Kurzfristige, mittelfristige und langfristige Prognosen

Wahl der Prognosemethoden Grundsätzliche Eignung der Methode für die Vorhersage z. B. linearer Ansatz bei zyklischen Verläufen Prognosefehler Genauigkeit der Methode Prognosekosten „Ökonomie der Modellbildung“ Grundsatz: So genau wie nötig bei vertretbarem Aufwand

4.1.1 Gleitende Durchschnitte Grundproblem: Zeitreihenanalyse Zeitreihe: Zeitlich geordnete Folge von Beobachtungswerten y1,..yt, …, yn Normalfall: Äquidistante Beobachtungszeitpunkte, d.h. Zeiträume zwischen zwei Beobachtungen sind konstant Methoden: Gleitende Durchschnitte Glättung Ökonometrie Komponentenanalyse,…

Beispiel x y 1 9 2 13 3 17 4 14 5 11 x y 6 16 7 22 8 9 15 10 17 x y 11 22 12 20 13 17 14 15 26

Aufgabe: Wie kann man eine Prognose für den Zeitpunkt t=16 erstellen? Beispiel Aufgabe: Wie kann man eine Prognose für den Zeitpunkt t=16 erstellen?

Lösung 1: Prinzip: Fortschreibung des letzten Wertes Syn.: Gleitender Durchschnitt der Länge h=1 z. B. „Das Wetter wird morgen so wie heute!“ (In Bayern meistens richtig!) Anwendung: oftmals bei Budgetierung

Lösung 1 y16=y15=26 y17=y16=26

Lösung 2: yt+1=0,5*(yt+ yt-1) Prinzip: Fortschreibung des Durchschnitts der letzten beiden Werte Syn.: Gleitender Durchschnitt der Länge h=2 z. B. „Das Wetter wird morgen so wie der Durchschnitt von gestern und heute!“ Anwendung: fängt kleine Schwankungen auf

Lösung 2 y16=1/2*y15+1/2*y14=13+10=23 y17=1/2*y16+1/2*y15=0,5*(23+26)=24,5

Lösung 3: Gleitender Durchschnitt der Länge h Alle Werte gehen gleichmäßig in die Bewertung ein, d.h. Werte, die lange zurück liegen, sind nicht „abgeschwächt“. Saisonale Schwankungen werden nicht berücksichtigt Nur für kurzfristige Trendaussagen geeignet, nicht für die exakte Punktlandung oder für strategische Aussagen

Deutlich glatter Verlauf. Lösung 3:h=5 Deutlich glatter Verlauf. Aber: Unterschätzung der Entwicklung bei steigendem Verlauf (Überbetonung der alten, nicht mehr relevanten Werte); Überschätzung bei fallendem Verlauf!

Berechnung in Excel

4.1.2 Exponentielle Glättung Prognosewert für Periode t+1 ergibt sich als alter Prognosewert, der um den Schätzfehler bereinigt wird. Glättungsparameter λ (0,1) λ=1: Schätzwert für t+1 = Messwert für t λ=0: Schätzwert für t+1 = Schätzwert für t λ=0,5: Schätzwert für t+1 = Schätzwert für t korrigiert um die Hälfte des Schätzfehlers des letzten Wertes

Was ist hier „exponentiell“? (1-λ)i ist je geringer, je größer i ist, d.h. je weiter wir uns vom Prognosezeitpunkt entfernen, desto geringer ist das Gewicht des alten Wertes.

Beispiel (λ=0,3) x y Schätzung Schätzfehler 0,3*Fehler 1 9 - 2 13 9,00 4,00 1,20 3 17 10,20 6,80 2,04 4 14 12,24 1,76 0,53 5 11 12,77 -1,77 -0,53 6 16 3,76 1,13 7 22 13,37 8,63 2,59 8 15,96 0,04 0,01 15 15,97 -0,97 -0,29 10 15,68 1,32 0,40 16,08 5,92 1,78 12 20 17,85 2,15 0,64 18,50 -1,50 -0,45 18,05 1,95 0,59 26 18,63 7,37 2,21 21 20,84 0,16 0,05 20,89 0,11 0,03

Beispiel (λ=0,3)

4.1.3 Ökonometrische Modelle Grundlage: Statistisches Verfahren zur Analyse der Abhängigkeiten von endogenen und exogenen Variablen. Ökonometrische Modelle können für Prognosen verwendet werden (müssen es aber nicht, da die Bestimmung von Einflussfaktoren bereits ein wichtiger Wissenszuwachs jenseits der Prognose ist).

