Threshold Unit-Root-Modelle und Kointegration

Gliederung 1.Ökonomische Motivation 2. Aufbau von TAR-Modellen 2.1 Einfaches TAR-Modell 2.2 Allgemeines TAR-Modell 2.3 Illustration 3. Stationaritäts-Konzept 4. Kointegrations-Konzept 5. Unit Root Tests 5.1 Standard Unit-Root Tests 5.2.1 Dickey-Fuller Test 5.2.2 Augmented Dickey-Fuller Test 5.2.3 KPSS 5.3 Test auf Robustheit des ADF Tests 5.4. Unit-Root Tests in TAR-Modellen 5.4.1 Enders-Granger 5.4.2 Kapetanios 5.4.3. Weitere 6. Threshold Cointegration 6.2 Tests auf Kointegration 6.2.1 Engle-Granger Ansatz 6.2.2 Johansen-Ansatz

Ökonomische Motivation Motivation zur Untersuchung von Unit-Root-Prozessen und Kointegration: Viele makroökonomische Daten weisen im Level langfristig Trendverhalten auf und scheinen in Beziehung zu einander zu stehen Mit Hilfe von Unit-Root-Prozessen bzw. Kointegration Modellierung an sich instationärer Variablen möglich z.B. Verhalten von Güterpreisen auf verschiedenen Märkten: Grundlegendes Konzept in der VWL: Law of one Price Gleiche Güter kosten auf unterschiedlichen Märkten gleich viel zusätzlich: Berücksichtigung von Transaktionskosten sofern Preisdifferenz zwischen Märkten > Transaktionskosten, so ist Arbitrage möglich

Illustration Datenbeispiel: US-Dieselpreise (Spot)

Illustration Datenbeispiel: Spotpreis-Spread Diesel: NY vs. Gulf Coast Hurricane Katrina

Aufbau von TAR-Modellen EQ-TAR Wenn 1 < zt-1 zt Wenn 2 > zt-1 > 1 Wenn 2 > zt-1 Prozess kehrt zum Gleichgewichtswert zurück, wenn Thresholds überschritten werden

Aufbau von TAR-Modellen Band-TAR Wenn zt-1 > 1 zt Wenn 2 > zt-1 > 1 Wenn zt-1 < 2 Mit 2 < 1 Prozess kehrt zum inneren Bereich [1, 2 ]zurück, wenn Thresholds überschritten werden

Aufbau von TAR-Modellen Allgemeines Modell Verallgemeinerung der Dynamik der Zeitreihe durch Achsenabschnitt ungleich Null und asymmetrische Thresholds: Mit (u) < zt-d zt Mit (l)<zt-d< (u) Mit (l) > zt-d (i)(L) := Lag-Polynome t(i) := Fehlerterme ~ (0, (i)) mit i=l,m,u

Aufbau von TAR-Modellen Bedingungen für Stationarität Notwendige und hinreichende Bedingungen an (i) und (i)(L), die Stationarität sicherstellen sind noch nicht abschliessend untersucht. Tjostheim: für symmetrische TAR ist hinreichende Bedingung für Stationarität, dass Wurzeln der AR-Regression in den Außen-Regimen betragsmäßig < 1 sind Chang und Tong: hinreichende Bedingung für allgemeines TAR-Modell (schwächere hinreichende Bedingungen möglich) Für Fall das gilt: (i)(L)=(i) und d=1 ist zt ein stationärer stochastischer Prozess, falls eine der Bedingungen erfüllt ist: (l)<1, (u)<1 und (l) (u)<1 (l)<1, (u)<1 und  (l)<1 (l)<1, (u)<1 und  (u)<1 (l) = (u)=1 und  (u)<0< (l) (l) (u)=1, (l)<0 und  (u)+  (l) (u)>0

Illustration Datenbeispiel: Simulation eines BAND-TAR mit Unit Root Modellparameter: |i| = 8  ~ N(0,1) |i| = 0,7

