TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENE Vorlesung am 18. April 2006 Robert Klanner Universität Hamburg, IExpPh Sommersemester 2006

WIEDERHOLUNG  Dirac Gleichung Dualität Teilchen Welle: (ℏ = c =1) KG: - neg. Energien + neg. Wahrsch.-Dichte  Dirac: kov. Gleichung linear in E und p: mit Bedingung  ai , b … 4x4 Matrizen  Lösung ψ Spinor mit 4 Komponenten  beschreibt Spin ½ Teilchen mit Masse m  Lösung mit neg. Energien  Antiteilchen freies Elektron in Ruhe: freies Positron in Ruhe: Elektron im em Potential:   Pauli-Gleichung   Dirac Gleichung beschreibt korrekt Elektronen und Positronen DGL in kovarianter Schreibweise: - kovariante und kontravariante Vektoren: - g-Matrizen: - Ableitungen: - kovariante Form DGL: - vollständige Lösungen:  Schrödinger Gleichung (SG)  Klein-Gordon Gleichung (KG) 4-Stromdichte:  RK/TSS SS06: Teilchenphysik II

DIE LÖSUNGEN NEGATIVER ENERGIE „anschauliche“ Erläuterung: Streuung geladener (punktf!) p+, p--Mesonen an Potential V(t) p+-Streuung mit  p+ absorbiert Photon der Energie p--Streuung einlaufend p- mit E1>0 = ausl. p+ mit Eout= -E1 auslaufend p- mit E2>0 = einl. p+ mit Ein= -E2 p- absorbiert Photon der Energie p+ p- -Paarerzeugung rücklaufendes p+  vorlauf. p- mit E1+E2 = ℏw p+ p- -Paarvernichtung Potential:  V nimmt Energie auf p+ p- vernichten in Photon mit V gibt Energie ab V nimmt Energie auf RK/TSS SS06: Teilchenphysik II

ÜBERBLICK Die quantenmechanische Beschreibung von Elektronen Feynman-Regeln und –Diagramme 2.1 Axiomatische Einführung der Regeln der QED 2.2 Ableitung der Regeln (1) 2.3 Das Matrix-Element der e–-Streuung 2.4 Ableitung der Regeln (2) 2.5 Fermi’s Goldene Regel und Wirkungsquerschnitte 2.6 Kinematik der 22-Streuung (Mandelstam-Variablen) 2.7 Wirkungsquerschnitt der 22-Streuung a+bc+d 2.8 Berechnung des Matrix-Elements 2.9 Crossing und wichtige QED-Prozesse 2.10 PETRA und das JADE-Experiment 2.11 Helizität und Chiralität 2.12 d-Funktionen RK/TSS SS06: Teilchenphysik II

2.1 DIE FEYNMAN-REGELN DER QED Feynman entwickelte eine bildhafte Sprache zur Beschreibung von Teilchenreaktionen (hier nur QED ie. Photonen, geladene Leptonen, (Quarks)): – Vertizes: Umwandlung von Teilchen, Teilchenzahländerung: – äußere Linien: (Anti)Fermionen, Photonen – innere Linien (Propagatoren): z.B. in Zuordnung: – einlaufende Fermionen: – auslaufende Fermionen: – einlaufende Antifermionen: – auslaufende Antifermionen: – Photon-Absorption/Emission: (Polarisationsvektor , Coulomb-Eichung 0=0) – innere Photonen mit Impuls q: (“Propagator”) – innere Spin-1/2-Teilchen, Impuls p, Masse m – Vertex mit Ladung Qe: (+-Funktion zur Energieerhaltung) – Schleifen: Integration über mögliche Impulse: Ableitung des Matrixelements / des Wirkungs-querschnitts des Prozesses durch (geschicktes) Multiplizieren der Beiträge. ? q p q-p Epsilon_0,vcec{epsilon); epsilon_0 ist die Coulomb-Eichung – wird hier weiter verwendet. RK/TSS SS06: Teilchenphysik II

2.1 DIE FEYNMAN-REGELN DER QED Zeit – Matrixelement Sfi(1) 1te Ordnung Störungstheorie e– – man spricht von der Strom-Strom-Wechselwirkung Epsilon_0,vcec{epsilon); epsilon_0 ist die Coulomb-Eichung – wird hier weiter verwendet. Die Feynman-Diagramme stellen Glieder einer Störungsreihe in der Kopplung e dar: Dabei treten reelle (Abstrahlung von Teilchen im Anfangs- oder Endzustand) und virtuelle (Schleifen-) Korrekturen auf. RK/TSS SS06: Teilchenphysik II

