Analyse eines Handballspielzuges Projektarbeit zu der Vorlesung Spieltheorie

Modellannahmen Unrealistische Annahmen zur Einschränkung der Möglichkeiten (z.B. keine technischen Fehler) In den Varianten werden Veränderungen des Spiels, bei Fallenlassen von manchen Modellannahmen, betrachtet

Modellannahmen Alle Spieler sind gleich gut Der Schiedsrichter trifft immer ’faire’ Entscheidungen und sieht alles Es gibt keine technischen Fehler Die Spieler (insbesondere die der abwehrenden Mannschaft) können ihre Aktionen so gezielt ausführen, dass sie die Reaktion des Schiedsrichters einschätzen können (dies zeigt sich im Spielbaum bei Spielzug unterbrechen im Vergleich zu Spielzug stören) Es wird ein Angriff ausgeführt.

Die Payoffs I Die Payoffs sind fiktiv, es liegen Erfahrungswerte zugrunde (d.h. es gibt keine Nutzenfunktion, sondern nur festgelegte Payoffs bei bestimmten Wurfbedingungen.

Die Payoffs II (10,x) entspricht 100% Wahrscheinlichkeit eines Tores (x,10) entspricht 100 % Wahrscheinlichkeit keines Tores (9,1) bei 7 Meter (8,2) bei freiem Wurf mit einer Sperre (7,3) bei einem freien Wurf (6,4) bei einem Freiwurf (5,5) im Zweikampf mit einem passiven (d.h. Aktion ’spielen’) Gegner (4,6) im Zweikampf mit zwei passiven (d.h. Aktion ’spielen’) Gegnern (3,7) im Zweikampf mit einem aktiven Gegner (2,8) im Zweikampf mit zwei aktiven Gegnern (0,10) Angriff Ende ohne Abschluß

Der Spielzug M HL HR LA RA K ML MR HL HR RA LA

Der Spielbaum I

Der Spielbaum II

Der Spielbaum III

Extensive Form - formal

Die Mengen und Payoffs

Umwandlung des Spielbaums in extensiver Form in eine Normalform 12

Allgemein Da bei der Umformung eines großen Spielbaums in extensiver Form in eine Normalform eine sehr große Tabelle entsteht, wird hier versucht eine allgemeine Vorgehensweise vorzustellen, um allgemein Spielbäume in eine Normalform umzuwandeln. Der Vorteil, der hierin liegt, ist, dass nun mittels eines PC die Berechnungen automatisiert werden können, um auch bei großen Spielbäumen in vertretbarer Zeit zufriedenstellende Ergebnisse zu erzielen. Desweiteren wird dargelegt, wie ein Spielbaum zu verändern ist, um eine reduzierte Normalform letztendlich zu erhalten, was ein Vorteil im Hinblick auf die Tabellen-Größe liefert. 13

Idee (Umwandlung eines Spielbaums in eine Normalform) Da in unserem Fall nur 2 Mannschaften gegeneinander antreten, existieren auch nur 2 Spieler. Also gehören alle Strategien in den ungeraden Ebenen unseres Spielbaums zu Spieler 1, und alle geraden Ebenen zu Spieler 2. Das Prinzip liegt in der Gruppierung von Strategien in separat zu betrachtenden Ebenen unter Berücksichtigung der Strategien der Spieler zuvor und Verkettung dieser Gruppierungen nach einem bestimmten Prinzip. 14

Ergebnis

Idee (reduzierte Normalform) Es werden hierbei separat Teil-Pfade bis zu einer bestimmten Ebene eines Spielbaums betrachtet. Werden die jeweiligen Teil-Pfade ergänzt, und ergibt sich für jeden zu ergänzenden Teil-Pfad der gleiche Payoff, so kann der Spielbaum verkürzt werden. 16

Dominanzen Die dominanten Strategien lassen sich mit Hilfe der Auszahlungsfunktion bestimmen. Man vergleicht die Strategien ebenenweise.

Dominanzen In dem Basisspiel gibt es 9 Dominanzen für die angreifende Mannschaft. Für die abwehrende Mannschaft sind die gegenteiligen Strategien die Dominanzen (6)

Dominanzen Es gilt für Die angreifende Mannschaft sollte versuchen den Spielzug durchzuführen Die abwehrende Mannschaft sollte den Spielaufbau versuchen zu verhindern.

Nash-Gleichgewichte Wie finde ich sie? Was kommt dabei raus? Was sagt mir das?

Nash-GG – Wie finde ich sie? Normalform - Algorithmus Rückwärtsinduktion

Nash-GG – Was kommt dabei raus?

Nash-GG – Was sagt mir das? sehr komplex für Analyse geeignet viel umfangreichere Annahmen nötig im Spiel nur Teilbäume interessant

Varianten I / Zeitdiskontierung Die Wahrscheinlichkeit eines Torerfolgs wird umso geringer, je öfter der gleiche Spielzug gespielt wird.

Varianten II / Zufall I Ein eingreifender Abwehrspieler weiß nicht, ob das Eingreifen eine Schiedsrichterentscheidung erzwingt.

Varianten II / Zufall II Das erfolglose Eingreifen der Abwehr kann zum Nachteil werden