Unit-Root Tests Eine schwach stationäre Zeitreihe hat: Wiederholung des Stationaritätskonzepts 1 Eine schwach stationäre Zeitreihe hat: konstanten Mittelwert  E[xt]=m mit m=const. konstante Varianz  E[xt²] <  V t  T zeit-unabhängige Kovarianz  Cov(xs,xt)=Cov(xs+r,xt+r) V t,r  T Stationaritätsannahme grundlegend für Standard-Ökonometrietheorie Sonst keine konsistente Schätzung möglich

Unit-Root Tests Integrierte Prozesse und Differenzenbildung Bsp: Random Walk mit Drift Iteratives Ersetzen ergibt: d.h. asymptotisch ist yt ist die Summe einer unendlichen Anzahl von Zufallsvariablen mit Mittelwert=0. Sofern die Fehlerterme durch eine (0,)-Verteilung generiert werden, ist die Varianz von yt unendlich. Random Walk ist ein nicht-stationärer Prozess ( auch wenn =0) Berechnung der ersten Differenzen: Ergibt einen stationären Prozess

Unit-Root Tests Wiederholung des Stationaritätskonzepts 2 Trendstationärer Prozess: Wird stationär durch Eliminierung des Trends Differenzenstationärer Prozess: Ist Random Walk ohne Drift; als solcher nicht stationär; hat stochastischen Trend Stationarität durch Differenzenbildung; „integriert vom Grade 1“ [I(1)] AR-Prozess gegeben durch: Stationär mit ||<1 Ein autoregressiver Prozess der Ordung p (AR(p), hat eine Einheitswurzel, wenn das Polynom in L, (1-1L-...- pLp) eine Wurzel =1 hat. Einfachstes Beispiel: Random Walk

Unit-Root Tests Spurious Regression Regression, in der eine starke Korrelationsbeziehung zwischen nicht kausal korrelierten Variablen suggeriert Tritt auf wenn z.B. wenn 2 oder mehr nicht-stationäre (d.h. I(1)) Variablen auf einander regressiert werden Wenn zu erklärende und erklärende Variablen I(1) sind, scheint die Anpassung sehr gut zu sein (hoher Wert der t-Statistik und großer R2 Wert), auch wenn die Variablen völlig unabhängig sind. Verteilungen der Statistiken ( ,t , R²,..) anders als bei der klassischen Regression T-Wert i.d.R. sehr groß, daher auch R² hoch Residuen nicht stationär Scheinbare Signifikanz, da falsche Verteilungsannahme

Kointegration Beziehungen zwischen I(1) und I(0)-Prozessen: Integrierte Prozesse Instationäre Prozesse sind integriert, sofern sie durch Differenzenbildung in stationäre Prozesse überführt werden können I(0) Prozesse haben endliche Varianz und Fehlerterme aber nur kurzfristig Auswirkung auf die Zeitreihe I(1) Prozesse weisen für t  unendliche Varianz auf, Innovationen haben persistenten Einfluss auf Zeitreihe Beziehungen zwischen I(1) und I(0)-Prozessen: Wenn x1t I(0), dann ist jede Linearkombination 0+1x1t I(0) Analog für I(1) Sind x1t, x2t I(0), dann ist 1x1t +2x2t I(0) Wenn x1t I(1), x2t I(0), dann ist 1x1t +2x2t I(1), d.h. Integration dominiert Stationarität

Kointegration Gemeinsamer Trend: Kointegration Eine Zeitreihe xt heisst kointegriert mit Kointegrationsvektor , wenn eine Linearkombination ‘xt stationär ist. Dadurch wird bei instationären Prozessen Prognose möglich Liegt Kointegration vor, können 2 Effekte unterschieden werden: langfristige Beziehung zwischen beiden Variablen, d.h. Art wie sich beide Zeitreihen langfristig zueinander entwickeln Kurzfristige Abweichungen der I(1)-Variablen von ihrem langfristigen Trend Gemeinsamer Trend: Wird durch Kointegrationsvektor beseitigt, so dass LKB I(0) ist Zeitreihen können nur kointegriert sein, wenn sie einen gemeinsamen Trend besitzen

Kointegration Interpretation Kointegration liegt vor, wenn zwei Variablen langfristig eine gemeinsame Entwicklung aufweisen und sich nicht persistent von einander entfernen Unterschiedliche Entwicklungen sind nur kurzfristig möglich Ökonomisch: Kointegrationsbeziehung als langfristiges Gleichgewicht Abweichungen möglich, aber nicht dauerhaft ( Arbitrage)

