Zählen, ohne zu zählen

1 Kombinatorik „Zweig der Mathematik, in dem man sich mit Fragestellungen über endliche Mengen beschäftigt, beispielsweise mit der Abzählung der verschiedenen Möglichkeiten der Auswahl und Anordnung von Elementen einer endlichen Menge.“ (aus: Scheid, H./Engesser, H. (1994): Duden. Rechnen und Mathematik. Mannheim, 320.)

1.1 kombinatorische Werkzeuge Baumdiagramm 0-1-Folgen Gitterdiagramm

1.2 kombinatorische Zählprinzipien Additionsregel Produktregel Regel des indirekten Zählens

1.3 Situationstypen der Kombinatorik Variationen  Reihenfolge ist relevant Kombinationen  Reihenfolge ist nicht relevant

Warm-up-Aufgabe: Speiseplan: 1. Schaut Euch den „aktuellen“ Speiseplan der Mensa an. Notiert nun systematisch alle möglichen Zusammenstellungen! 2. Findet zwei Möglichkeiten die Anzahl der Menüs zu bestimmen! Erklärt Eure Vorgehensweise. 3. Kombination oder Variation? Begründet Eure Entscheidung!

2 Produktregel Allgemeine Formulierung: Durchläuft man einen k-stufigen Entscheidungsprozess, in dem man auf der 1. Stufe n1, auf der 2. Stufe n2, und auf der dritten Stufe n3 Möglichkeiten, und schließlich auf der k-ten Stufe nk Möglichkeiten hat, so ergeben sich n1 · n2 · n3…….. · nk Möglichkeiten, den gesamten Entscheidungsprozess zu durchlaufen.

2.1 Variation mit Wiederholung Würfeln: 1. Wie viele verschiedene mögliche Ergebnisse gibt es, wenn man mit einem Würfel zweimal hintereinander würfelt? 2. Warum handelt es sich bei dieser Aufgabe um eine Variation mit Wiederholung? 3. Findet eine allgemeine Formel für diesen Situationstyp.

2.1 Variation mit Wiederholung Lösung: Im ersten Wurf gibt es 6 mögliche Zahlen, die geworfen werden könnten: 1,2,3,4,5,6. Im zweiten Wurf gibt es ebenfalls 6 mögliche Zahlen, die geworfen werden könnten: 1,2,3,4,5,6.  Daraus ergeben sich 6•6 = 6² = 36 mögliche Ergebnisse.

2.1 Variation mit Wiederholung Allgemeine Formulierung: Es handelt sich um einen k-stufigen Entscheidungsprozess. Auf jeder der k Entscheidungsstufen gibt es n Entscheidungsmöglichkeiten, insgesamt also n • n • n ... • n = n k Möglichkeiten.

2.2 Variationen ohne Wiederholung Wettkampf: Bei einem Wettkampf treten 5 Kinder gegeneinander an: Alin, Patricia, Franziska, Nicole und Sabrina. 1. Wie viele verschiedene Möglichkeiten existieren, die ersten drei Plätze zu vergeben? 2. Zeichnet zur Veranschaulichung ein Baumdiagramm.

2.2 Variationen ohne Wiederholung Lösung: Für den ersten Platz kommen fünf Kinder in Frage, für den zweiten jeweils noch 4 und für den dritten jeweils noch 3 Kinder. Insgesamt gibt es also 5 · 4 · 3 = 24 verschiedene Möglichkeiten die ersten drei Plätze zu belegen.

2.1.2 Variationen ohne Wiederholung Allgemeine Formulierung : Durchläuft man einen k-stufigen Entscheidungsprozess, in dem man auf der 1. Stuft n1, auf der 2. Stufe n2, und auf der dritten Stufe n3 Möglichkeiten, und schließlich auf der k-ten Stufe nk Möglichkeiten hat, so ergeben sich n1 · n2 · n3…….. · nk Möglichkeiten, den gesamten Entscheidungsprozess zu durchlaufen.

2.1.3 Permutationen ohne Wiederholung Wettkampf: Bei einem Wettkampf treten 5 Kinder gegeneinander an: Alin, Patricia, Franziska, Nicole und Sabrina. Wie viele verschiedene Möglichkeiten existieren, wenn alle Kinder platziert werden ?