Grundmodell Gegeben ist eine exogene Variable x und eine endogene Variable y. Gesucht ist der Zusammenhang zwischen x und y. Ansätze Korrelation Methode der kleinsten Quadrate Goal Programming

Beispiel x y 2 3 4 5 1 6 8 11 15 9 14 13 17

Beispiel

Korrelationskoeffizient (ρ) Inhalt: Ein Maß für den Zusammenhang zwischen zwei Variablen Hinweis: Oftmals Berechnung mit 1/(n-1) Berechnungsbeispiel: Regression.xls -1≤ρ≤1

Beispiele

New evidence for the Theory of the Stork Zusammenhang zwischen Zahl der Störche und Geburtenrate beim Menschen? Hofer et al. (2004) in: Paediatric and Perinatal Epidemiology 18, S. 88-92. Analyse für Niedersachsen, Berlin und Brandenburg

New evidence for the Theory of the Stork Ergebnisse: Korrelation für Niedersachsen: Reduktion beider Größen 1970-85; Konstanz 1985-95 Berlin: keine Störche; jedoch Anstieg der Geburten 1990-2000 Erklärung: Zunahme der Störche in Brandenburg

Geburtenrate und Störche in Europa Land Fläche (km2) Störche (Paare) Menschen (106) Geburtenrate (103/ Jahr) Albanien 28.750 100 3.2 83 Belgien 30.520 1 9.9 87 Bulgarien 111.000 5.000 9.0 117 Dänemark 43.100 9 5.1 59 Deutschland 357.000 3.300 78 901 Frankreich 544.000 140 56 774 Griechenland 132.000 2.500 10 106 Holland 41.900 4 15 188 Italien 301.280 5 57 551 Österreich 83.860 300 7.6 Polen 312.680 30.000 38 610 Portugal 92.390 1.500 120 Rumänien 237.500 23 Spanien 504.750 8.000 39 439 Schweiz 41.290 150 6.7 82 Türkei 779.450 25.000 1.576 Ungarn 93.000 11 124

Korrelation und Kausalität Korrelation  Kausalität (Ursache-Wirkungs-Beziehung) Scheinkorrelation: „dritte Variable“ beeinflusst beide Merkmale systematisch Beispiel: Zunehmende Verstädterung vernichtet Nistplätze und fördert Kleinstfamilien

Nachteil der Korrelation Eine Prognose ist auf Grundlage der Korrelation nicht möglich. Zusammenhänge lassen sich nur sehr bedingt darstellen.

Methode der Kleinsten Quadrate Prinzip: Lege eine Kurve so durch die Punktmenge, dass die Summe der quadrierten vertikalen Abweichungen von dieser Kurve zu den gegebenen Werten minimal ist.

Prinzip: Kleinste Quadrate

Prinzip: Kleinste Quadrate

Alternative Gerade

Berechnung der kleinsten Quadratesumme Gerade geht immer durch den Mittelwert von x und y Lösung:

Analyse in Excel Einfache Regression möglich Analyse-Funktion „Regression“ liefert Angaben zur Regressions-Statistik (Interpretation!) - Korrelationskoeffizient - Bestimmtheitsmaß - Koeffizienten - t-Statistik

Anklicken eines Punktes, „Trendlinie hinzufügen“ – „Linear“ Beispiel Vorgehen in Excel: Anklicken eines Punktes, „Trendlinie hinzufügen“ – „Linear“ Δy; ß1= Δy/ Δx Δx ß0

Verwendung Punktprognose: Bestimmtheitsmaß: = Anteil der Varianz von y, der durch die Regression erklärt wird = Maß der Güte der Regression