Kointegration Beispiel für kointegrierten bivariaten Prozess (1) Mit ut1, ut2 ~ unkorreliert WN (2) Kointegrationsbeziehung liegt vor da: (1), (2) sind I(1), da erste Differenzen I(0) Linearkombination von (1), (2) mit Kointegrationsvektor [1, -] ist I(0)

Kointegration Fehlerkorrekturanalyse  Darstellung des dynamischen Zusammenhangs zwischen kointegrierten Variablen Beispiel: bivariater Fall mit Kointegrationsbeziehung z Fehlerkorrekturterm zt  erfasst langfristige Gleichgewichtsbeziehung  erfasst Anpassungsprozess der gegenwärtigen Periode (z.B. durch Arbitrage) aufgrund einer Abweichung von der Vorperiode jx, jy, erfassen Änderung von yt in Periode t aufgrund von zeitlich verzögerten Veränderungen von y bzw x ( bilden transitorische Dynamik ab)

Kointegration Fehlerkorrekturanalyse2 Sei Zt-1>0, dann ist yt im Vergleich zu xt nach der Kointegrationsbeziehung zu hoch Wenn 1 <0, dann wird diese Abweichung vom langfristigen Gleichgewicht durch negative Veränderung von y1 korrigiert Korrektur stärker, je größer|  |  Maß für Anpassungsgeschwindigkeit an langfristiges Gleichgewicht Falls Kointegration vorliegt, sind Im Fehlerkorrekturmodell nur stationäre Variablen enthalten  OLS-Verfahren anwendbar, Problem der Scheinregression vermieden

Unit-Root Tests Dickey-Fuller Test Gegeben sei das folgende AR(1)-Modell: Mit y0=0,  ist eine reelle Zahl und {et} ist iid (0,²) Das Regressionsmodell kann umgeformt werden in: Da man auf Einheitswurzel testet, kann man auch (-1)==0 setzen. 1. Schritt des DF-Tests Es existieren drei Versionen des DF-Test: (1) Test auf Einheitswurzel (2) Test auf Einheitswurzel mit Drift (3) Test auf Einheitswurzel mit Drift um einen stochastischen Trend In allen Fällen ist H0: Einheitswurzel existiert (=0)

Unit-Root Tests Teststatistik: Kritische Werte: Dickey-Fuller Test 2. Schritt des DF-Tests: Test des geschätzten Parameters auf H0: =0 vs. H1: <0 Teststatistik: (1) (2) Kritische Werte: Normale t-Werte können nicht herangezogen werden Bestimmung kritischer Werte durch Dickey und Fuller mittels numerischer Methoden MacKinnon ermittelte kritische Wert umfangreicher und genauer, diese werden heute idR verwendet

Unit-Root Tests Dickey-Fuller Test Problem: herkömmliche Inferenzansätze basierend auf OLS und üblichen Teststatistiken nicht gültig! [...] Verzerrung des KQ-Schätzers wenn  gegen 1 [...] Dickey-Fuller zeigten, dass wenn =1, dann: Wobei v eine Zufallszahl mit endlicher Varianz ist; In endlichen Stichproben gilt E[c]<1 Folgerungen: Schätzer von  ist nach unten verzerrt, wenn =1 OLS-Schätzer von  konvergiert schneller zum wahren Wert, als bei Standard-Schätzern üblich D.h. die Varianz von c unter H0 ist O(1/T²), nicht O(1/T) OLS-Schätzer ist „super-konsistent“

Unit-Root Tests Dickey-Fuller Test Schätzer  ist super-konsistent statt T(1/2)

Unit-Root Tests Augmented Dickey-Fuller Test Der einfache Dickey-Fuller Test nimmt an, dass die Fehlerterme des Regressionsmodells White Noise sind. Der ‚Augmented Dickey-Fuller Test‘ korrigiert um Autokorrelation in den Residuen Regressionsgleichung wird um Lags erweitert: Der Fall des Random Walk wird erreicht, in dem man ==0 setzt Teststatistiken:

Unit-Root Tests Ansätze zur Bestimmung der Lag-Länge: Augmented Dickey-Fuller Test Ansätze zur Bestimmung der Lag-Länge: Sequentielles Testen der t-Statistik des letzten Koeffizienten (beginnend bei großem Modell) Anwendung von Informationskriterien (AIC, BIC) P als Funktion der Anzahl der Beobachtungen (nach Schwert (1989))  P=INT(12*(T/100)(1/4))

Unit-Root Tests KPSS-Test Prüft H0: Endliche Varianz in Zeitreihe Kann sowohl für Nullhypothese der Stationarität als auch der Trendstationarität benutzt werden Basiert auf Abweichungen vom arithmetischen Mittel bzw. von einer OLS-Trendregression H0: yt=c + at + t Mit:

zt Unit-Root Tests Robustheit des ADF-Tests Pippenger und Goering untersuchen, wie die Existenz von Thresholds die Power von Standard-Unit-Root Tests beeinflusst Erkenntnis: Güte fällt deutlich Vorgehen: Betrachten EQ-Modell Relevante Parameter: c, 1, 2, u Wenn 1 < zt-1 zt Wenn 2 > zt-1  Gibt die Anpassungsgeschwindigkeit des Prozess zum langfristigen Gleichgewicht an, bei kleinem  hohe Anpassungsgeschwindigkeit Werden alle anderen Parameter konstant gehalten, treten bei fallendem  2 Effekte auf: (a) Prozess verbringt weniger Zeit außerhalb der Grenzen (verringert Testqualität) (b) durch höhere Anpassungsgeschwindigkeit stärkeres Umkehrsignal zum Gleichgewicht C.p.: mit steigendem |i| nimmt verbrachte Zeit innerhalb der Grenzen zu  Power sinkt Für gegebenes |i|: mit steigendem u steigt Häufigkeit der Umkehrungen im Prozess

Unit-Root Tests Ergebnis: Robustheit des ADF-Tests2 Test-Ansatz: Generieren Zeitreihe mit EQ-Modell Berechnung der DF-Statistik unter Variation der Parameter |i| und  500xWiederholung jeder Parameterkombination Ermittlung des Anteils abgelehnter Unit-Root-Hypothesen Ergebnis: Güte nimmt ab, wenn Anpassungsgeschwindigkeit hoch und/oder Grenzen weit auseinander liegen Nimmt Anpassungsgeschwindigkeit ab, steigt Güte des Tests, abgesehen für weite Grenzen (dort ist Güte für alle  gering) D.h. Umkehrsignal-Effekt scheint zu dominieren

Unit-Root Tests It Enders-Granger-Ansatz Modell: Wenn –2 < (1, 2) < 0, {yt} ist trendstationär Wenn yt-1 oberhalb des Trends ist , nimmt yt mit Rate 1 ab Wenn 1=0, dann verhält sich {yt} wie Random Walk wenn yt>a0+a1t Führen Monte-Carlo Untersuchung durch Schätzung des Modells mit OLS, Berechnung t- und F-Statistiken F-Test für H0: Unit Root vs. H1: stationärer 3-Regime TAR-Prozess

Unit-Root Tests Kapetanios Mit 1=1-1, 2=2-1, Heaviside-Indikatoren sind orthogonal zu einander H0: 1= 2=0 H1: 1<0, 2<0, Modell in Matrixnotation:

Unit-Root Tests Kapetanios Gemeinsame H0: Lineare Unit-Root vs. H1: nicht-lineare Threshold Stationarität Anwendung des Wald-Tests: OLS Schätzer von  OLS Residuen

Unit-Root Tests Kapetanios Zeigt, dass Wald-Statistik asymptotisch wie folgt verteilt ist: Wobei W(s) eine Standard-Brownsche Bewegung mit s  [0,1] ist

Unit-Root Tests Kapetanios Für unbekannte Thresholds besteht beim Testen das „Davies-Problem“, d.h. Grenzen unter H0 nicht identifiziert Lösungsansatz: Berechnung der Teststatistik für eine Anzahl von Parametern: Übliche Teststatistiken: I:= i-tes Element des Parameterraums #:= Anzahl der Elemente im Parameterraum

