TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENE Vorlesung am 7. April 2006 Thomas Schörner-Sadenius Universität Hamburg, IExpPh Sommersemester 2006

ÜBERBLICK 1. Die quantenmechanische Beschreibung von Elektronen 1.1 Schrödinger-Gleichung 1.2 Klein-Gordon-Gleichung 1.3 Hinführung zur Dirac-Gleichung 1.4 Niederenergiegrenzfall der Dirac-Gleichungen 1.5 Die Pauli-Gleichung, das magnetische Moment des Elektrons 1.6 Kovariante Schreibweise, Notation 1.7 Vollständige Lösung der Dirac-Gleichung 1.8 Spin des Elektrons 1.9 Viererstromdichte 1.10 Die Lösungen negativer Energie - Antiteilchen TSS SS06: Teilchenphysik II

1.4 GRENZFALL NIEDRIGER ENERGIEN Wir betrachten zuerst ein freies, ruhendes Elektron: Dann vereinfacht sich die Dirac-Gleichung: Ausgeschrieben bedeutet das: Dafür gibt es 4 unabhängige Lösungen: mit der Frequenz 0. Anwendung des Energie-Operators auf die vier Lösungen ergibt: Was ist die Interpretation der Lösungen mit negativer Energie ? TSS SS06: Teilchenphysik II

1.4 GRENZFALL NIEDRIGER ENERGIEN Jetzt gehen wir von kleinen kinetischen Energien aus: Wir benutzen die Taylor-Entwicklung der Quadrat-Wurzel … … und entwickeln die Energie-Wurzel; der kinetische Term wird als kleine Störung der Ruheenergie betrachtet: Die Zeitabhängigkeit ist daher in etwa die des ruhenden Elektrons exp(-i0t); wir wählen folgenden Ansatz für die Wellenfunktion : Einsetzen in die Dirac-Gleichung Einzelne Betrachtung der oberen und unteren Komponente; zuerst die untere: Nach einiger Rechnung und unter Verwendung von und p2/2m<<mc2 kann man zeigen, dass Daher wird  die kleine,  die große Komponente genannt. Die große Komponente erfüllt die Schrödinger-Gleichung (später oder Übung) – die SGL ist der nicht-relativistische Grenzfall der Dirac-Gleichung. TSS SS06: Teilchenphysik II

1.5 DIE PAULI-GLEICHUNG Geladenes Teilchen im Potential A,: Ersetzen des Impuls … … und Berücksichtigen der potentiellen Energie: Übergang zu Operatoren … … führt zu folgender Gleichung für die “große” Komponente: Das wiederum führt zur Pauli-Gleichung: Diese Gleichung beinhaltet sowohl den Spin als auch das magnetische Moment des Elektrons und seine Wechselwirkung mit dem B-Feld. Die potentielle Energie eines magnetischen Moments im B-Feld lautet: Der Term proportional zum B-Feld stellt diese potentielle Energie dar; das magnetische Moment des Elektrons lautet also … … wobei gilt: Der Faktor 2 in der Definition des magn. Moments des Elektrons ist der Lande-Faktor g, dessen Wert im Experiment zu etwa 2 bestimmt wurde, der aber bis zu Dirac unerklärlich war! Die Abweichung g-2 kann in der QED berechnet werden; die Messung dieser Größe stellt einen der genauesten Tests der QED dar! TSS SS06: Teilchenphysik II

1.6 KOVARIANTE SCHREIBWEISE Definiere den kontravarianten Vierervektor: Beispiel: Viererimpuls p, Raumzeit x: Metrischer Tensor: Einsteinsche Summenkonvention und kovarianter Vierervektor: Vierervektor-Produkte sind lorentz-invariant: Beispiel: Die Viererableitungen: Zur weiteren Komplikation setzt man: Man drückt also Geschwindigkeiten in Einheiten von c und Wirkungen in Einheiten des Plankschen Quantums aus! TSS SS06: Teilchenphysik II

1.7 DIRAC KOVARIANT Wir wollen nun die Kovarianz der Dirac-Gleichung auch in der Schreibweise herausstellen. Dazu definieren wir die -Matrizen: Damit schreibt man die Dirac-Gleichung um: Der Vierervektor der -Matrizen … … und die kovariante Ableitung … … erlauben folgende Schreibweise: Mit dem “dagger”-Symbol … … folgt: Die -Matrizen erfüllen die Vertauschungsrelation: TSS SS06: Teilchenphysik II