Beispiel Vorgehen in Excel: Anklicken eines Punktes, „Trendlinie hinzufügen“ – „Linear“ - „Bestimmtheitsmaß anzeigen“

Erweiterungen Mehrere Exogene Nichtlineare Funktionen Intervallprognosen Hypothesentest

Mehrere Exogene Multiples lineares Regressionsmodell

Nicht-lineare Regression Vorsicht: Viele Anschlussrechnungen sind nicht mehr möglich z. B.: Bestimmtheitsmaß nur bedingt zu gebrauchen z. B. Intervallschätzer nur bedingt möglich

Beispiel

Intervallprognose Prinzip: es wird nicht ein Punkt angegeben, sondern ein bestimmtes Intervall, innerhalb dessen der „wahre“ Wert mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens X % liegt Beispiel: für 95 % aller Stichproben erhält man ein Intervall, in dem der wahre Wert liegt. Je weiter wir uns vom Durchschnitt der exogenen Variablen entfernen, desto größer wird das anzugebende Konfidenz-(=Vertrauens)intervall.

Intervallprognose

Hyothesentest Häufig: Hypothese H0: ß1=0 d.h. hat keinen Einfluss auf y

Signifikanzniveau Fehler vom Typ 1: eine Nullhypothese wird als falsch abgelehnt, obwohl sie wahr ist Fehler vom Typ 2: eine Hypothese wird als wahr angenommen, obwohl sie falsch ist. P-Wert: Für die aktuelle Stichprobe wird H0 ablehnt. P: Die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler vom Typ 1 zu begehen je kleiner der p-Wert, desto signifikanter ist der Zusammenhang p=0,05: hohes Risiko, dass keine Signifikanz besteht p=0,01: mittleres Risiko, dass keine Signifikanz besteht p=0,001: geringes Risiko, dass keine Signifikanz besteht

Voraussetzungen der OLS-Schätzung Lineares Modell, jeweils eine endogene und exogene Variable (reelle Zahlen) Die Residuen haben einen Erwartungswert von null Homoskedastizität: Die Residuen haben eine konstante Varianz Die Residuen sind nicht autokorreliert Spezifikation: Die Exogene ist richtig gewählt

Erweiterungen des Modells Lineares Modell, jeweils eine endogene und exogene Variable (reelle Zahlen) Die Residuen haben einen Erwartungswert von null Homoskedastizität: Die Residuen haben eine konstante Varianz Die Residuen sind nicht autokorreliert Spezifikation: Die Exogene ist richtig gewählt Erweiterungen: Mehrere Exogene: Multiple Lineare Regression Mehrere Endogene: Systeme von Regressionsgleichungen Unabhängige Regressionsgleichungen Abhängige Regressionsgleichungen Exogene ist natürliche Zahl oder binär (z. B. Mann=0; Frau=1): Dummy Variablen Endogene ist natürliche Zahl oder binär (z. B. Gesund=0; Krank=1): LOGIT- und PROBIT-Modelle

Erweiterungen des Modells Lineares Modell, jeweils eine endogene und exogene Variable (reelle Zahlen) Die Residuen haben einen Erwartungswert von null Homoskedastizität: Die Residuen haben eine konstante Varianz Die Residuen sind nicht autokorreliert Spezifikation: Die Exogene ist richtig gewählt Problem: Es könnte durchaus sein, dass das Residuum bei großen Werten der Exogenen stärker / mehr streut als bei kleinen Werten (Heteroskedastizität) Lösung: Generalized Least Square (GLS)

Erweiterungen des Modells Problem: Es könnte durchaus sein, dass ein Zusammenhang zwischen den aufeinander folgenden Residuen besteht (Autokorrelation) Lösung Generalized Least Square (GLS) Lineares Modell, jeweils eine endogene und exogene Variable (reelle Zahlen) Die Residuen haben einen Erwartungswert von null Homoskedastizität: Die Residuen haben eine konstante Varianz Die Residuen sind nicht autokorreliert Spezifikation: Die Exogene ist richtig gewählt