Unit-Root Tests Kapetanios Vergleich der vorgeschlagenen Test-Statistiken mit DF-Test in Monte-Carlo-Studie: Wenn Threshold-Band eng, sind symmetrische Wald-Tests und DF effizienter als asymmetrische Wald-Tests Güte des DF-Test sinkt mit steigenden Thresholds Güteabnahme für W(exp) mit steigenden Thresholds am geringsten W(.)-Tests dominieren DF generell bei großen Thresholds Güte symmetrischer und asymmetrischer W-Tests vergleichbar Bei asymmetrischem Prozess (1 2) nimmt Test-Güte generell ab, jedoch schwächer bei asymmetrischen Tests

Unit-Root Tests Berben, Dijk Test auf Unit Root mit unbekannten Thresholds F-Statistik: Fehlervarianz unter H0 Mit: Leiten asymptotische Verteilung von Fn für unbekannte Thresholds her:

Unit-Root Tests Seo Threshold Parameter  = (1, 2), 1<= 2 unbekannt Threshold Variable ist verzögerte Levelvariable ist nicht stationär unter H0 Berechnung der Wald-Statistik basierend auf DF-Regression: Residualvarianz des geschätzten Modells Residualvarianz des geschätzten H0-Modells

Unit-Root Tests Seo Leitet asymptotische Verteilung der Teststatistik her: nicht-standard und nicht-gewöhnlich Abhängig von Störtermen: langfristige Varianz w², Bias , r(0),..., r(p) Abhängigkeit von Datenstruktur sehr komplex, daher können keine kritischen Werte tabelliert werden Residual Block-Based Bootstrap-Verfahren zur Bestimmung kritischer Werte

Kointegrationstests Allgemein Sind Koeffizienten der Kointegrationsbeziehung bekannt, genügt Einheitswurzeltest auf Linearkombination Wird H0: Nichtstationarität verworfen, so deuten Daten auf Kointegration hin Bei unbekanntem Kointegrationsvektor muss zunächst Kointegrationsbeziehung geschätzt werden

Kointegrationstests Engle-Granger-Verfahren 0.Schritt: Sind betrachtete Zeitreihen vom gleichen Integrationsgrad? Anwendung des Durbin-Watson-Tests bzw. DF bzw. ADF-Tests (zB für Level und Differenzen-Variablen Wird H0: Einheitswurzel für Differenzen abgelehnt, aber nicht für Level, so liegt I(1) vor 1. Schritt: Schätzung der Kointegrationsbeziehung mit OLS Linearkombination der betrachteten M Zeitreihen Besondere Eigenschaften der OLS-Schätzung: Normalisierung, d.h. Wahl des Regressanden spielt asymptotisch keine Rolle Schätzwerte konvergieren nicht mit T(1/2) sondern mit T gegen wahren Wert (Superkonsistenz)  Verwendung der Schätzwerte asymptotisch äquivalent zur Verwendung der wahren Werte

Kointegrationstests Engle-Granger-Verfahren 2. Schritt: DF-Test auf Stationarität der OLS-Residuen H0: ut ~ I(1) vs. H1: ut ~ I(0) Zeitreihen nicht kointegriert, bzw. es liegt Scheinregression vor Ut hat keine Einheitswurzel, d.h. Restgrößenprozess der LKB stationär, Zeitreihen sind kointegriert, d.h. Abweichungen von langfristigen Zusammenhang der betrachteten Variablen haben Stationaritätseigenschaften Da Residuen geschätzt werden, gelten nicht mehr die kritischen Werte des DF bzw. ADF-Tests. Korrekte kritische Werte wurden durch MacKinnon (1991) durch eine Response-Surface-Simulation ermittelt.

