Referentin: Pelin Özgün Kanat Fachwissenschaftliches Seminar unter der Leitung von Herrn Prof. Dr. W. Bley WS 2008/09 Summenformel Teil 1 Referentin: Pelin Özgün Kanat

Summenformeln Summenformel für n aufeinanderfolgende natürliche Zahlen (d=1) Bsp.: 1,2,3,4 (n=4) 6,7,8,9 (n=4) 6,7,8,9,10 (n=5)

n kann entweder gerade oder ungerade sein Ziel: Entwickeln einer Summenformel n- gerade ungerade Durch reines umordnen

Für n= gerade 6 7 8 9 (6+ 9)*4/2=30 Bsp.: S4=(a1+ a4)*n/2

Für n = ungerade S5=a3*n 8∙5=40 6 7 8 10 9 8∙5=40 Diese Operation (Ausgleich um die Mittelzahl) kann auch durch Treppen veranschaulicht werden: S5=a3*n

Allgemein Für n= gerade (n= 2k) n= 2k, k ∈ N (a1+an)* (n/2) n= k n= k n= k n= 2k, k ∈ N (a1+an)* (n/2)

Für n= ungerade (n= 2k+1) ak+1 n= (2k+1) n= (2k+1) (ak+1)* n

Ohne „reines umordnen“ n= 4 n=3 Idee: Verdoppeln des Zahlenturms (gerade) (ungerade)

Gleiches Prinzip keine Unterteilung in gerade/ ungerade n nötig a1+ a4 a1+ a3 n= 4 n= 3 Gleiches Prinzip keine Unterteilung in gerade/ ungerade n nötig

Allgemein (a1+ an)* n/2 a1+ an n

Verallgemeinerung von “aufeinanderfolgend“ (d=1) zu „gleichen Abstand“ (d ∈ N) b) 5,8,11,14 n=4; d=3 c) 11,13,14 n=3; d=2 d) 2,4,6,8 n=4; d=2 Bsp.: d=2 d) d= 2 d= 2

Bsp.: Startzahl 1 und Additionszahl 3 4 7 10 13 16 19 19 16 13 10 7 4 1 + summiert 20 7∙ 20=140 Summe der Reihe: 70, da 140:2=70 Wir addieren geschickt beide Reihen durch die zweifache Summierung (Da wir vorher verdoppelt haben wird es wieder am Ende halbiert)

Summe der ersten n-Folgeglieder Allgemein: a= Startzahl d= Abstand n= Glieder

Summe der ersten n-Folgeglieder Allgemein: a= Startzahl d= Abstand n= Glieder a a+ d a+2d … a+(n-3)d a+(n-2)d a+(n-1)d a+(n-1)d a+(n-2)d a+(n-3)d … a+2d a+ d a + Durch die zweifache Summierung erhalten wir: mal n/2 2a+(n-1)*d (a+ (n-1)/2*d))*n

Veranschaulicht 2a+(n-1)d n

Formeln: Erste Glied (a) und das letzte Glied z=a+(n-1) sind bekannt: Sn (a, z)= n * (a+ z)/2 2) Erste Glied (a) und der Abstand (d) mit n- Glieder sind bekannt: Sn (a, d)= n* a + (n-1)*n/2*d Dn-1

Dn:= ∑ k= (n+1)*n/2 (Für n-te Dreieckszahl) Dn-1 (Dreieckszahl) (n-1)*n/2*d Def.: Dn:= ∑ k= (n+1)*n/2 (Für n-te Dreieckszahl) n k=1

Summe der ersten n natürlichen Zahlen 1 3 6 10 15 21 28 36 45

Summe der ersten n ungeraden Zahlen 1 4 9 16 25 36 49 64 81

Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist die n- te Quadratzahl. Die Summe der ersten n geraden Zahlen ist das doppelte der n- ten Dreieckzahlen.

Literaturangabe: Müller, Gerhard N., Steinbring, Heinz, Wittmann Erich Ch. (Hg.): Arithmetik als Prozess, Kallmeyersche Verlagsbuchhandlung GmbH, Seelze, 2004