Erweiterungen des Modells Lineares Modell, jeweils eine endogene und exogene Variable (reelle Zahlen) Die Residuen haben einen Erwartungswert von null Homoskedastizität: Die Residuen haben eine konstante Varianz Die Residuen sind nicht autokorreliert Spezifikation: Die Exogene ist richtig gewählt Fehlspezifikation z. B. Prognose des Konsums verwendet nur Altersstufe und Kinderzahl, aber nicht Familieneinkommen

Qualitative Endogene Normalerweise: Quantitative Endogene, z. B. y= Absatz Ausnahme: Qualitative Endogene, z. B. „Kunde kauft das Produkt“ Übertragung der Qualitativen: Lösung: Annahme: Nutzen eines Gutes hängt linear von verschiedenen Exogenen ab Die Wahrscheinlichkeit, dass der Nutzen zum Wert „1“ führt, kann durch eine Verteilungsfunktion angegeben werden y‘ ist die Wahrscheinlichkeit, dass y den Wert „1“ annimmt (damit zwischen 0 und 1 verteilt) Problem: Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung hat y?

Lösungen Wahrscheinlichkeit, dass y=1, wird durch eine Standardnormalverteilung angegeben: PROBIT-Modell Wahrscheinlichkeit, dass y=1, wird durch eine Logistische Funktion angegeben: LOGIT-Modell Software: Enthält entsprechende Tools VORSICHT: Kombination von LOGIT, GLS und Systeme von Gleichungen ist extrem schwierig, z. B. Full-Information-Maximum-Likelihood Schätzer (FIML) Erweiterungen: Multi-nominale Endogene (z. B. y=0, 1,2,3)

Goal-Programming Prinzip: Abstände werden minimiert, nicht quadrierte Abstände Lösung: LP Problem: Anschlussrechnungen schwierig, z. B. Intervallschätzung nur über Monte-Carlo-Simulation

4.1.4 Neuronale Netze Analogie zum menschlichen Gehirn: Neuronen (Knoten) Netze: Verbindungen zwischen Knoten Neuronen haben üblicherweise mehrere Eingangsverbindungen sowie eine Ausgangsverbindung. Aktionspotential: Wenn die Summe der Eingangsreize einen gewissen Schwellenwert überschreitet, sendet das Neuron ein Ausgangssignal

Neuronales Netz Neuron Reiz Ausgangssignal

Neuronales Lernen Eigenschaft neuronaler Netze: Erlernen („Trainieren“) von komplexen Mustern ohne vorherige Festlegung der Regeln; Neue Verknüpfungen und Reizschwellenwerte entstehen. Je häufiger ein Neuron A gleichzeitig mit Neuron B aktiv ist, umso bevorzugter werden die beiden Neuronen aufeinander reagieren ("what fires together, wires together"). Verbindungen bauen sich selbständig auf, ohne dass dies ein bewusster Programmierschritt wäre

Künstliches neuronales Netz Forschungsgegenstand der Neuroinformatik, Künstliche Intelligenz Versuch der Nachkonstruktion des Lernverhaltens von Neuronalen Netzen Beispiele: Vorhersage der Aktienkursentwicklung Vorteile: Lernfähigkeit, wenn Kausalzusammenhänge nicht bekannt sind Toleranz gegenüber fehlerhaften, ja sogar unbekannten Inputs Nachteile Intensives Training, zeitintensiv Neuronales Netz ist „Black Box“ kein „optimales“ Ergebnis

4.2 Prognostizierende Modelle 4.2.1 Netzplantechnik Definition: Ein Netzplan ist ein Graph, der mit Hilfe von Knoten und Kanten (größere) Projekte visualisiert und Anschlussrechnungen ermöglicht Arten Tätigkeitsgraph und Ereignisgraph Stochastische und deterministische NPT Teilprobleme Strukturplanung Zeitplanung Kostenplanung Ressourcenplanung

Praxis der NPT wahrscheinlich häufigstes OR-Verfahren, jedoch meist „versteckt“ in Projektmanagement-Software (z. B. MS-Project) Arten: CPM (Critical Path Method, 1956): Theorie MPM (Metra Potential Method, 1957): Praxis PERT (Program Evaluation and Review Technique, 1956): Theorie

