beschleunigtes, rotierendes System 4. Beschleunigte Bezugssysteme und starre Körper 4.1. Translation und Rotation, Scheinkräfte Translation: Rotation: fest x y z φ Momentane Winkelgeschwindigkeit beschleunigtes, rotierendes System Allgemein: Überlagerung Σ Inertialsystem ( ruhendes Referenzsystem ) m

m Σ Kinematik (vgl. Theorie):  Dynamik: Inertialsystem ( ruhendes Referenzsystem ) m beschleunigtes, rotierendes System Kinematik (vgl. Theorie): Translation Rotation  Dynamik: Trägheitskräfte („Scheinkräfte”)

(falls Masse an Waage fixiert) Beispiel 1: Geradlinig beschleunigte Bewegung Anzeige der Waage: Waage m Realisierung: Freier Fall: „Schwerelosigkeit” Rakete: Sturzflug: (falls Masse an Waage fixiert)

m . Beispiel 2: Gleichförmige Rotation m Coriolis-Kraft x y z m Beispiel 2: Gleichförmige Rotation Coriolis-Kraft Zentrifugal-kraft Coriolis-Kraft: v-abhängig Zentrifugalkraft: radial, -abhängig m . Zentrifugal-kraft

ω Beispiel: Raumfahrt F = 0 Künstliche Schwerkraft „Unten“ = radial Schwerelosigkeit im Orbit Künstliche Schwerkraft „Unten“ = radial ω F = 0

 feste Position ( Kräftefreiheit ) Geostationäre Bahn: Satellit  Erde 1. Sichtweise:  in Erde, nicht rotierend  Kreisbewegung 2. Sichtweise: erdfest, rotierend  feste Position ( Kräftefreiheit ) 3. Sichtweise: im Satellit, nicht rotierend  feste Position ( Kräftefreiheit )

Gravitationskraft des Mondes Beispiel: Geodit (Erdform)  Rotationsellipsoid definiert NN (Normal-Null), RÄquator  RPol  20 km Beispiel: Gezeiten Erde Mond Schwerpunkt: Σ Flutberg Flutberg Gravitationskraft des Mondes Zentrifugalkraft durch Rotation um Schwerpunkt

Beispiel: Foucault-Pendel Berlin:   52,5 TS  30,25 h S  11,9  h Erde  Pendel hängt „schief“ : Corioliskraft Pendelebene (Aufsicht, Nordhalbkugel) Σ: Erde dreht sich unter Pendel durch

Beispiel: Hurricane

4.2. Dynamik des starren Körpers 4.2.1. Bewegung des starren Körpers Def.: Starrer Körper  System von Massenpunkten fester Relativkoord. dm dV M O Homogene Körper  Komponenten der Bewegung: Translation: Massenpunkte laufen auf kongruenten Bahnen Rotation: Massenpunkte laufen auf konzentrischen Kreisen

Def.: Massenmittelpunkt (MMP) Folgerung: Gesamtimpuls Bewegungsgl.:  Translationsbewegung: Der MMP bewegt sich wie ein Massen- punkt der Masse M unter dem Einfluss der externen Kräfte. Dieser Teil ist also gewöhnliche Punktmechanik. Dieses Kapitel: Rotationsbewegung um den ruhenden MMP

. Experimentelle Bestimmung des Massenmittelpunkts: MMP Stabile Lage Mg MMP Stabile Lage Experiment: MMP

Experiment: Stabilität des schiefen Turms MMP MMP Mg MMP Mg Mg stabil labil instabil

(nicht notwendig um MMP) 4.2.2. Rotationsenergie dm r Def.: Trägheitsmoment (bezüglich der Drehachse) Drehachse (nicht notwendig um MMP) Folgerung:

0,4 : 0,5 : 0,667 : 1 Beispiel: Vollzylinder (  Tafelrechnung) z L Achse z L Vergleich: Vollzylinder: Hohlzylinder: Vollkugel: Hohlkugel: 0,4 : 0,5 : 0,667 : 1

Zylinder auf schiefer Ebene Beispiel: „Rollende“ Zylinder h M Δt ω Zylinder auf schiefer Ebene M Abrollender Faden Energiebilanz (  Tafelrechnung ) 

Beispiel: Maxwell-Rad Faden 2r Drehachse m R h M Tafelrechnung 

Folgerung: Steinerscher Satz Totale kinetische Energie: Rotation um MMP: MMP S Drehachse (nicht um MMP) Translation von MMP: (Kreisbewegung um Achse) Rotation um Drehachse:  Steinerscher Satz: Es reicht, Drehachsen zu betrachten, die durch den MMP gehen. Die Übersetzung auf parallelverschobene Achsen ist trivial.