1.7 VOLLSTÄNDIGE LÖSUNG DER DIRAC-GL. Nun die generelle Lösung der Dirac-Gleichung. Wir betrachten folgenden oszillatorischen Term: Für die Energie-Eigenwerte folgt (E>0): Wahl des Ansatzes und Einsetzen: Nebenrechnung: Damit folgt das Gleichungssystem: Für positive Energien folgt aus der 2. Gleichung: Es zeigt sich, dass  frei wählbar ist; wähle und verifiziere durch Einsetzen in obere Gleichung: Oberes Vorzeichen: positive Energie; unteres Vorzeichen: negative Energie. TSS SS06: Teilchenphysik II

1.7 VOLLSTÄNDIGE LÖSUNG DER DIRAC-GL. Das führt auf zwei Lösungen positiver Energie. Mit folgt: Jetzt negative Energien (unteres Vorzeichen). Aus der ersten Gleichung folgt und jedes  erfüllt Gleichungen. Normierung N der Dirac-Spinoren? Konvention: Die vollständigen Lösungen der Dirac-Gleichung lauten also: TSS SS06: Teilchenphysik II

1.8 DER SPIN DES ELEKTRONS Spezialfall 1: Impuls in +z-Richtung: Explizite Form der Spinoren: Anwendung des Spin-Operators S3 auf u1 etc.: Analog: S3u2=-½u2, S3v1=-½v21, S3v2=½v2  Dirac-Gleichung liefert korrekten Spin ½! Kleine Komplikation: In der Zukunft werden v1,2 Antiteilchen beschreiben – daher dreht sich noch das Vorzeichen um; v1 hat also Spin +½, v2 Spin -½. Spezialfall 2: Impuls in -z-Richtung: Die Form des Spinors ändert sich … … aber der Spin bleibt der gleiche:  Spin ist bezogen auf die Quantitiserungsachse! TSS SS06: Teilchenphysik II

1.9 DIE VIERERSTROMDICHTE Wir schreiben zuerst die Stromdichte um: Dabei wurde die Definition des adjungierten Spinors verwendet: Zusammen mit der Dichte kann man dann eine Viererstromdichte definieren: Die Kontinuitätsgleichung wird dann zu (nachrechnen!): TSS SS06: Teilchenphysik II

1.10 DIE LÖSUNGEN NEGATIVER ENERGIE Idee Dirac (1928, NP 1933): Gemäß dieser Löcher- und See-Theorie sollten sich Löcher wie positiv geladene Teilchen verhalten  Begriff der Antiteilchen. Anwendung auf Festkörper (Halbleiter!) sehr erfolgreich; Probleme in der Teilchenphysik – das Pauli-Prinzip gilt nicht für Bosonen! Daher alternative Idee von Feynman (E>0!): Für positive/negative Energien galt ja: Man interpretiert Lösungen negativer Energie als Teilchen, die rückwärts in der Zeit laufen beziehungsweise als Antiteilchen, die vorwärts in der Zeit laufen : ENTWEDER hat das Teilchen negative Energie und Impuls ODER es hat positive Energie und Impuls und läuft rückwärts in der Zeit. Was aber bedeutet: Ein Teilchen läuft rückwärts in der Zeit? Alle Zustände negativer Energie sind besetzt (Pauli- Prinzip)  bei voller Besetzung sind sie egal. - Ist eines der Niveaus unbesetzt, dann kann ein Elektron mit E>0 dahin wechseln und ein Photon mit E>2me aussenden; - Alternativ kann ein Photon mit E>2me ein Elektron von negativer auf positive Energie heben. TSS SS06: Teilchenphysik II

1.10 DIE LÖSUNGEN NEGATIVER ENERGIE ”Ein Schritt”: Mehrere Schritte: t t 1 2 e– 1 2 e– 1 2 e+ e+ 3 3 x x Das Elektron (die negative Ladung) wandert von 1 nach 2  effektiv wandert eine positive Ladung (das Positron) von 2 nach 1. Das Elektron wandert rückwärts in der Zeit – der Schritt 23 kommt also VOR dem Schritt 12  Das Positron wandert 321, also vorwärts in der Zeit Antiteilchen tragen die negativen additiven Quantenzahlen der Teilchen! TSS SS06: Teilchenphysik II