Strukturplanung Strukturliste Nr. Tätigkeit Vorgänger Nachfolger A Vorbereiten des Grundstückes - B Aushub der Fundamente C Rohbau D, F D Innenausbau E Inbetriebnahme D, F, G F Außenanlagen/Zuwege Bereiten G Mitarbeiterschulung

Tätigkeitsgraph Inhalt: Knoten = Tätigkeit Kante = Anordnungsbeziehung Metra-Potential-Methode (MPM) ENDE

Ereignisgraph Inhalt: Knoten = Ereignis (z. B. Anfang/Ende einer Tätigkeit) Kante = Tätigkeit Critical Path Method (CPM), Program Evaluation and Review Technique (PERT)

Zeitplanung im Ganttdiagramm Nr. Tätigkeit Zeitbedarf [Tage] Nachfolger A Vorbereiten des Grundstücks 20 B Aushub der Fundamente 60 C Rohbau 150 D, F D Innenausbau 120 E Inbetriebnahme 10 - F Außenanlagen/Zuwege Bereiten G Mitarbeiterschulung 30

Zeitplanung im Ganttdiagramm

Erweiterung: Puffer Tätigkeiten ohne Puffer sind zeitkritisch, d.h. sie bilden den „kritischen Pfad“

Zeitplanung im MPM

Zeitplanung im MPM

Zeitplanung im MPM

Hinrechnung

Rückrechnung

Endzeitpunkte

Puffer Puffer I: Gesamtpuffer Puffer II: freier Puffer Alle Vorgänger fangen frühest möglich an, alle Nachfolger spätest möglich P_Ii=SZi-FZi Puffer II: freier Puffer Alle Vorgänger fangen frühest möglich an, alle Nachfolger frühest möglich P_IIi=Min{FZj-FZi-dij}, wobei P_IIi≥0 Puffer III: unabhängiger Puffer Alle Vorgänger fangen spätest möglich an, alle Nachfolger frühest möglich

Puffer

Kostenplanung 20 60 150 120 10 30 Nr. Tätigkeit Zeitbedarf [Tage] Kosten pro Tag A Vorbereiten des Grundstückes 20 100 B Aushub der Fundamente 60 C Rohbau 150 200 D Innenausbau 120 E Inbetriebnahme 10 F Außenanlagen/Zuwege Bereiten G Mitarbeiterschulung 30 500

Kostenverlauf bei frühestem Beginn 0-20 20-30 30-80 80-230 230-250 250-350 350-360 A 100 B C 200 D E F G 500 Kosten / Tag 600 400 Tage 20 10 50 150 Sum- me 12000 6000 5000 30000 8000 20000 1000

Kostenverlauf für späteste und früheste Zeitpunkte

PERT-COST Ermittlung von zeitlichen und kostenmäßigen Überschreitungen Hinweis: Nicht zu verwechseln mit der stochastischen NPT PERT.

PERT-COST (Beispiel)

PERT-COST (Beispiel)

Ressourcenplanung Bedeutung: falls Ressourcen nicht ausreichend sind, müssen die Tätigkeiten verschoben werden Varianten Verschiebung innerhalb der Puffer Verlängerung des frühesten Endzeitpunktes Verfahren von Fehler Optimierung: Konventionalstrafe vs. Kosten für Zusatzaggregate Praxisbeispiel MS-Project: Bauprojekt ET 4

4.2.2 Markov-Modelle Prozess: Folge von ursächlich verbundenen Ereignissen im Zeitablauf Stochastischer Prozess: Abfolge ist nicht fest vorgegeben, sondern unterliegt bestimmten (bekannten) Wahrscheinlichkeiten Markov-Prozess: Die Übergangswahr-scheinlichkeit aij von Zustand wi nach wj hängt allein von Zustand wi zum Zeitpunkt t, jedoch nicht vom Zustand wk zum Zeitpunkt t-1 ab („Beschränktes Gedächtnis“).

