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Wahrscheinlichkeits-rechnung II
Viel Drumherum
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Der Plan Eine ausführliche Wiederholung Ein Steilkurs in Kombinatorik
Paketlösungen Ein Ausblick Wir stoppen nach spätestens 90 Minuten, wir werden weiter über das Thema reden
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Der Start: Würfeln Würfeln mit einem „fairen“ Würfel Problem 1:
Einmal würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln? Problem 2: Zweimal würfeln: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine 6 zu würfeln?
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Fachsprache Zufallsexperiment: Einmal würfeln
Ergebnismenge M: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Zufälliges Ereignis: A = {6} Wahrscheinlichkeit: P(A) =1/6
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Fachsprache Zufallsexperiment: Zweimal würfeln
Ergebnismenge M: {(1,1), (1,2), , (6,5), (6,6)} Zufälliges Ereignis: B = {(1,6), (2,6),…, (6,6), (6,5),.., (6,2), (6,1)} Wahrscheinlichkeit: P(B) =11/36
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Weitere Bezeichnungen
Gegenereignis zu A: Anzahl der Elemente einer Menge X: |X|, z.B. |A| = 1 |B| = 12
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Pascal 1623 – 1662 Theologe, Philosoph, Mathematiker, Physiker
Einer der Riesen, auf dessen Schultern wir stehen
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Pierre de Fermat 1601 – 1665 First Class Mathematiker, ein Superstar
Zahlentheorie, ohne ihn gäbe es keine asymmetrischen Verfahren in der Kryptologie Der große Fermat: Ende der 80ger Jahre bewiesen
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Jakob Bernoulli 1654 - 1705 Äusserst vielseitiger Mathematiker,
Gesetz der großen Zahlen 1713: Ars conjectandi: „Wahrscheinlichkeit als messbarer Grad der Gewissheit“
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Pierre Simon Laplace 1749 – 1827 Physiker und Mathematiker
Mechanik, Kosmologie 1812: Théorie analytique des probabilités
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Laplace-Wahrscheinlichkeiten
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Voraussetzungen: „Faire Würfel“ Man kann schmerzfrei dividieren,
also M ist endlich Sie hatten bis jetzt sicher keine Probleme!
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Laplace-Wahrscheinlichkeiten
Einfaches Konzept Strikte Voraussetzungen Probleme: Wie ermittelt man |M|? Wie ermittelt man |A|? Da fängt der Ärger an!
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Kombinatorik: Die Wissenschaft der Anzahlen
Ziel: Bestimmung der Anzahl von Anordnungen oder Auswahlen mit oder ohne Wiederholung mit oder ohne Reihenfolge
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Kombinatorische Probleme 1
(P1): 10 Läufer Z = Anzahl der Reihenfolgen (P2): 10 Läufer, 5 D, 2 F, 2 B, 1 S Z = Anzahl der Reihenfolgen, nationale Variante
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Kombinatorische Probleme 2
(P3): 10 Läufer, olympisch Z = Anzahl der Reihenfolgen (P4): Wortproblem Z = Anzahl der Wörter der Länge 4 über dem deutschen Alphabet
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Kombinatorische Probleme 3
(P5): 6 aus 49 Z = Anzahl der Möglichkeiten (P6): Obstproblem: 6 Sorten, Auswahl von 4 Früchten Z = Anzahl der Auswahlen
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Klassifikation Problem Reihenfolge Wiederholung Auswahl Name (P1) ja
nein Permutation (P2) Permutation mit W (P3) Variation (P4) Variation mit W (P5) Kombination (P6) Kombination mit W
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Vollständige Klassifikation
Problem Reihenfolge Wiederholung Auswahl Name (P1) ja nein Permutation (P2) Permutation mit W (P3) Variation (P4) Variation mit W (P5) Kombination (P6) Kombination mit W (Anzahl 1)
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Kombinatorische Probleme 4
(Q1): 10 Cent Z = Anzahl der Darstellungen (Q2): Eulers Rencontre-Problem
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Permutationen =10! = 3 628 800 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Platz
·9 ·8 ·7 ·6 ·5 ·4 ·3 ·2 ·1 =10! =
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Exkurs: Fakultäten 1! =1 2!=1·2=1!·2 =2 3!=1·2·3=2!·3 =6 4!=3! ·4 =24
1! =1 2!=1·2=1!·2 =2 3!=1·2·3=2!·3 =6 4!=3! ·4 =24 5!=4! ·5 =120 7!= ? (n+1)!=n! ·(n+1)
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Fakultäten: 100! =
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Fakultäten 1000! =
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Fakultäten 0! = 1 Rainer Roos an Richard Kunz (1957):
Warum gilt 0! = 1? Antwort: Dazu musst du Mathematik studieren.
