Problemlösen im Mathematikunterricht (Klassen 5/6) Veranstaltung zu Sinus-Transfer am 10.05.2005 in der Humboldt-Universität zu Berlin Wolfgang Schulz

Struktur eines Problems Anfangszustand (A) A Zielzustand (Z) Z Transformation (T) T Gelingt T nicht unmittelbar, liegt ein Problem vor. Gelingt T unmittelbar, liegt eine Aufgabe vor.

Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Problemlösen und Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik der Länder Brandenburg, Berlin, Bremen und Mecklenburg-Vorpommern, 2004

4. Gestaltung von Unterricht – fachdidaktische Ansprüche Mathematik lernen durch Arbeiten an Problemen Die Lehrerinnen und Lehrer werfen Probleme auf, zu deren Lösung ein Weg aus dem Unterricht nicht unmittelbar bekannt ist. Innermathematische Probleme ermöglichen den Schülerinnen und Schülern das Entdecken von mathematischen Regelmäßigkeiten und Mustern. Außermathematische Probleme fordern und fördern die Fähigkeit zur mathematischen Modellbildung. Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 23

Kann man Lösungsvorschläge ausschließen ?

Hundertertafel 10 1 91 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 9 als Einer 9 als Zehner 90 98 97 96 95 94 93 92 91

Struktur finden Entscheidend war es, eine Hilfe für systematisches Suchen zu finden. Es soll ja keine Möglichkeit vergessen werden. Hier war es mit der Hundertertafel eine vertraute Form. Die Schüler sollten aber möglichst selbst herausfinden, dass die Hundertertafel helfen kann.

4. Gestaltung von Unterricht – fachdidaktische Ansprüche Mathematik lernen durch Arbeiten an Problemen Die Lehrerinnen und Lehrer werfen Probleme auf, zu deren Lösung ein Weg aus dem Unterricht nicht unmittelbar bekannt ist. Innermathematische Probleme ermöglichen den Schülerinnen und Schülern das Entdecken von mathematischen Regelmäßigkeiten und Mustern. Außermathematische Probleme fordern und fördern die Fähigkeit zur mathematischen Modellbildung. Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 23

Modellierungsprozess bei mathematischen Aufgaben Klieme, E.; Neubrand, M; Lüdtke, O.: Mathematische Grundbildung: Test-konzeption und Ergebnisse, in: PISA 2000 - Basiskompetenzen von Schü-lerinnen und Schülern im internationalen Vergleich, Opladen 2001, S. 144

Situation Modell Konsequenzen Information Streckenzüge Längen betrachten Konsequenzen Längen vergleichen Information Kann das sein ?

1.4 Gestaltung von Unterricht Problemorientierte Aufgaben entwickeln Problemorientierte Aufgaben sind so angelegt, dass Schülerinnen und Schüler zur kreativen Bearbeitung angeregt und verschiedene Kompetenzen gefördert werden. Sie zielen sowohl auf das Verständnis von Zusammenhängen als auch auf sachbezogenes, logisches, zielorientiertes Arbeiten. Sie unterstützen die Entwicklung von unterschiedlichen Lösungsstrategien und schließen das Nachdenken über das Lernen ein. Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 12

2. Der Beitrag des Faches zur Bildung und Erziehung in der Grundschule Sachkompetenz Schülerinnen und Schüler erwerben Sachkompetenz und weisen diese nach, indem sie im Umgang mit einem Problem ihre mathematischen Kenntnisse sowie ihre Fähigkeiten und Fertigkeiten zielgerichtet einsetzen und erweitern. Zu diesen Kenntnissen zählen im Verlauf des Unterrichts erworbene Begriffe, Zusammenhänge (Sätze) und Verfahren aus verschiedenen Inhaltsbereichen. Sie gilt es in verschiedenen Kontexten reflektiert einzusetzen. Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 18

Mathematische Methoden beherrschen 2. Der Beitrag des Faches zur Bildung und Erziehung in der Grundschule Methodenkompetenz Methodenkompetenz verlangt neben der Beherrschung eines Verfahrens auch dessen begründete Auswahl. Mathematische Methoden beherrschen Für das Lösen inner- und außermathematischer Probleme ist es notwendig, Informationen zu beschaffen, auszuwerten und die eigenen Ergebnisse darzustellen. Dazu sind Fähigkeiten der Informationsentnahme aus Texten sowie fachspezifische und heuristische Methoden erforderlich. Die Schülerinnen und Schüler können diese Methoden reflektiert und bewusst anwenden. Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 18