Zustände und Übergänge im Markov-Graph w1 w2 w4 w3

Beschreibung von Prozessen anhand von Ereignissen z. B. Zahl der Ankünfte (Poissonverteilt) anhand von Übergängen z. B. Zwischenankunftszeiten ‚ (Negativ-Exponentiell-Verteilt) Von besonderer Bedeutung sind hierbei Warteprozesse (Warteschlangentheorie)

Markov-Modell

Prognose mit Markov-Modellen Vorhersage des Zustandsvektors zum Zeitpunkt t Berechnung von Kennziffern, z. B. durchschnittliche Aufenthaltsdauer im System, durchschnittliche Wartezeiten etc.

Spezialfälle Absorbierende Markovketten Inhomogene Markovketten es gibt einen Zustand, der nicht mehr verlassen werden kann, z. B. Totalschaden, Tod Inhomogene Markovketten Übergangswahrscheinlichkeiten sind nicht konstant

Beispiel: Leihwagen zwischen drei Orten

Übergangsmatrix Greifswald Berlin Hamburg Schrott 0,7 0,2 0,05 0,8 0,1 1

Zugänge, Anfangsbestand, Entwicklung Zugang Anfangsbe-stand t=0 t=1 t=50 Greifswald 1 50 60 19 Berlin 2 100 112 43 Hamburg 200 155 25 Schrott 28 513

Zugänge, Anfangsbestand, Entwicklung Zugang Anfangsbe-stand t=0 t=1 t=50 Greifswald 1 50 61 19 Berlin 2 100 112 43 Hamburg 200 155 25 Schrott 28 513 Zugang zu gering, um die Zahl der Autos zu halten: Simulation – wie viele Zugänge brauche ich wo, um Konstanz zu gewährleisten?

Zugänge, Anfangsbestand, Entwicklung Zugang Anfangsbe-stand t=0 t=1 t=50 Greifswald 3 50 63 77 Berlin 4 100 114 158 Hamburg 17 200 170 122 Schrott 28 1193

Zugänge, Anfangsbestand, Entwicklung Zugang Anfangsbe-stand t=0 t=1 t=50 Greifswald 3 50 63 77 Berlin 4 100 114 158 Hamburg 17 200 170 122 Schrott 28 1193 Pro Periode zusätzlicher Transport von Greifswald (22/50 Fahrzeuge) und von Berlin (58/50 Fahrzeuge) nach Hamburg nötig, um Konstanz zu halten. 357

4.2.3 System Dynamics Problem der Prognose mit Markov-Modellen: Homogenität, d.h. Unveränderlichkeit der Übergangswahrscheinlichkeiten Populationswachstum: Zuwachs ist abhängig von der bestehenden Population

Wachstum (Rate = 0,05) t Anfangsbestand Zuwachs Endbestand 100.000.000 100.000.000 1 5.000.000 105.000.000 2 5.250.000 110.250.000 3 5.512.500 115.762.500 4 5.788.125 121.550.625 5 6.077.531 127.628.156 6 6.381.407 134.009.564 7 …

Wachstum

System Dynamics Modell

System Dynamics Modell

System Dynamics Modell

Gleichungen Differentialgleichung Differenzengleichung

System Dynamics einer Population Jahr Bevölkerung Exponential- gleichung Differenzen- t = 1 Tag t = 1 Monat 100.000 1 105.127 105.126 105.116 2 110.517 110.516 110.494 3 116.183 116.182 116.147 4 122.140 122.138 122.089 5 128.402 128.400 128.336 6 134.985 134.983 134.901 7 141.906 141.903 141.803 8 149.182 149.178 149.058 9 156.931 156.826 156.684 10 164.872 164.866 164.701

Umsetzung World Dynamics (Club of Rome; Grenzen des Wachstums) Industrial bzw. Business Dynamics (Forrester, Sterman) Disease Dynamics Software: Dynamo (1960), Stella (1980), etc.