4.2.3. Drehmoment und Drehimpuls ( vgl. Theorie) Translation  Rotation Masse m  Trägheitsmoment (bzgl. Drehachse) Geschwindigkeit  Winkelgeschwindigkeit Kinetische Energie  Rotationsenergie

Translation  Rotation Impuls  Drehimpuls Kraft  Drehmoment Bewegungsgleichung 

Bewegungsgleichung der Rotation: Referenzpunkt Folgerung: Drehimpulserhaltung Wirken keine äußeren Drehmomente auf einen Körper (bzgl. eines Referenzpunktes), bleibt der Drehimpuls (bzgl. des Referenzpunktes) konstant.

Beispiel: Drehschwingungen Steinerscher Satz M, J R Teller Rückstell-feder Dreh-achse φ (Tafelrechnung) t Periode T φ

T2 R2 α

Experiment: Rolle mit Faden Kein Drehmoment

4.2.4. Trägheitstensor ( vgl. Theorie) in Komponenten mit und Trägheitstensor Trägheitstensor  Körpereigenschaft, unabhängig von Drehachse symmetrisch: positiv definit:

H S H Beispiel: Rotation des H2-Moleküls „Unwucht”  präzediert um  es wirkt „Unwucht” S H Feste Drehachse

S Beispiel: Körper mit Rotationssymmetrie  Töpferei Schwerpunkt liegt auf Symmetrieachse Spezialfall: Drehung um Symmetrieachse S

Zusammenhang von J bzgl. Drehachse mit Tensor : Folgerung: Folgerung:

Definition: Trägheitsellipsoid  alle mit z P y x Tafelrechnung  steht senkrecht auf Trägheitsellipsoid  i.a. gilt

Hauptachsen des Trägheitsellipsoiden: Drehung ( x , y , z )  (  ,  ,  ) sodass y z x ζ Hauptträgheitsmomente (HTM) ξ   große Halbachse   mittlere Halbachse   kleine Halbachse η Hauptachsen ξ, η, ζ stehen senkrecht auf Oberfläche Folgerung: falls

Definition: Asymmetrische Kreisel: Jζ  Jη  Jξ  Jζ Buch N O NO2 - Molekül ζ η ξ Symmetrische Kreisel: 2 HTMe gleich, z.B. Rotationskörper Prolate Kreisel: Jζ < Jη  Jξ Oblate Kreisel: Jζ  Jη  Jξ a η ξ ζ ζ η ξ Sphärische Kreisel: Jζ  Jη  Jξ Trägheitsellipsoid  Kugel Kugel η ξ ζ ξ Würfel η ζ

(samt Entartung bei Symmetrie) Definition: Freie Achsen  Mögliche Drehachsen ohne äußere Drehmomente Wegen folgt: (samt Entartung bei Symmetrie) Stabilität freier Achsen: ( vgl. Theorie) große Halbachse   stabil gegen kleine Störung mittlere Halbachse   instabil kleine Halbachse   stabil

4.3. Der Kreisel Bisher: feste bzw. freie Drehachse Kreisel: fester Punkt, bewegliche Drehachse Beispiele: kräftefreie Körper  fester Massenmittelpunkt (MMP) gestützter Kreisel Unterstützung in S  kräftefreier Kreisel Schwerpunkt S Unterstützung jenseits S  Gravitation Drehmoment  Präzedierender Kreisel

Jx  Jy z y x 4.3.1. Kräftefreier symmetrischer Kreisel S Nutation Symmetrieachse = Figurenachse = Hauptachse Drehachse (körperfest) (im raumfesten System) y Nutation S x körperfestes, rotierendes Hauptachsensystem Jx  Jy

Lz Ly Lx Nutation von Figurenachse und Drehachse: liegt auf Schnittkurve Lx , Ly , Lz: körperfeste Komponenten Lz Ellipsoid rotiert im raumfesten System um rotiert im körperfesten System um Schnittkurve raum- und körperfeste Kugel: körperfester Ellipsoid: Ly Lx

z z β α α β Nutation im raumfesten (nicht rotierenden System): Rastpolkegel, Öffnungswinkel βα (Ort der momentanen Drehachse) Figurenachse z z β α Lz  Jz · ωz α Nutationskegel Öffnungswinkel α β Gangpolkegel, Öffnungswinkel β (rollt auf Rastpolkegel ab) 

4.3.2. Präzession des symmetrischen Kreisels Betrachte Figurenachse  keine Nutation i) Präzession des Gyroskops: Faden  m Laufachse S Tafelrechnung 

ii) Kinderkreisel α (  const. ) S ωP α α Tafelrechnung 

 Nord – Süd – Ausrichtung iii) Kreiselkompass Drehmoment durch Erddrehung   Nord – Süd – Ausrichtung Erddrehung ωE West Ost

iv) Erdpräzession S1 Ekliptik S2 Erde zur Sonne (Rotationsellipsoid) Sonnenanziehung  Zentrifugalkraft Sonnenanziehung  Zentrifugalkraft 23,5° S1 zur Sonne Ekliptik (Ebene der Erdumlaufbahn um die Sonne) S2 Erde (Rotationsellipsoid) Zusätzlich: Rotationsachse  Figurenachse  Nutation