2.2 “ABLEITUNG” DER FEYNMAN-REGELN (1) Vorgehensweise: Berechnung Elektron-Propagator (zeitliche Entwicklung Spinor im Vektorpotential Am) 2.Berechnung Photon-Propagator (Vektorpotential vom Target) Lösung mit Hilfe Greens-Funktion (GF) Erinnerung Elektrostatik: Poisson Gl: Lösung: GF:  GF: Potential Ladung Stärke 1 Wir betrachten ein Elektron im elektromagnetischen Feld A: Die Dirac-Gleichung mit Potentialterm: Diese Gleichung löst man mithilfe einer Greens-Funktion K(x-x’) mit dem Ansatz: Falls man K(x-x’) gefunden hat, dann gilt: Problem: Dies ist eine Integralgleichung für   Lösung iterativ durch Entwicklung nach Potenzen von e. Aufgaben: – Finden von K(x-x’) – Iterative Lösung obiger Gleichung – Interpretation von K(x-x’) Epsilon_0,vcec{epsilon); epsilon_0 ist die Coulomb-Eichung – wird hier weiter verwendet. (Heaviside-Lorentz Einheiten von SI-E mit e0=m0=1) RK/TSS SS06: Teilchenphysik II

2.2 “ABLEITUNG” FEYNMAN-REGELN (2) Weiter durch Berechnung der Fourier-Transformierten von K(x-x’): Einsetzen in … … ergibt: Mit kleiner Rechnung (Übung) zeigt man: Das ist aber der Propagator des Elektrons! K beschreibt nur virtuelle Teilchen, da p2-m20 gelten muss! Einsetzen des Ergebnisses in die Fourier-Transformation ergibt (länglich): Es gilt: Zu einer Lösung einer inhomogenen Gleichung kann man immer eine Lösung  (freies Teilchen) der homogenen Gleichung hinzuaddieren Jetzt Störungsrechnung – zweiter Term rechts wird als kleine Störung behandelt! 0te Näherung: 1te Näherung: 2te Näherung: für p2 –m20 Epsilon_0,vcec{epsilon); epsilon_0 ist die Coulomb-Eichung – wird hier weiter verwendet. RK/TSS SS06: Teilchenphysik II

2.2 “ABLEITUNG” DER FEYNMAN-REGELN (3) Auf analoge Weise kann man sich aus der inhomogenen Wellengleichung des Viererpotentials eines geladenen (+e) Teilchens mit dem Strom J … … mit der Lorentz-Bedingung … einer Greens-Funktion … mit Lösung: … den Propagator des Photons verschaffen: Warum heißt K(x-x’) Propagator? K(x-x’) bewirkt die zeitliche Entwicklung eines freien Dirac-Spinors von x nach x’ (Beweis lang!): Anmerkung: Bei Berechnung komplexes Integral: Pole bei p0=±E  verschiedene Integrationswege - für t>t‘ (p0=+E … Ausbreitung in Zukunft) - t<t‘ (p0=-E … Ausbreitung in Vergangenheit) „verhindert“ durch Verschiebung Pol um ie mit Epsilon_0,vcec{epsilon); epsilon_0 ist die Coulomb-Eichung – wird hier weiter verwendet. für t > t‘ = 0 t < t‘ für t < t‘ = 0 t > t‘ RK/TSS SS06: Teilchenphysik II

2.3 MATRIXELEMENT DER e–-STREUUNG Nun Beschreibung von Teilchenreaktionen (Streuprozessen). Kollimierter e–-Strahl, der an Potential A gestreut wird: Von der Streuwelle streu wird nur Anteil mit pf gemessen  Entwickle streu nach ebenen Wellen und projiziere f(pf) heraus: streu wird entwickelt: z.B. Die “Wahrscheinlichkeit” für den Übergang f (das “Matrixelement”) ist dann gegeben durch (QM!): Einsetzen des Ausdrucks erster Ordnung … da (siehe vorher): Streuwelle Streuung Potential Einlaufende ebene Welle Detektor, d K(x2-x’) extrapoliert am Detektor gemessene Wellenfunktion f(x2) ins Target bei x’ zurück Epsilon_0,vcec{epsilon); epsilon_0 ist die Coulomb-Eichung – wird hier weiter verwendet. RK/TSS SS06: Teilchenphysik II

2.4 ABLEITUNG DER FEYNMAN-REGELN (4) Potential Am des „Targetteilchens“ (p)? Rückgriff auf Berechnung des -Propagators (nicht explizit gezeigt) mit und mit folgt nach einiger Rechnung: Damit sind die Feynman-Regeln gezeigt! Ausführliche Rechnung: Epsilon_0,vcec{epsilon); epsilon_0 ist die Coulomb-Eichung – wird hier weiter verwendet. RK/TSS SS06: Teilchenphysik II

2.5 FERMIS GOLDENE REGEL UND WIRKUNGSQUERSCHNITTE Problem: Wirkungsquerschnitt divergiert! Ursache: Annahme von ebenen Wellen und nicht von Wellenpaketen Wellenpakete mathem. kompliziert – gleiches Ergebnis ebene Welle ∫ über endliche Zeiten Energieunschärfe: Übergangswahrscheinlichkeit der Reaktion: Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit: Der Wirkungsquerschnitt wird definiert als: mit der Stromdichte der einlaufenden Teilchen jein. Fermi‘s Goldene Regel RK/TSS SS06: Teilchenphysik II