2. Der Beitrag des Faches zur Bildung und Erziehung in der Grundschule Methodenkompetenz Außer- und innermathematische Probleme zu lösen bedeutet auch, dass die Schülerinnen und Schüler mathematische Modelle entwickeln. Fragen wie: Wie lässt sich der Sachverhalt mathematisch ausdrücken? und: Ist das Modell der Situation angemessen? und: Kann das Ergebnis überhaupt zutreffen? können von Schülerinnen und Schülern beantwortet werden. mathematisieren interpretieren validieren Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 18

2. Der Beitrag des Faches zur Bildung und Erziehung in der Grundschule Soziale Kompetenz Die Schülerinnen und Schüler erwerben im Rahmen ihrer mathematischen Aktivitäten ... Fähigkeiten zum Kommunizieren. Personale Kompetenz Ziel des Mathematikunterrichts ist es, das Zutrauen in die eigene Leistungsfähigkeit bei den Schülerinnen und Schülern zu entwickeln bzw. zu erhalten. Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 19

3. Standards Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6 Allgemeine mathematische Fähigkeiten Die Schülerinnen und Schüler – beschreiben Sachverhalte unter Verwendung mathematischer Fachbegriffe und Symbole, mathematisieren Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 21

3. Standards Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6 Allgemeine mathematische Fähigkeiten Die Schülerinnen und Schüler – beschreiben Sachverhalte unter Verwendung mathematischer Fachbegriffe und Symbole, – erkennen mathematische Zusammenhänge, beschreiben und begründen diese, Sachkompetenz Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 21

3. Standards Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6 Allgemeine mathematische Fähigkeiten Die Schülerinnen und Schüler – beschreiben Sachverhalte unter Verwendung mathematischer Fachbegriffe und Symbole, – erkennen mathematische Zusammenhänge, beschreiben und begründen diese, – entnehmen aus Sachtexten und anderen Darstellungen die relevanten Informationen und kommunizieren mit anderen darüber, Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 21 Methodenkompetenz Soziale Kompetenz

3. Standards Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6 Allgemeine mathematische Fähigkeiten Die Schülerinnen und Schüler – stellen Lösungsprozesse dar, kommentieren und reflektieren diese und überprüfen Lösungen, Kommunizieren Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 21

3. Standards Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6 Allgemeine mathematische Fähigkeiten Die Schülerinnen und Schüler – stellen Lösungsprozesse dar, kommentieren und reflektieren diese und überprüfen Lösungen, – übersetzen Sachprobleme in die Sprache der Mathematik, lösen sie innermathematisch und prüfen diese Lösungen an der Realität, Modellbildung Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 21

3. Standards Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6 Allgemeine mathematische Fähigkeiten Die Schülerinnen und Schüler – stellen Lösungsprozesse dar, kommentieren und reflektieren diese und überprüfen Lösungen, – übersetzen Sachprobleme in die Sprache der Mathematik, lösen sie innermathematisch und prüfen diese Lösungen an der Realität, – nutzen geeignete heuristische Methoden zum Lösen von Problemen, Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 21

3. Standards Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6 Allgemeine mathematische Fähigkeiten Die Schülerinnen und Schüler – vollziehen Vorgehensweisen von Mitschülerinnen und Mitschülern beim Lösen von Aufgaben nach und schätzen diese ein, kommunizieren Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 21

3. Standards Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6 Allgemeine mathematische Fähigkeiten Die Schülerinnen und Schüler – vollziehen Vorgehensweisen von Mitschülerinnen und Mitschülern beim Lösen von Aufgaben nach und schätzen diese ein, – beschaffen sich zielgerichtet Informationen mithilfe von verschiedensten Medien und bereiten diese auf. Methodenkompetenz Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 21