Kointegrationstests Aufbau: Johansen-Verfahren Mit dem Engle-Granger Verfahren kann nur eine einzige Kointegrationsbeziehung ermittelt werden. Bei m betrachteten Zeitreihen sind jedoch bis zu m-1 Kointegrationsbeziehungen möglich.  Testverfahren sollte aufzeigen, ob mehrere u. falls ja wieviele Kointegrationsbeziehungen vorliegen Johansen-Verfahren: basierend auf ML-Techniken, erlaubt mehrere Kointegrationsbeziehungen, ist ohne Koeffizientennormierung durchführbar und kann Anzahl der Kointegrationsbeziehungen nachweisen Aufbau: 1) OLS-Schätzung der Hilfsgleichungen 2) Kanonische Korrelationen (Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren) 3) ML-Schätzung der Modellparameter

Kointegrationstests Johansen-Verfahren Ausgangspunkt ist VAR-Modell für M I(1) Level-Variablen: Mx1 Mx1 MxM Mx1 Mx1 LHS ist I(0), RHS:  Vektor mit Konstanten,  I(0), daher muss (-I) I(0) sein Sind Variablen nicht kointegriert, so muss =I gelten Existieren r kointegrierende Beziehungen (Z ist rx1 Vektor), so kann dieser Term als I(0) Variable geschrieben werden: Mit ‘ (rxM)-Matrix der Kointegrationskoeffizienten und  (Mxr)-Matrix, Produkt ergibt (MxM)-Matrix -I und ist I(0)  Als Matrix der Fehlerkorrekturkoeffizienten interpretierbar:

Kointegrationstests Johansen-Verfahren Verallgemeinerung des ECM Hier VAR(1)-Modell, daher keine verzögerten Differenzen im ECM Bei VAR(p)-Modell treten (p-1) Differenzenterme auf; (-I) ist dann die Summe aller p-Koeffizientenmatrizen Rang von (-I) bestimmt durch Anzahl der kointegrierenden Beziehungen: Für r=0 reduziert sich Modell auf VAR-Modell in Differenzen Für r=M: stationäre Niveaudaten ML-Schätzung der Matrix (-I) unter Annahme ~N(0,1) Überprüfung der Hypothesen r=0,1,...,M-1 anhand dieser Schätzung mittels Likelihood-Ratio-Tests  Ermittlung der „stationärsten“ Kointegrationsbeziehung Schätzproblem kann als kanonische Korrelationsanalyse des aktuellen yt und dem verzögerten yt dargestellt werden Berechnung der Teststatistiken anhand von quadrierten kanonischen Korrelationskoefizienten (als Eigenwerte ermittelt) Da Variablen I(1) sind, sind Testwerte der LR-Statistiken nicht ²-verteilt; Verteilung von Johansen tabelliert (abhängig ob Trend u./o. Konstante im System enthalten ist)  Johansen-Test multivariate Version des ADF-Test

Kointegrationstests Johansen-Verfahren Spurtest: Mit r:= Rang von (-I) h:= maximale Anzahl an Kointegrationsbeziehungen Trace-Teststatistik: Mit T:=Stichprobengröße m:=Anzahl der Variablen := Eigenwerte Eigenwerte werden sequentiell in absteigender Reihenfolge geordnet Liegen h Kointegrationsbeziehungen vor, so ist h der letzte signifikante Test, der die H0 von m-h Einheitswurzeln zurückweisen kann, denn h+1 enthält bereits eine Einheitswurzel Trace-Teststatistik wird für alle h=0,...,h=m-1 berechnet und sinkt mit steigendem h

Kointegrationstests Test-Performance Balke und Fomby (1997) führen Monte-Carlo-Studie durch, um Güte von Kointegrationstests zu beurteilen Güte gegen H1 steigt mit abnehmendem Threshold Güte steigt mit Zahl der Beobachtungen ADF-Test ist schwächer als Philipps-Perron-Test Schätzung des Kointegrationsvektors verringert Testgüte Johansen-Ansatz liefert bessere Güte als Engle-Granger-Verfahren mit ADF, aber schlechter als Engle-Granger mit Philipps-Perron Lineare Standard-Methoden zur Untersuchung auf Kointegration sind im Allgemeinen auch auf für Threshold kointegrierte Prozesse geeignet In den Monte-Carlo-Experimenten verursachte die Threshold-Struktur des Fehlerkorrekturterms in der Regel einen leichten Güteverlust im Vergleich zu linearen Modellen

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