2.1.3 Permutationen ohne Wiederholung 1. Erweitert das zur letzten Aufgabe gezeichnete Baumdiagramm sinnvoll. 2. Was fällt Euch auf, wenn ihr statt über die Plätze über die Personen stuft? 3. Welcher Unterschied besteht zwischen der Permutation ohne Wiederholung und der Variation ohne Wiederholung?

2.1.3 Permutationen ohne Wiederholung Lösung: 1. Für den ersten Platz kommen fünf Kinder in Frage, für den zweiten jeweils noch 4 und für den dritten jeweils noch 3 Kinder, für den vierten jeweils noch 2 und für den fünften jeweils noch ein Kind. Insgesamt gibt es also 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120 verschiedene Möglichkeiten.

2.1.3 Permutationen ohne Wiederholung 2. Wenn man statt über die Plätze über die Personen stuft zeigt sich, dass es genauso viele Möglichkeiten gibt. Alin kann den 1., 2., 3., 4. oder 5. Platz belegen. Abhängig davon, verbleiben für Patricia vier mögliche Platzierungen, wiederum davon abhängig für Franziska drei usw. 3. Es gibt genauso viele Plätze wie Personen, was bei der Variation ohne Wiederholung nicht der Fall war.

2.1.3 Permutationen ohne Wiederholung Allgemeine Formulierung: Die Permutationen ohne Wiederholung ist ein Spezialfall des Situationstyps Variation ohne Wiederholung. Es gibt genauso viele Stufen im Entscheidungsprozess wie Objekte. die Reihe der Faktoren schreitet also bis hinunter zur 1, es gilt n ·(n-1) ·(n-2) · … ·2 ·1 dies kann man kurz als n! (n-Fakultät) ausdrücken Der Name Permutation leitet sich von dem lateinischen permutare (vertauschen) ab.

3 Kombination ohne Wiederholung Beispiel für ein Standardproblem der Kombinatorik: Lottoschein – Lotto ,6 aus 49‘ Wenn man mit Sicherheit 6 Richtige erzielen möchte, müsste man alle möglichen Tippscheine abgeben. Wie viele sind das?

3 Kombination ohne Wiederholung Lösungsansatz: Binomialkoeffizient: Dies ist die Anzahl der 6-elementigen Teilmengen einer aus 49 Elementen bestehenden Menge.

3.1 Binomialkoeffizienten Allgemeine Formulierung: bezeichnet die Anzahl aller k- elementigen Teilmengen einer n- elementigen Menge. Situationstyp: Kombination ohne Wiederholung.

3.1 Binomialkoeffizienten Vereinfachung durch Kodierung in 0-1- Folgen: M={1,2,3,4,5} T1={1,3,4} ; T2={1,4,5} ; T3={2,3,4} Wie lauten die entsprechenden 0-1-Folgen? Wie lautet der Binomialkoeffizient?

3.1 Binomialkoeffizienten Binomischer Lehrsatz:

3.1 Binomialkoeffizienten Spezialfälle:

3.1 Binomialkoeffizienten Pascal‘sche Dreieck k n 1 2 3 4 5 6 10

3.1 Binomialkoeffizienten Allgemeine Formulierung der Berechnung: = n ∙ (n – 1) ∙(n – 2) ∙ …∙ (n – k + 1) k!

3.1 Binomialkoeffizienten Nochmals unser Problem: 6 Richtige im Lotto! ,49 über 6‘ eingesetzt in die allg. Formel ergibt: 49∙48∙47∙46∙45 = 13 983 816 Mgl. 6! Weiterführende Aufgabe: Wie viele Möglichkeiten gibt es für drei richtige Zahlen (ohne Zusatzzahl)?

3.1 Binomialkoeffizienten Lösung: = 3 angekreuzte Zahlen der 6 Gewinnzahlen = 3 von den 43 übrigen Zahlen =

Resümee: 1. Einführung in die Kombinatorik 2. Situationstypen der Kombinatorik: Variation vs. Kombination mit/ohne Wiederholung

Resümee: 3. Kombinatorische Zählprinzipien, mit besonderer Berücksichtigung der Produktregel 4. Kombinatorische Werkzeuge: - Baumdiagramm - 0-1-Folgen - Binomialkoeffizienten