4. Gestaltung von Unterricht – fachdidaktische Ansprüche Aufgabenkultur Die Lehrerinnen und Lehrer realisieren eine veränderte Aufgabenkultur, indem sie – Aufgaben anbieten, anhand derer Mathematiklernen als Problemlösen bzw. als entdeckendes Lernen differenziert erfolgen kann, Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 25

4. Gestaltung von Unterricht – fachdidaktische Ansprüche Aufgabenkultur Die Lehrerinnen und Lehrer realisieren eine veränderte Aufgabenkultur, indem sie – Aufgaben anbieten, anhand derer Mathematiklernen als Problemlösen bzw. als entdeckendes Lernen differenziert erfolgen kann, – authentische Problemstellungen bereitstellen, die das Lernen anwendungs- und strukturorientiert, ganzheitlich und in Sinnzusammenhängen ermöglichen, Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 25

4. Gestaltung von Unterricht – fachdidaktische Ansprüche Aufgabenkultur Die Lehrerinnen und Lehrer realisieren eine veränderte Aufgabenkultur, indem sie – komplexe Aufgaben einbeziehen, anhand derer die Schülerinnen und Schüler zum Verknüpfen einzelner mathematischer Inhaltsbereiche miteinander sowie mit fachübergreifenden Themen angeregt werden. Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 26

5. Inhalte 5. 1 Übersicht über die Themenfelder Form und Veränderung Als wesentliche Voraussetzung für das Lösen von Prob- lemen und für die Gewinnung der Einsicht in die Schönheit und Ästhetik von Mustern müssen die Schülerinnen und Schüler Fertigkeiten zur zeichnerischen Darstellung von ebenen Figuren und Körpern erwerben. Damit stehen ihnen neben dem Hantieren mit geometrischen Objekten die zeichnerische Darstellung derselben als Stütze für das Er- fassen von Zuordnungen und Strukturen sowohl im geome- trischen als auch im arithmetischen Bereich zur Verfügung. Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 28

Ein geometrisches Problem Aus einem quadratischen Blatt Papier soll durch Falten ein Viereck entstehen, dessen Eckpunkte die Seitenmitten des Quadrates sind. Was kann über die entstehenden Figuren gesagt werden? A Z T

Bezug zum Rahmenlehrplan Jahrgangsstufen 5/6 Form und Veränderung - Symmetrien in ebenen Figuren und Körpern identifizieren - Figuren auf Kongruenz untersuchen und vergleichen Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 39

Ein geometrisches Problem Gegeben ist ein Quadrat, in dem die Seitenmitten Eckpunkte eines Vierecks sind. Welche Eigenschaften hat die Figur ?

Ein geometrisches Problem Falten und Symmetrie Sind das alle ? C auf D legen und falten, liefert eine Symmetrieachse. B auf C legen und falten, liefert eine Symmetrieachse. C auf A legen und falten, liefert eine Symmetrieachse. B auf D legen und falten, liefert eine Symmetrieachse.

Ein geometrisches Problem Kongruente Figuren ? Alle Dreiecke sind kongruent zueinander. sws Falten entlang der Seiten des neuen Vierecks. Es entstehen vier Dreiecke, die auch kongruent sind . Das neue Viereck ist auch ein Quadrat. Sein Flächeninhalt ist halb so groß.

A Z T Herget, W.; Jahnke, T.; Kroll, W.:Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht, Cornelsen 2001, S.12

Riesenschuh Keine Frage gestellt Welche Schuhgröße hat dieser Schuh ? Modellierung ? 1. Schritt: Schuhlänge Mehrere Wege Verschiedene Ergebnisse

Riesenschuh Deutsche Schuhgrößen Unterbestimmte Aufgabe cm 34 35 36 37 38 39 40 22,7 23,3 24,0 24,7 25,3 26,0 26,7 Proportionalität ? Ja, Prop.faktor 1,5 Modellierung mit mehreren Schritten

3. Standards Standards am Ende der Jahrgangsstufe 6 Allgemeine mathematische Fähigkeiten Die Schülerinnen und Schüler – vollziehen Vorgehensweisen von Mitschülerinnen und Mitschülern beim Lösen von Aufgaben nach und schätzen diese ein, – beschaffen sich zielgerichtet Informationen mithilfe von verschiedensten Medien und bereiten diese auf. Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 21

Riesenschuh Schuhlänge auf dem Bild 14 cm ·8 Brillenbreite auf dem Bild 1,6 cm ·8 Meine Brille ist 13 cm breit. Dann ist der Schuh 112 cm lang. ·1,5 Das ist Schuhgröße 168.

