TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENE Vorlesung am 4. April 2006 Thomas Schörner-Sadenius Universität Hamburg, IExpPh Sommersemester 2006

TSS SS06: Teilchenphysik II2 ÜBERBLICK 1. Die quantenmechanische Beschreibung von Elektronen 1.1 Schrödinger-Gleichung 1.2 Klein-Gordon-Gleichung 1.3 Hinführung zur Dirac-Gleichung

TSS SS06: Teilchenphysik II3 Plausible Wahl für ebene Welle : Aus der klassischen Mechanik wissen wir: Daraus machen wir eine Operatorgleichung und setzen die Operatordefinitionen ein Schrödinger-Gleichung für ein freies Elektron: Bei Anwesenheit eines Potentials V folgt die all- gemeine Schrödinger-Gleichung für ein Elektron: Am Beginn der Quantenphysik stand der Welle-Teilchen-Dualismus: Planck: Licht = Teilchen ! DeBroglie: Teilchen = Wellen ! Ziel: Korrekte Beschreibung (freier) Elektronen. Ansatz: ebene Welle : Quantenmechanik: Observablen Operatoren Messwerte Eigenwerte Beispiele: 1.1 DIE SCHRÖDINGER-GLEICHUNG (SGL)

TSS SS06: Teilchenphysik II4 Was ist die physikalische Bedeutung von ? – Wahrscheinlichkeitsdichte: – Wahrscheinlichkeitsstromdichte: Mithilfe der komplex-konjugierten SGL folgt: Das ist die Kontinuitätsgleichung, die die lokale Erhaltung der Teilchenzahl ausdrückt. Für ein freies Teilchen gilt: 1.1 DIE SCHRÖDINGER-GLEICHUNG Problem: Die Schrödinger-Gleichung ist nicht lorentz- kovariant, da verschiedene Ordnungen der zeitlichen und räumlichen Ableitungen auftreten.

TSS SS06: Teilchenphysik II5 Das bedeutet für die Energie E: Es gibt also Lösungen mit negativer und mit positiver Energie: Diese Doppeldeutigkeit tritt bei der SGL nicht auf, da sie in erster Ordnung in der Zeit ist. Aber: Die + alleine bilden kein vollständiges System von Eigenfunktionen! die – sind physikalisch wichtig! Was aber bedeuten negative Energien? Idee: Benutze relativistisch korrekte Energie- Impuls-Beziehung: und mache wieder Operator-Gleichung daraus: Es ergibt sich die Klein-Gordon-Gleichung mit den Lösungen eingesetzt ergibt sich 1.2 DIE KLEIN-GORDON-GLEICHUNG

TSS SS06: Teilchenphysik II6 1.2 DIE KLEIN-GORDON-GLEICHUNG Noch ein Aber: – Benutze die SGL-Definition des Stroms: – und passe Dichte so an, dass die Kontinuitäts- Gleichung erfüllt wird: Dann folgt für + : Für – hingegen: Was aber soll eine negative Wahrscheinlichkeit bedeuten? Suche alternativen Ansatz zur Beschreibung von Elektronen! Anmerkung: Die Klein-Gordon-Gleichung spielt durchaus eine Rolle: Die Proca-Gleichung zur Beschreibung von Vektorfeldern beinhaltet für jede Komponente des Feldes die Klein-Gordon-Gleichung.

TSS SS06: Teilchenphysik II7 Idee: Nur erste Ableitung in Raum und Zeit! Es zeigt sich: – auch hier Lösungen negativer Energie! – symmetrisches Verhalten in Raum und Zeit! – korrekte Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen! Dirac-Gleichung beinhaltet die fundamentale Beschreibung von Quarks und Leptonen! Ansatz: Differenzieren Bedingungen an i, : 1.3 HINFÜHRUNG ZUR DIRAC-GLEICHUNG Es wird deutlich: – Relationen sind nur mit Matrizen zu erfüllen. – Hamilton-Operator H hermitesch i, hermitesch. – Die Eigenwerte der sind ±1. – Matrizen i, haben Spur 0. – Matrizen müssen gerade Dimension N haben. – Kleinstes mögliches N: 4 Diese Anforderungen führen zu diesen Matrizen: Die Lösungen der Dirac-Gleichung sind also Vektoren – Dirac-Spinoren! Einsteinsche Summenkonvention:

TSS SS06: Teilchenphysik II8 Dirac-Spinoren: Statt des komplex-konjugierten wird jetzt das hermitesch-konjugierte verwendet: Man beachte die Vertauschung der Reihenfolge im Produkt! Mithilfe der hermitesch-konjugierten Dirac- Gleichung und der Dichte 1.3 HINFÜHRUNG ZUR DIRAC-GLEICHUNG kann man einen Strom ableiten, der mit der Dichte die Kontinuitätsgleichung erfüllt: Im Gegensatz zur Klein-Gordon-Gleichung ist die Dichte der Dirac-Gleichung immer positiv!