Industrial Dynamics EDV-gestütztes dynamisches Modell der Unternehmung Technischer Wandel induzierte neues Management-Verständnis Neue Anforderungen an Methoden der Entscheidungsfindung Erfassung und Simulation von Informationen zwischen Abteilungen eines Unternehmens Unternehmen einer Wertschöpfungskette

Beispiel 1 Bedeutung von Werbung und Konsumentenverhalten Konsequenzen für Unternehmen einer Wertschöpfungskette (Produktion und Verteilung) Abstimmungsprobleme als Peitscheneffekt (Bullwhip Effect)

Beispiel 1 Ineffizienz isolierter Prozesse zwischen Hersteller, Groß- und Einzelhandel Hohe Produktionsschwankungen bei relativ geringen Nachfrage- schwankungen aufgrund zeitlicher Verzögerungen zwischen Kundennachfrage, Bestellung und Lieferung Lösung durch Supply Chain Management: integrative Planung der Aktivitäten innerhalb der Kette zur Minimierung von Informations- und Anpassungsproblemen

Darstellung und Analyse von Bestandsveränderungen Beispiel 2 Darstellung und Analyse von Bestandsveränderungen

4.3.4 Simulation Prinzip: Experimentiermodell, d.h. „Durchspielen“ unterschiedlicher Alternativen in konstruierten Systemen Perspektiven „What-If“? „How-to-achieve“?

Arten Deterministische Simulation: Eintritt von Ereignissen sicher Stochastische Simulation: Eintritt von Ereignissen unterliegt Wahrscheinlichkeit Monte-Carlo-Simulation: Analyse statischer Probleme mit bekannten Wahrscheinlichkeiten Ermittlung von Verteilungen: Durch wiederholtes Durchrechnen mit unterschiedlichen Zufallszahlen ergibt sich eine Verteilung der Ergebnisparameter Beispiel: Boot-Strapping in Netzplänen

Arten (Forts.) Diskrete Simulation (Discrete Event Simulation, DES) Modellierung von dynamischen Systemen Erzeugen von Objekten mit bestimmten Eigenschaften Aufzeichnung der Zustände der Objekte zu bestimmten Zeitpunkten Subarten: Ereignisorientierte Simulation: Es wird immer nur der nächste Zeitpunkt betrachtet, an dem sich eine Zustandsänderung ergibt („Ereignisliste“) Zeitorientierte Simulation: Simulationszeit wird jeweils um denselben Zeittakt weitergestellt, auch wenn kein Ereignis eintritt Kontinuierliche Simulation z. B. Chemie

Zufallszahlen Notwendigkeit: stochastische Simulation Aufgaben Teil 1: 0-1-Gleichverteilte Zufallszahlen Teil 2: Zufallszahlen nach bestimmten Verteilungen Normalverteilt Logarithmisch-Normalverteilt Logistischverteilt Poissonverteilt Dreiecksverteilt Betaverteilt

Beispiel: standardnormalverteilte Zufallszahl Schritt 1: Erzeuge 12 0-1-gleichverteilte Zufallszahl Erwartungswert je Zufallszahl: 0,5 Varianz je Zufallszahl: 1/12 Schritt 2: Addiere die 12 Zufallszahlen und ziehe sechs ab Erwartungswert: 0,5*12-6=0 Varianz: 12*1/12 = 1 Ergebnis: annähernd standardnormalverteilte ZZ

Beispiele für Simulation Simulation der Produktionsprozesse Flugsimulator Numerische Integration Prognose epidemiologischer Prozesse

Anforderungen an Simulationsprogramme Generierung von Zufallszahlen Überwachung des zeitlichen Ablaufs einer Simulation („Simulationsuhr“) Sammlung, Analyse und statistische Auswertung relevanter Daten/ Ergebnisse Aufbereitung und Präsentation

Simulationssprachen Programmiersprachen (Fortran, C, Delphi,…) GASP, GPSS, SIMAN, SIMSCRIPT, SIMULA Anwendungssoftware SimFactory; ProModel

4.3 Expertenprognosen Direkte Befragung Delphi-Methode verschiedene Techniken, um diskrete oder kontinuierliche Variablen zu erfragen Delphi-Methode

Delphi-Methode Definition des Prognoseproblems Auswahl der Experten, Separierung Schriftliche Befragung der Expertenmeinungen Zusammenstellung der Prognosen Rückführung der Ergebnisse an Experten Erneute schriftliche Befragung der Experten Wiederholung der Schritte 4,5,6, bis die Ergebnisse ausreichend konvertiert sind. evtl. ergeben sich Intervalle