Riesenschuh Schuhlänge auf dem Bild 14 cm ·8 Brillenbreite auf dem Bild 1,6 cm ·8 Meine Brille ist 13 cm breit. Dann ist der Schuh 112 cm lang. ·1,5 Das ist Schuhgröße 168. Keinem passt so ein Schuh.

Bezug zum Rahmenlehrplan Jahrgangsstufen 5/6 Zahlen und Operationen - Sachaufgaben zur Proportionalität inhaltlich lösen Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 39

5. Inhalte 5. 1 Übersicht über die Themenfelder Zahlen und Operationen In allen Jahrgangsstufen erhalten die Schülerinnen und Schüler beim Arbeiten mit Zahlen und beim Rechnen ausreichend Gelegenheit, Muster, Strukturen und Zuordnungen zu entdecken und diese in unterschiedlicher Weise darzustellen. Hierauf wird bei der Behandlung der Proportionalität aufgebaut. Rahmenlehrplan Grundschule Mathematik Berlin, S. 29

Zahlenmauern Was fällt auf ? 4211 2101 2110 1001 1100 1010 16 1001 1100 1010 2101 2110 4211 16 Was fällt auf ? 8 8 4 4 4 2 2 2 2

Zahlenmauern Zahlensteine vertauschen Wann größtes Ergebnis ? 4008 2003 2005 1001 1002 1003 Zahlensteine vertauschen Wann größtes Ergebnis ? 6 11 18 77 59 48 7 43 5 1 Lücken füllen

Zahlenmauern Lücken füllen Mehrere Möglichkeiten 1000 500 500 250 250 250 Lücken füllen Mehrere Möglichkeiten 7 8 Baue eine Mauer aus den Steinen 7, 8, 9, 10, 16, 17, 18, 33, 35, 78

Zahlenmauern Lücken füllen Mehrere Möglichkeiten Nicht möglich 1000 500 500 250 250 250 Lücken füllen Mehrere Möglichkeiten 68 Nicht möglich 33 35 16 17 18 7 9 8 10 Baue eine Mauer aus den Steinen 7, 8, 9, 10, 16, 17, 18, 33, 35, 78

Zahlenmauern Baue Zahlenmauern mit vier aufeinander-folgenden Zahlen auf den Grundsteinen. Baue eine Zahlenmauer mit vier Grundsteinen und einigen Lücken. Hier sind die Steine einer Zahlenmauer. Ein Stein ist zu viel. 5, 15, 17, 20, 35, 37, 72 Lege eine Zahlenmauer aus den Zahlen 1, 7, 10, 3, 2, 5. Ist es die einzige Möglichkeit.

Zahlenmauern Baue eine Zahlenmauern mit dem Zielstein 100. In den Grundsteinen sollen vier aufeinanderfolgende Zahlen stehen. Baue eine Zahlenmauer, in der die Zahlen ½, ¼ und ¾ vorkommen. Lege eine Zahlenmauer mit drei Grund- steinen. Wie musst du die Steine legen, da- mit der Zielstein besonders groß (klein) wird.

Känguru 2005 Klassenstufen 5 und 6

Känguru 2005 Klassenstufen 5 und 6

Känguru 2005 Klassenstufen 5 und 6

Rockkonzert Bei einem Rockkonzert wurde ein recht-eckiges Feld der Größe 100 m mal 50 m für die Zuschauer reserviert. Das Konzert war komplett ausverkauft und das Feld war voll mit stehenden Fans. Welche der folgenden Schätzungen über die gesamte Besucher-zahl ist wahrscheinlich die beste ? A 2 000 B 5 000 C 20 000 D 50 000 E 100 000 PISA 2003, Internationaler Test

31 Pfennig PISA 2000, nationaler Ergänzungstest, Lösungshäufigkeit alle 6 Möglichkeiten 2,9 %; 4 oder 5 Möglichkeiten 17,9 %