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Die Antwort:
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n=3: Der Integrand
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Gamma-Funktion
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Gamma-Funktion
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James Stirling 1692 – 1770, Schotte, wichtige Beiträge zur Analysis.
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Permutation mit Wiederholung
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Eine Tabelle der Permutationen: Z = 10
2 3 4 5 6 7 8 9 10
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Herleitung der Formel a1 a2 a3 b1 b2
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Herleiten einer Formel
a1 a2 b1 a3 b2
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Herleiten einer Formel
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Analog:
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Allgemein:
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Variationen, ganz einfach
(P3) Z = 10·9·8 (P4) Z = 26·26·26·26 = 264
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Variationen, ganz einfach
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Variationen, allgemein
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Lotto: Kombinationen Gesucht: Anzahl der Auslosungen bei 6 aus 49.
Allgemein: Gegeben: n Objekte, Auswahl von k (ohne Wiederholung) Gesucht: Anzahl der Auswahlen
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Bezeichnungen
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Berechnung 1:
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Berechnung 2: Codierung von Auszahlungen durch
Nullen und Einsen mit 49 Fächern: …… Fächer Code 4, 6, 10 wurden gezogen, die anderen nicht.
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Berechnung 2:
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Insgesamt:
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Allgemein:
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Eigenschaften
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Einige Beispiele
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Pascalsches Dreieck 1 1 1
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Pascalsches Dreieck
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Pascalsches Dreieck
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Binomische Formeln:
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Pascals Glanztat
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Problem:
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Binomische Reihe
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Lottoproblem: 6 aus 49 (ohne Zusatzzahl) A4 = {4 Richtige, 2 Falsche}
P(A4) = ? Allgemein: Ai = {i Richtige, 6-i Falsche} P(Ai) = ?
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Lösung des Lottoproblems
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Lösung des Lottoproblems
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Lottoproblem i P(Ai) 0,44 1 0,41 2 0,13 3 0,02 4 0,001 5 0,000 02 6 0,
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Lotto
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Offene Fragen Mittlere Anzahl der Richtigen? Verallgemeinerungen?
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Verallgemeinerung: Situation: N (49) Objekte,
M (6) mit der Eigenschaft E; n (6) Objekte werden zufällig ausgewählt. Ai = {i Objekte mit E, n-i nicht mit E}
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Verallgemeinerung: P(Ai) : H(N,M,n)-Verteilung
Hypergeometrische Verteilung Lotto: H(49,6,6)-Verteilung Viele Anwendungen, z.B. in der Qualitätskontrolle, bei Wahlprognosen
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H(N,M,n)
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H(50,20,10), H(200,80,40)
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H(400,160,80) H(400,80,80)
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Vermutungen und Probleme
Glockenkurve! Wie berechnet man Binomialkoeffizienten bei großen Zahlen?
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400 über 200
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2000 über 800
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Das Problem (P6) 6 Fruchtsorten Auswahl von 4, mit möglicher
Wiederholung, ohne Reihenfolge Z = Anzahl der Auswahlen
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Die Lösung von (P6) Apfel Birne Orange Banane Kiwi Melone O O O Code
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Lösung von (P6)
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Das Problem (Q1) Z = Anzahl der Darstellungen von 10 Cent
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Lösung: Brute Force Keine Tricks: Man notiert alle Möglichkeiten und
zählt sie. Wichtig: Systematik Buchhalter: Listen Künstler: Bäume
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Buchhalterlösung: Z =11 10 5 5
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Künstlerlösung: Baum, Z=11
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Prolog-Lösung a([W],X,A):-X>0,!,XX=X-W,a([W],XX,A). a([_],0,1):-!.
a([K|R],X,A):-a(R,X,AA), XX=X-K,XX>=0,!, a([K|R],XX,AAA), A=AA+AAA. a([K|R],X,A):-XX=X-K,XX<0,!, a(R,X,A).
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(Q2): Sexparty n Ehepaare En = Anzahl der heterosexuellen
Paarbildungen, bei denen kein Paar zusammenbleibt Ein wichtiges Problem!
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(Q2): Sexparty Wichtig bei Sortierproblemen Nicht ganz einfach
Problem hätte einen eigenen Vortrag verdient
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(Q2): Sexparty: Lösung
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Der weitere Plan Kennzahlen für Verteilungen Gesetz der großen Zahlen
Normalverteilung Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten
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Haben Sie noch Fragen?
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Literaturtipps Von Randow: Das Ziegenproblem rororo 2004 7,90 €
Monk u.a.: Gewinnen mit Wahrscheinlichkeit rororo Vergriffen Basieux: Die Welt als Roulette rororo ,50 € Büchter/Henn Elementare Stochastik Springer ,95 € Szekely: Paradoxa Harri Deutsch ,80 €
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Wenn Sie mehr wissen wollen
Da werden Sie geholfen. Geschichte der Mathematik:
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